dx dy の意味は？★２ (669ﾚｽ)
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121: 2022/01/19(水)22:00 ID:cIZ5a1X6(1) AAS
>>111
> ID:Cvmwu/OB
つまんない人には数学すらできるわけないですよね？？
122(3): 2022/01/20(木)11:27 ID:Uhxw0Txt(1) AAS
>>58の答え教えてほしい
多様体上の積分における変数変換公式は、外微分と外積代数の性質から来ていて、それが上手いこと重積分の変数変換公式と整合している
もし、R^nの測度としてLebesgue測度以外をとったら、微分形式側の定義や操作を修正しなくて済むのかどうか知りたい
123: 2022/01/20(木)13:01 ID:CLOYcwNx(1/6) AAS
よくわかりませんけど、微分形式としての体積形式を適当に変えればなんとかなりませんかね？
多様体上に定義される体積形式は一意に定まらないはずです
124: 2022/01/20(木)13:17 ID:CLOYcwNx(2/6) AAS
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ここら辺みてみると、どうやら体積形式を用いて一般の測度を再現することはどうやら一般には難しそうですね
125(1): 2022/01/20(木)13:19 ID:bi6aYMcM(1/3) AAS
>>122
>微分形式側の定義や操作を修正しなくて済むのかどうか
意図していることが分からないから何とも言えないが
軽量は後付だからそっち側をどう定義するか考えてたら良いだけじゃないの？
126: 2022/01/20(木)13:20 ID:CLOYcwNx(3/6) AAS
わからないんですね
127: 2022/01/20(木)13:24 ID:CLOYcwNx(4/6) AAS
ビブンケイシキガーさん、出番ですよー
128: 2022/01/20(木)13:34 ID:CLOYcwNx(5/6) AAS
計量はリーマン多様体にしか定義されておらず、物理学で使われる√g云々は一般相対論に都合がいいようにという物理学の要請で定められた、無数にある体積要素の一つに過ぎない
そんなことすら知らないような方が普段ビブンケイシキガーと言っているのは滑稽ですね(笑)
129(1): 2022/01/20(木)13:56 ID:h3C0V0Wq(1) AAS
>>125
こいつ最高にアホ
130(2): 2022/01/20(木)14:13 ID:ehNOa8n3(1/2) AAS
コンパクト多様体M上なら、リースの表現定理を使って、Mの体積形式ωからM上の測度μが一意に定まる。
f → ∫_M fμ := ∫_M fω
だからまあ、測度を取り替えれば、ωも変わる
131: 2022/01/20(木)14:14 ID:CLOYcwNx(6/6) AAS
それができない、とウィキペディアに書いてあります
132: 2022/01/20(木)14:16 ID:ehNOa8n3(2/2) AAS
どういう測度が体積形式からくるか
各チャートR^n上の測度を取り替えたとき、M上の測度が定まるかどうか
は知らない
133(2): 2022/01/20(木)19:10 ID:bi6aYMcM(2/3) AAS
>>129
後付って分からないのか・・・
134: 2022/01/20(木)19:14 ID:i6m0PUx+(1) AAS
>>133
どういうこと？
135(1): 2022/01/20(木)19:15 ID:9MGcjgGZ(1) AAS
>>133
もういい大人なんだから
「それっぽいことを言っておけば、聞く人は意図を汲んでくれる」
という思考、やめた方がいいよ？
数学をやるなら尚更
136: 2022/01/20(木)19:18 ID:bi6aYMcM(3/3) AAS
>>135
ハイハイどもすみませｎ
137(5): 2022/01/20(木)21:33 ID:RIDP7V6h(1) AAS
この（前）スレでたびたび出てくる「双代空間」ってのは、要するに
通常空間にたいして、それにぴったりひっついているような別の空間、例えば電場の空間とか磁場とか…
みたいなのを想定するみたいなカンジ？？
線形性を保持しているとかの性質があるような条件が必要で…
138: 2022/01/20(木)21:56 ID:xJXfm/Bp(1) AAS
>>137
＞双代空間
双対はそうたい(そうだい？)ではなく「そうつい」と読みます……簡単に言えば与えられた空間上の関数全体からなる空間です
電場や磁場のように「(物理的な)ベクトル場の作用している空間」ではなく、3次元空間に対してその線形関数全体のなすベクトル空間のことです
線形性を保持というのは意味がわかりませんが、ベクトル空間の双対空間はベクトル空間になるので、その上の線形写像を考えることはできますね
139: 2022/01/20(木)23:49 ID:iH9Wu1Ef(1) AAS
双対の明確な定義はないけど、入れ替えても同じなので、片方を証明すれば、もう片方も証明できる
140: 2022/01/21(金)00:39 ID:6tN2yX9s(1) AAS
>>137
たとえ話的に言うとベクトルに対する物差しみたいなのが双対ベクトル
双対ベクトルはベクトルを受け取ってそのベクトルに対してある種の量を返す
例えばベクトルのx成分を測ってくれる物差しは双対ベクトル
こういう物差し全体を双対空間(dual space)といってV^*とか表記する
(但し物差しで測られるベクトル全体(=ベクトル空間)をVとした)
物理的な例でいえば、一定の力Fとの内積<F,->は変位ベクトルrを測って力Fがした仕事Wがどれぐらいか教えてくれるので双対ベクトル
他にも一定の電場Eとの内積<E,->が変位ベクトルrに対して双対ベクトル(測定結果は電位差)だったり色んなところに出て来る
双対ベクトル(covector)の図示に関してはこれが分かりやすい
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