現代数学の系譜11 ガロア理論を読む25 [無断転載禁止]©2ch.net

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6: １３２人目の素数さん [] 2016/10/30(日) 14:21:03.53 ID:AAheDI1u

こらこら、新スレで逃げようとするなｗ　逃げられないように貼っておこうｗ

540 : 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む2016/10/23(日) 09:35:01.91 ID:MjfWcywG
>>537-538
ぼくちゃん、>>2に「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.どんな実数を入れるかはまったく自由，例えばn番目の箱にe^πを入れてもよいし，すべての箱にπを入れてもよい.・・

πとかeわかる
π＝3.14159 26535 89793 ・・・ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%8E%87
ｅ＝2.71828 18284 59045 ・・・ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8D%E3%82%A4%E3%83%94%E3%82%A2%E6%95%B0

で、こいつらは、無限小数なんだ。大学では、コーシー列かな https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E5%88%97

で、各小数位のところを、箱があると見ると、まさに箱に数が入っていると思えば良いんだわ
つまり、πは3 14159 26535 89793 ・・・という可算無限個ある箱に数の入った数列と見ることができる。小数点は抜いた
ｅも同じようにできる

で、小数点を戻すと、可算無限個ある箱に数の入った無限数列だけど、２項演算が定義できるんだわ。分かる？　まあ、普通の数の積と和だ
π・ｅ（積）とか、π＋ｅ（和）とか、分かる？ 可算無限個の箱の数列だよ？

で、>>532のモノイドで考えて、 {0, 1, ..., 9} として、箱に0〜9の数字を入れると、数列ができたとして、小数点は抜いて
モノイドの２項演算で、文字や語の「連接」を＊で表すと
π＊ｅを、考えることができる　（小数点を文字に含めれば、小数点を含む数列としても良いが、抜いてシンプルな方がイメージしやすいだろう）

「考えてどうなるか？」は別として、普通の実数の演算として、無限の数列を使って、π・ｅ（積）とか、π＋ｅ（和）を考えているんだから
モノイドの２項演算 「連接」 π＊ｅも考えることができるよと
それだけのことが難しい？

542 : １３２人目の素数さん2016/10/23(日) 09:58:50.54 ID:SlySeNFm
eの整数部分は小数第何位にくるんだ

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/6

52: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/10/30(日) 18:50:45.53 ID:S5Jl1CaY

>>51 つづき
さて、上記を踏まえて

１．当然現代数学は、無限集合を扱う。２項演算の対象も無限集合であっていい。例えば、集合Xと集合Yの和X∪Yは普通に定義される
２．二つの集合
X＝{x_1＝3, x_2＝1, x_3＝4, x_4＝1, x_5＝5, x_6＝9, x_7＝2, x_8＝6, x_9＝5, x_10＝3, x_11＝5, x_12＝9,・・・}
Y＝{y_1＝2, y_2＝7, y_3＝1, y_4＝8, y_5＝2, y_6＝8, y_7＝1, y_8＝8, y_9＝2, y_10＝8, y_11＝4, y_12＝6,・・・}
Z＝X∪Yとでもしようか？　（ここで、x_7＝2とy_9＝2となどは、区別して統合しないものとする）
３．集合Zの元をどう並べるかだけの話でしょ？ それを連結と考える
Z＝{x_1＝3, x_2＝1, x_3＝4, x_4＝1, x_5＝5, x_6＝9, x_7＝2, x_8＝6, x_9＝5, x_10＝3, x_11＝5, x_12＝9,・・・
　 　 y_1＝2, y_2＝7, y_3＝1, y_4＝8, y_5＝2, y_6＝8, y_7＝1, y_8＝8, y_9＝2, y_10＝8, y_11＝4, y_12＝6,・・・}
でなんの不都合もない
４．ならべ変えると
Z＝{x_1＝3, y_1＝2,x_2＝1, y_2＝7,x_3＝4, y_3＝1,x_4＝1, y_4＝8,x_5＝5,y_5＝2, x_6＝9,y_6＝8, x_7＝2,y_7＝1,  x_8＝6y_8＝8, x_9＝5,,y_9＝2, x_10＝3, y_10＝8,x_11＝5,y_11＝4, x_12＝9, y_12＝6,・・・・・・}
５．ところで、奇数列と偶数列とを利用すれば、下記にできる
Z'＝{z_1＝3, z_3＝1, z_5＝4, z_7＝1, z_9＝5, z_11＝9, z_13＝2, z_15＝6, z_17＝5, z_19＝3, z_21＝5, z_23＝9,・・・
　 　 z_2＝2, z_4＝7, z_6＝1, z_8＝8, z_10＝2, z_12＝8, z_14＝1, z_16＝8, z_18＝2, z_20＝8, z_22＝4, z_24＝6,・・・}
６．Z'→X'∪Y'とみて二つの集合に分ける
　 X'＝{z_1＝3, z_3＝1, z_5＝4, z_7＝1, z_9＝5, z_11＝9, z_13＝2, z_15＝6, z_17＝5, z_19＝3, z_21＝5, z_23＝9,・・・}
　 Y'＝{z_2＝2, z_4＝7, z_6＝1, z_8＝8, z_10＝2, z_12＝8, z_14＝1, z_16＝8, z_18＝2, z_20＝8, z_22＝4, z_24＝6,・・・}
７．番号をつけ直して
　 X'＝{x'_1＝3, x'_2＝1, x'_3＝4, x'_4＝1, x'_5＝5, x'_6＝9, x'_7＝2, x'_8＝6, x'_9＝5, x'_10＝3, x'_11＝5, x'_12＝9,・・・}
　 Y'＝{y'_1＝2, y'_2＝7, y'_3＝1, y'_4＝8, y'_5＝2, y'_6＝8, y'_7＝1, y'_8＝8, y'_9＝2, y'_10＝8, y'_11＝4, y'_12＝6,・・・}

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/52

144: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/05(土) 19:53:25.53 ID:DzICE8Th

https://infinitytopos.wordpress.com/2015/02/15/%e2%88%9e%e3%82%ab%e3%83%86%e3%82%b4%e3%83%aa%e3%83%bciv/
∞カテゴリーIV 投稿日: 2015年2月15日 投稿者: infinity_topos
(抜粋)
　前回の投稿で予告したように，simplicial setの持つ様々な帰着原理について紹介しよう．

●米田、余完備、Kan拡張
　さて，まず比較的一般性の高い事実から始めよう．simplicial setの圏\displaystyle \mathsf{Set}_\Deltaは前層の圏である．そこで，前層に一般的に成立する次の基本的な定理を復習しよう．
　Theorem.
　任意の前層\displaystyle P\in \mathsf{Set}^{C^{op}}は表現可能関手の余極限\displaystyle \varinjlim_{y\downarrow P} Hom(-,c_i)と同型である．

証明はMacLaneなどを参照されたい．index categoryの定義を述べていないが，とりあえず「任意の前層は表現可能関手の余極限で表される」と標語的に覚えておこう．以下では単に\displaystyle P\cong \varinjlim Hom(-,c_i)と表す．
　
　さて，実はこの定理から次の興味深い事実が成立する．
　Theorem.(Adjoint principle)
　\displaystyle C,Dを圏とし，関手\displaystyle f:C\to Dが与えられているとする．このとき，\displaystyle Dが余完備ならば，関手fの拡張\displaystyle F:\mathsf{Set}^{C^{op}}\to Dが存在する．また，Fには右随伴関手Gが存在する．

これらF,Gはexplicitな構成を持つ．

\displaystyle F(P)=F(\varinjlim Hom(-,c_i)):=\varinjlim f(c_i)
\displaystyle G(d):=Hom_{D}(f(-),d)

これらが互いに随伴になることは容易に示される．実は\displaystyle C=\Deltaの場合に今までに出てきた随伴はこの具体例である。
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/144

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