スレタイ箱入り無数目を語る部屋18

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836: １３２人目の素数さん [] 2024/04/13(土) 11:16:13.14 ID:AkaTH9ql

スレ主です
　>>733より再録
Gautama Siddhārtha
１．可算無限個の確率変数　X1,X2,... .
２．それぞれは、Sに一様分布
３．それぞれは互いに独立

さてこのとき、S^Nからその尻尾同値類の代表元への関数rが存在する
そして、s∈S^Nとr(s)を比較することにより
s^nから2^nへの関数yで
s(n)=r(s)(n)のとき、１
s(n)=r(s)(n)でないとき、0
となるものが存在する

X=（X1,X2,・・・)とし
Ynをy(X)(n)をとする

さて
Q1.Ynの分布およびYn=1となる確率を示せ
Q2.Ynそれぞれは独立か否か？
(引用終り)

さて、以前”0”（ゼロ？）を名乗る人が来て
議論をしたのだが、時枝氏は彼の記事の後半で下記

https://imgur.com/a/8bqlb08
数学セミナー201511月号「箱入り無数目」
「もうちょっと面白いのは，独立性に関する反省だと思う.
確率の中心的対象は，独立な確率変数の無限族
X1，X2，X3，…である.
いったい無限を扱うには，
(1)無限を直接扱う，
(2)有限の極限として間接に扱う，
二つの方針が可能である.
確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義されるから，(2)の扱いだ.
(独立とは限らない状況におけるコルモゴロフの拡張定理なども有限性を介する.)
しかし，素朴に，無限族を直接扱えないのか?
扱えるとすると私たちの戦略は頓挫してしまう.
n番目の箱にXnのランダムな値を入れられて，ある箱の中身を当てようとしたって，
その箱のX と他のX1，X2，X3，・・・がまるまる無限族として独立なら，
当てられっこないではないか−−他の箱から情報は一切もらえないのだから.
勝つ戦略なんかある筈ない，と感じた私たちの直観は，無意識に(1)に根ざしていた，といえる.
ふしぎな戦略は，確率変数の無限族の独立性の微妙さをものがたる， といってもよい.」
と記す

”0”氏は、これが前半とは全く無関係だと宣うので、『ちょっと確率論を勉強してから来てよ』 と
追い返したことがあるのです
Gautama Siddhārtha氏は、”0”氏の輪廻転生かと思いました

時枝氏は後半で、『n番目の箱にXnのランダムな値を入れられて，ある箱の中身を当てようとしたって，
その箱のX と他のX1，X2，X3，・・・がまるまる無限族として独立なら，
当てられっこないではないか−−他の箱から情報は一切もらえないのだから』
と言い切っている。この話をしたいのでしょうかね？

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1710632805/836

839: １３２人目の素数さん [] 2024/04/13(土) 23:56:26.23 ID:AkaTH9ql

>>835
>>r: S^ℕ→S^ℕを問題の代表元を取る関数とする

代表元は、同値類の代表で
代表元を取る関数の存在は、いまの場合選択公理を仮定する 即ち 選択関数を仮定すること

なので
代表元を取る関数＝選択関数 r：S^ℕ/〜→s(c)
とすべきではないか？
ここに、s(c)は下記より借用した通り
”切断を s で表せば，各同値類 c に対して [s(c)] = c”
”元 s(c) は c の代表元 (representative) ”
である

可測か非可測かを論じるべきは、上記”選択関数 r：S^ℕ/〜→s(c)”についてであるべきだろう
（下記のヴィタリ集合をご参照）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%8C%E5%80%A4%E9%A1%9E
同値類
この分割，同値類たちの集合，を S の 〜 による商集合 (quotient set) あるいは商空間 (quotient space) と呼び，S/〜 と表記する．

同値関係 R に関する X のすべての同値類からなる集合を X/R と書き，X の R による商集合 (quotient set of X by R, X modulo R) と呼ぶ[5]．
X から X/R への各元をその同値類に写す全射
x → [x] は標準射影と呼ばれる．
各同値類の元を（しばしば暗黙に）選ぶと，切断（英語版）と呼ばれる単射が定義される．この切断を s で表せば，各同値類 c に対して [s(c)] = c である．元 s(c) は c の代表元 (representative) と呼ばれる．切断を適切に取って類の任意の元をその類の代表元として選ぶことができる．

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%82%BF%E3%83%AA%E9%9B%86%E5%90%88
ヴィタリ集合
構成と証明
有理数体 Q は実数体 R の普通の加法についての部分群を成す。なので加法の商群 R/Q (つまり、有理数分の差を持つ実数同士を集めた同値類による剰余群) は有理数集合の互いに交わらない"平行移動コピー"によって出来ている。この群の任意の元はある r ∈ R についての Q + r として書ける。

R/Q の元は R の分割の1ピースである。そのピースは不可算個あり、各ピースはそれぞれ R の中で稠密である。R/Q の元はどれも [0, 1] と交わっており、選択公理によって [0, 1] の部分集合で、R/Q の代表系になっているものが取れる。このようにして作られた集合がヴィタリ集合と呼ばれているものである。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1710632805/839

840: １３２人目の素数さん [] 2024/04/14(日) 09:01:47.49 ID:g/SCaNYS

>>839 訂正と補足

訂正：
選択関数 r：S^ℕ/〜→s(c)
　↓
選択関数 r：S^ℕ/〜→∪{s(c)}

補足：∪{s(c)}は、下記の東北大 尾畑研のテキストに従った。流儀はいろいろあるようです。
　ja.wikipedia 選択公理は、尾畑研とほぼ同じ
　en.wikipedia Choice functionでは、multivalued mapによる記述があります

(参考)
https://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/
東北大学大学院情報科学研究科 システム情報科学専攻 尾畑研究室−システム情報数理学II研究室−
基礎科目
2022年度 解析学入門 (宮城教育大学2年生向き 水曜日5講時)
[3] 尾畑伸明：集合・写像・数の体系　数学リテラシーとして, 牧野書店, 2019.
授業の内容はこの本に準拠するが、絶版のため入手は困難であろう。草稿を掲載しておくので必要に応じて参照されたい。
「集合・写像・数の体系　数学リテラシーとして」の草稿(pdf)
https://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_11.pdf
TAIKEI-BOOK :2019/1/1(22:21)
第11章選択公理
Ｐ157
(AC2) Ω を空でない集合族とするもし∅ not∈ Ωであれば写像f：Ω →∪ΩですべてのX∈Ω に対してf(X)∈Xとなるものが存在するこの写像fを集合族Ωの選択関数という
注３）集合族Ωに対してその和集合が∪Ω＝∪X∈Ω Xで定義される第4.5節を参照せよ

https://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_04.pdf
TAIKEI-BOOK : 2019/1/1(22:21)
第4章 写　像
4.5集合系
Ｐ67
■和集合と積集合
集合系(Aλ｜λ∈Λ)に対して少なくとも1つのAλに含まれる元をすべて集めたものをその和集合または合併集合といい
略す

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
選択公理

https://en.wikipedia.org/wiki/Choice_function
Choice function
Choice function of a multivalued map
Bourbaki tau function

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1710632805/840

841: １３２人目の素数さん [] 2024/04/14(日) 13:49:40.93 ID:g/SCaNYS

下記を貼っておきますね
可測関数：確率論の分野において、σ-代数はしばしば、利用可能な情報すべてからなる集合を表し、
ある関数（この文脈では確率変数）が可測であるとは、それが利用可能な情報に基づいて知ることの出来る結果（outcome）を表すことを意味する

関数一般、普通は正則関数でなく、微分可能でもなく、連続でもない
と同様に、関数の可測性は一般には保証されない

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E6%B8%AC%E9%96%A2%E6%95%B0
可測関数
測度論の分野における可測関数（英: measurable function）とは、（積分論を展開する文脈として自然なものである）可測空間の間の、構造を保つ写像である。具体的に言えば、可測空間の間の関数が可測であるとは、各可測集合に対するその原像が可測であることを言う（これは位相空間の間の連続関数の定義の仕方と似ている）。

この定義は単純なようにも見えるが、σ-代数も併せて考えているということに特別な注意が払われなければならない。
特に、関数 f: R → R がルベーグ可測であるといったとき、これは実際には
f： (R ,L)→ (R ,B) が可測関数であることを意味する。
すなわち、その定義域と値域は、同じ台集合上で異なる σ-代数を持つものを表している
（ここで  L はルベーグ可測集合全体の成す σ-代数であり、
B は R 上のボレル集合族である）。
結果として、ルベーグ可測関数の合成は必ずしもルベーグ可測とはならない。
ただし任意のルベーグ可測関数
f： (R ,L)→ (R ,B) に対し f とほとんど至るところ一致するボレル可測関数　
g： (R ,B)→ (R ,B)　が存在するので、ルベーグ測度0の集合上での違いを無視する文脈では可測関数同士の合成は再び可測関数となる。

慣例では、特に断りの無い限り、位相空間にはその開部分集合全体により生成されるボレル代数が与えられるものと仮定される。
最もよくある場合だと、この空間として実数全体あるいは複素数全体からなる空間をとる。
例えば、実数値可測関数とは、各ボレル集合の原像が可測となるような関数を言う。複素数値可測関数も同様に定義される。実用においては、ボレル集合族に関する実数値可測関数のみを指して可測関数という語を使用するものもある[1]。
関数の値が R や C の代わりに無限次元ベクトル空間に取られるのであれば、弱可測性やボホナー可測性などの、可測性に関する他の定義が用いられることが普通である。

確率論の分野において、σ-代数はしばしば、利用可能な情報すべてからなる集合を表し、
ある関数（この文脈では確率変数）が可測であるとは、それが利用可能な情報に基づいて知ることの出来る結果（outcome）を表すことを意味する。
対照的に、少なくとも解析学の分野においては、ルベーグ可測でない関数は一般に病的であると見なされる。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1710632805/841

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