不等式への招待第８章 [無断転載禁止]©2ch.net

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708(2): 2017/08/27(日) 16:26:59.89 ID:NetfQ0ow(7/8)調 AAS
>>388 (5) >>450

〔Hlawkaの不等式〕を拡張…
r≧1 のとき
　K(r){|a|^r +｜b|^r +｜c|^r +｜a+b+c|^r｝≧｜a+b|^r +｜b+c|^r +｜c+a|^r,

ここに K(r）は
　1≦r≦2 のとき、K(r）=（2^r)/{1+3^(r-1)},
　2≦r のとき、K(r）= 2^(r-2),

　kurims 講究録-1136-11 p.90-95 (2000) Theorem 2

>>449 (2)
　佐藤(訳)：文献[9]、演習問題1.43、問題3.67
　(1+ab)(1+a）= ab(1+c)/(1+a), など。
　AM-GMする。

>>453
　佐藤(訳)：文献[9]、演習問題1.61
　x^3 +x^3 +y^3 ≧ 3xxy,　(AM-GM）より
　x^3 +y^3 +z^3 ≧ xxy + yyz + zzx,
　(x,y,z）=（a,b,c）と（x,y,z）=（ab,bc,ca）をたす。

709(1): 2017/08/27(日) 20:32:51.97 ID:u/VQjdir(1)調 AAS
>>689
> 〔補題196〕の略証
> (左辺)-(右辺）= P(a-b)(a-c）+ Q(b-c)(b-a）+ R(c-a)(c-b)

この形に変形するのって、ものすごく大変なんじゃないん？

710: 2017/08/27(日) 23:16:42.54 ID:NetfQ0ow(8/8)調 AAS
>>709
その通り。
（a,b,c）=（1,1,1）以外に（1,1,2）（1,2,1）（2,1,1）でも等号が成立するから、チョト難しい。
他に使えそうな方法は無いか？

711: 2017/08/28(月) 00:00:38.32 ID:4VsD2YTN(1/3)調 AAS
>>708
　解答も訂正。

>>453
チェビシェフ（または AM-GM）で
　a^3 +b^3 +c^3 ≧ aab + bbc + cca = (a/c + b/a + c/b)u,
　(ab)^3 +(bc)^3 +(ca)^3 ≧ ab(bc)^2 + bc(ca)^2 + ca(ab)^2 = (b/a + c/b + a/c)uu,
辺々たす。

712(1): 2017/08/28(月) 01:54:30.17 ID:4VsD2YTN(2/3)調 AAS
>>679 (5)

a/c=y, b/a=z, c/b=x とおくと xyz=1.
(a-b)(b-c)(c-a)/abc =（a/b +b/c +c/a）-（c/b +a/c +b/a）=（xy+yz+zx）-（x-y-z),

(左辺）-（右辺）=（xx+yy+zz）-2(xy+yz+zx）+2(x-y-z）-3
=（x+y+z)^2 -4(xy+yz+zx）+2s -3
=｛F_1(x,y,z) -9xyz}/s +2s -3
= F_1(x,y,z）+（2s+3)(s-3)/s
≧0,　　　（s=x+y+z≧3)

713(3): 2017/08/28(月) 03:43:27.12 ID:Xt3/xWpv(1/5)調 AAS
(1) a, b, c>0 に対して、(a+b+c)^5 ≧ 81abc(a^2+b^2+c^2)
(2) a, b, c>0 に対して、(a+b+c)^6 ≧ 27(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2

AOPS：外部ﾘﾝｸ:artofproblemsolving.com

[疑問１]
(1)の証明について、

(a+b+c)^3 - 3(a+b)(b+c)(c+a) = s^3 - 3(st-u) = s(s^2-3t) + 3u >0
∴ (a+b+c)^3 > 3(a+b)(b+c)(c+a) ---(A)

>>687 〔補題196〕の右側
(a+b)(b+c)(c+a)(a+b+c)^2 ≧ 24abc(a^2+b^2+c^2) ---(B)

(A),(B)から、
(a+b+c)^3 *(a+b+c)^2 > 3(a+b)(b+c)(c+a)*(a+b+c)^2 ≧ 3*24abc(a^2+b^2+c^2)

等号が成り立たなくなるが、実際は例えば、a=b=c のときに等号が成り立つ。
このやり方は、何か間違っているのかな？

A≧B を証明するときに、途中に式を挟んで A≧C、C≧B を証明することがあるけど、
A=C かつ C=B から出した等号成立条件が、A=Bの等号成立条件と一致しないことがあるのは仕方のないことなのかな？
（具体例がすぐには出てこないけど、絶対値の入った不等式の証明とかで、なったことがある）

[疑問２]
(2)の証明が分かりませぬ…。
(1)を次のように証明して、そのコメントに、「コーラを飲んだらゲップが出るくらい明らか（嘘訳）」
と書いてあるけど、ピンときませぬ…。

(a+b+c)^6 ≧ 27(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2 ≧ 81abc(a^2+b^2+c^2)

714(1): 2017/08/28(月) 06:21:36.55 ID:Xt3/xWpv(2/5)調 AAS
>>689
Q = (c+a)(c+a-b)^2 + 2(a+b+c)(c-a)^2 ですよね？

715(1): 2017/08/28(月) 06:30:48.05 ID:Xt3/xWpv(3/5)調 AAS
>>688-689
> (a+b)(b+c)(c+a)(a+b+c)^2 ≧ 24abc(aa+bb+cc)
>
> bはa、cの間にあるとする。
> (左辺)-(右辺）
> = P(a-b)(a-c）+ Q(b-c)(b-a）+ R(c-a)(c-b)
> = P(a-b)^2 +（P-Q+R)(a-b)(b-c）+ R(b-c)^2,
>
> P =（b+c)(b+c-a)^2 + 2(a+b+c)(b-c)^2 ≧ 0,
> P-Q+R = 2b{(a+c)^2 -6ac＋3bb｝= 2b{(a+c-3m)^2＋3(bb-mm)｝≧ 0,
> R =（a+b)(a+b-c)^2 + 2(a+b+c)(a-b)^2 ≧0,
> ここに、m = min{a,c｝、ac=m(a+c-m)

Q = (c+a)(c+a-b)^2 + 2(a+b+c)(c-a)^2 として、P-Q+R を計算したら、

P-Q+R = 2b{(a+c)^2 -6ac＋3bb｝ + 8(c+a){(c-a)^2 + ca}

となったけど、計算合っているか確認おねがいしますだ。

716: 2017/08/28(月) 06:52:45.91 ID:Xt3/xWpv(4/5)調 AA×
>>715

717: 2017/08/28(月) 11:53:15.27 ID:4VsD2YTN(3/3)調 AAS
>>712 の訂正
× (x-y-z)
○　(x+y+z)

>>713

[疑問1]
　(1）は >>679 (2）ですね。
　>>687 を参照。
　あえて難しい〔補題196〕を使う必要は無かったですね。

[疑問2]
　>>687 を参照。
　(2）と（ab+bc+ca)^2 ≧ 3abc(a+b+c) から（1）を出します。

>>714
　そうです。

718(1): 2017/08/28(月) 21:24:09.98 ID:fpou6rxt(1)調 AAS
>>713
(1)
A >= 81B という不等式を示すのに A > 72B という不等式を示しても何も意味がない
より雑な不等式にしてるんだから等号が成立しなくなるのは必然

[疑問1]
A >=C, C >=B の両方の等号成立条件を合わせたものが A >= B の等号成立条件

(2)
因数分解が一番簡単

[疑問2]
uvw で右側の不等式は明らか
(おそらく AoPS での解き方はこれ)

719(1): 2017/08/28(月) 22:03:31.85 ID:Xt3/xWpv(5/5)調 AAS
>>718
なんと！因数分解できるとは…

(a+b+c)^6 - 27(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2
= (a^2 + b^2 + c^2 + 8ab + 8bc + 8ca)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)^2

UVW-method って、これのことですか？
外部ﾘﾝｸ:brilliant.org

720: 2017/08/28(月) 22:42:48.32 ID:sqcQ/xXt(1)調 AAS
>>719
それだよ
wikiがあったんだ
aopsにあるもとの記事読んでもいいと思うけど

721(4): 2017/08/29(火) 01:52:29.92 ID:QmBHjFut(1/10)調 AAS
a, b, c >0 に対して、AM + 3*HM ≧ 5*GM/{16^(1/3)}.

722(1): 2017/08/29(火) 03:10:07.75 ID:QmBHjFut(2/10)調 AA×
>>69 >>713 >>0 >>0

723: 2017/08/29(火) 03:22:58.97 ID:QmBHjFut(3/10)調 AAS
a, b, c >0 の基本対称式 s, t, u で、曲者を縛るでござる。（曲者 = a/b + b/c + c/a）

(ab+bc+ca)(a/b + b/c + c/a) ≧ (a+b+c)^2
a(a-b)^2 + b(b-c)^2 + c(c-a)^2 = s^3 - 2st - 3u(a/b + b/c + c/a) ≧ 0

∴ s(s^2-2t)/(3u) ≧ a/b + b/c + c/a ≧ s^2/t

これしか思いつきませぬ…。他にないでござるかな？

724(3): 2017/08/29(火) 03:49:39.64 ID:1JAWO9sa(1/3)調 AA×
>>721

725: 2017/08/29(火) 04:41:59.71 ID:QmBHjFut(4/10)調 AAS
>>721、>>724
出典を再発見。（大量のブックマークの中から探すのに苦労したでござる）
外部ﾘﾝｸ:math.stackexchange.com

斜め読みしたけど、何をやってるのかサッパリでござる ('A`)

>>724
分かりやすい！
でも、この方法では等号がつかないですね。

726(3): 2017/08/29(火) 05:25:02.43 ID:QmBHjFut(5/10)調 AAS
>>721、>>724
ごめん、リンク先の問題をよく見たら、問題が間違っていました。

正しくは、「a, b, c >0 に対して、AM + HM ≧ 5*GM/{16^(1/3)}」でした。

727(3): 2017/08/29(火) 05:44:11.14 ID:QmBHjFut(6/10)調 AAS
>>721 再掲
a, b, c >0 に対して、AM + HM ≧ 5*GM/{16^(1/3)}

>>724 の方法を真似てみたが、うまくいかなかった。

A + H
＝（A/2) +（A/2）+ H
≧ 3(AAH/4)^(1/3)　　　　…(1)
＝ 3{(ss/(3t))*(u/4)}^(1/3)
≧ 3{(u/4)}^(1/3)　　　　…(2)
= 3G/{4^(1/3)}

(1)の等号は A=2H、(2)の等号は a=b=c で異なるから、
A+H > 3G/{4^(1/3)}

問題の右辺と較べたら、5/16^(1/3)} > 3/{4^(1/3)} でした。

728(3): 2017/08/29(火) 09:12:22.39 ID:QmBHjFut(7/10)調 AAS
【問題】
xyz座標平面において、次の不等式で表される立体の体積を求めよ。
　|x＋y+z| + |-x+y+z| + |x-y+z| + |x+y-z| ≦ 4

検索中に、どこかで見たことのある問題を見つけた。
しばらく検索したものの、出典は分からず…。
コレクションに入っているかと探したが、そこにもなかった。

これが、どんな立体図形になるのかも分かりませぬ ('A`)ｳﾞｫｴｧ！

729(1): 2017/08/29(火) 09:27:12.29 ID:QmBHjFut(8/10)調 AAS
>>679 (1) について

問題再掲
a, b, c >0、abc=1 に対して、(a+b)(b+c)(c+a) + 7 ≧ 5(a+b+c).

解答
>>704、>>706

うますぎて、思いつきませぬ。
以下のような泥臭い方法で考えていたんだけど、行き詰まったでござる。

左辺 - 右辺の最小値を考える。
abc=1 があるので、実質２文字の関数で、一方を任意に固定して、一変数関数で考えて出せないかと。

730: 2017/08/29(火) 10:12:25.32 ID:PqzL+0/+(1)調 AAS
>>728
立方八面体
画像ﾘﾝｸ

731(1): 2017/08/29(火) 11:45:47.48 ID:1JAWO9sa(2/3)調 AAS
>>728
｜a+b｜+｜a-b｜= 2 Max{|a|，|b|｝を使うと、
(左辺）= Max{4|x|，4|y|，4|z|，2|x+y+z|，2|-x+y+z|，2|x-y+z|，2|x+y-z|}

｜x｜≦1
｜y｜≦1
｜z｜≦1
｜x+y+z｜≦2
｜-x+y+z｜≦2
｜x-y+z｜≦2
｜x+y-z｜≦2
の14面で囲まれた立方八面体でござる。

>>729
t^3 -4stu +9uu ≧ 0,　　>>706
s = a+b+c ≦ (t^3 +9uu)/4tu
u = abc = 1
を使って sとu を消し、t=ab+bc+ca だけの関数で考えて出したのが　>>704

732(2): 2017/08/29(火) 14:01:31.73 ID:1JAWO9sa(3/3)調 AAS
>>726 >>727
等号成立は（x､y､z）=λ(1,4,4） and cyclic shift
という所がミソ

733(2): 2017/08/29(火) 17:18:34.40 ID:QmBHjFut(9/10)調 AAS
>>731
> t^3 -4stu +9uu ≧ 0,　　>>706
> s = a+b+c ≦ (t^3 +9uu)/4tu
> u = abc = 1
> を使って sとu を消し、t=ab+bc+ca だけの関数で考えて出したのが　>>704

なるほど。 u=1 だから、s か t のどちらかを消せばよいと。
そこで s を消すために、sを含む s, t, u の不等式の中から、s≦f(t) となりそうなものとして F_1 を選んだ訳でござるな。
考え方が分かってスッキリ！

するってぇと何かい？ t^2 ≧ 3su を使ってもいいってことだね？

s ≦ (t^2)/(3u) = (t^2)/3 より、3≦t≦5 のとき、

(左辺）-（右辺）
＝ 6 - (5-t)s
≧ 6 - (5-t)*(t^2)/3
＝ (t-3)(t^2-2t-6)/3

-3 ≦ t^2-2t-6 ≦ 5 となって失敗したでござる。 F_1 じゃなきゃダメなのか…。

734: 2017/08/29(火) 17:34:23.21 ID:QmBHjFut(10/10)調 AAS
>>733
-3 ≦ t^2-2t-6 ≦ 9 の間違いですた

735: 2017/08/30(水) 01:43:40.46 ID:BK+APDDw(1/2)調 AAS
>>733
F_1 じゃなきゃダメですね…。

マクラーレン・ホンダ：F_1ベルギーGPの決勝レポート（8/28）

マクラーレンはF_1ベルギーGP決勝で、S．バンドーンが14位、Ｆ．アロンソはリタイアだった。

両ドライバーは見事なスタートを切り、Ｆ．アロンソは1周目には10番手から7番手に浮上。

しかし、その後エンジンの不調が発生したためリタイアし、入賞を逃しますた。残念

736(1): 2017/08/30(水) 02:37:18.32 ID:4Q4sm7+y(1/7)調 AA×
>>0

737(1): 2017/08/30(水) 08:12:26.22 ID:4Q4sm7+y(2/7)調 AAS
>>677
(3)をプチ改造。
a, b, c >0、abc=1 に対して、2/(ab+bc+ca) + 1/3 ≧ 3/(a+b+c).

738: 2017/08/30(水) 08:19:26.75 ID:4Q4sm7+y(3/7)調 AAS
>>722
成り立たなかった…。(a,b,c) = (1,1,2), (1,1,1), (1,1,1/2)

739(2): 2017/08/30(水) 08:34:33.56 ID:4Q4sm7+y(4/7)調 AAS
>>732
AM-GM や Schur で証明できた場合は、等号成立条件が a=b=c になってしまうから、
証明の中で、それ以外の特殊な不等式が必要になるってことですかね？

740: 2017/08/30(水) 11:56:04.84 ID:BK+APDDw(2/2)調 AAS
>>737

(a,b,c) →（1/a,1/b,1/c）としたでござるな。

a+b+c → （ab+bc+ca)/abc,
ab+bc+ca → （a+b+c)/abc,
abc → 1/abc,

>>703 の（s,t）を入れ換えて
　F_1(a,b,c）= s^3 -4st +9u ≧0,
　t ≦（s^3 +9u)/4s,
これを使えば　おk　>>707

>>739
そうですね。
AM-GM や Schurは（1,4,4）で等しくないので使えません。

741(1): 2017/08/30(水) 17:00:49.35 ID:4Q4sm7+y(5/7)調 AAS
>>736
難しいので、劣化改造してみた。こちらは力任せに証明できる。

a, b>0 かつ ab=1 のとき、1/(1+a)^2 + 1/(1+b)^2 + 2/{(1+a)(1+b)} ≧1.

742: 2017/08/30(水) 17:18:01.56 ID:4Q4sm7+y(6/7)調 AAS
ところで、AM + GM に関する不等式って何かあったっけ？ Jacobsthal は差だし、Sierpinskiは商か。

743: 2017/08/30(水) 17:24:20.42 ID:4Q4sm7+y(7/7)調 AAS
>>741
この劣化版って、等式だった…

744(2): 2017/08/31(木) 00:00:50.60 ID:iQe17wVf(1/7)調 AAS
>>679
(4)をプチ改造。Nesbittの間に割り込んだ形ですね。

a, b, c >0、abc=1 に対して、
a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) ≧ 1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b) ≧ 3/2

745: 2017/08/31(木) 00:14:37.43 ID:iQe17wVf(2/7)調 AAS
>>744
左は(4)を変形しただけ。

右は間違っているかもしれん。
Cauchyの後にAM-GMを使ったんだけど、AM-GMの不等号が逆で、証明になっていなかった。

746: 2017/08/31(木) 00:17:09.96 ID:iQe17wVf(3/7)調 AAS
結局、こうですね。

a, b, c >0、abc=1 に対して、
a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) ≧ 1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b) > 0

747: 2017/08/31(木) 02:42:09.91 ID:iQe17wVf(4/7)調 AAS
これでOK？

λを正定数、a, b>0 かつ ab=1 のとき、
1 + λ/4 ≧ 1/(1+a)^2 + 1/(1+b)^2 + (2+λ)/{(1+a)(1+b)} ≧1.

748: 2017/08/31(木) 02:45:27.34 ID:iQe17wVf(5/7)調 AAS
λを正定数、a, b>0 かつ ab=1 のとき、
1 + λ/4 ≧ 1/(1+a)^2 + 1/(1+b)^2 + (2+λ)/{(1+a)(1+b)} > 1.

こうですね。

749: 2017/08/31(木) 04:26:22.51 ID:iQe17wVf(6/7)調 AAS
>>728
エレ解 1997.9 だった。

750(1): 2017/08/31(木) 07:12:05.62 ID:iQe17wVf(7/7)調 AAS
a, b, c ≧0 かつ a+b+c=1 のとき、a*(a+b)^2*(b+c)^3*(c+a)^4 の最大値を求めよ。

751: 2017/08/31(木) 10:46:05.27 ID:DG2IOYgq(1)調 AAS
>>750
GM-AM で
(与式）= 16･a･(a+b)^2･(b+c)^3･{(c+a)/2}^4
　≦ 16｛[a + 2(a+b）+ 3(b+c）+ 4((c+a)/2)]/(1+2+3+4)}^10
　= 16｛(a+b+c)/2}^10
　= 1/64.　　（← a+b+c=1)
等号は（a,b,c）=（1/2,0,1/2)

752(1): 2017/08/31(木) 22:15:21.12 ID:A7wnlx0o(1/2)調 AAS
>>744
a, b, c >0 abc=1
a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) >= 1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b) + (3/2 - 4/((a+b)(b+c)(c+a)))

753: 2017/08/31(木) 22:18:05.59 ID:A7wnlx0o(2/2)調 AAS
>>752
間違えた
a, b, c >0 abc=1
a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) >= 1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b) + (1/2 - 4/((a+b)(b+c)(c+a)))

754(14): 2017/09/01(金) 00:01:46.44 ID:3P2EPmWz(1/5)調 AA×
>>0 >>0 >>0

755(2): 2017/09/01(金) 00:16:20.58 ID:3P2EPmWz(2/5)調 AAS
【問題】
a, b, c >0 に対して、2*QM + 3*GM ≦ 5*AM。ただし、QM = √{(a^2+b^2+c^2)/3}

756: 2017/09/01(金) 06:54:43.37 ID:3P2EPmWz(3/5)調 AAS
>>388
条件 x>y が抜けとる。すみませぬ。

訂正
x>y>0 かつ (x^6)(y^2) - (x^5)(y^3) + (x^5)(y^5) - (x^4)(y^6) ≧ 4 のとき、x^3+y^2≧3.

757(6): 2017/09/01(金) 11:18:02.33 ID:QpLZW4eS(1/5)調 AAS
>>754
(1)
aa=A，bb=B，cc=C とおいて考える。

(右辺）=（A+2B)(B+2C)(C+2A)
= 2(AAB+BBC+CCA）+ 4(ABB+BCC+CAA）+ 9ABC,

(左辺）=（ab+bc+ca)^3
= aabb(ab+3bc+3ca）+ bbcc(bc+3ca+3ab）+ ccaa(ca+3ab+3bc）+6(abc)^2
≦ AB(2A+2B+3C）+ BC(2B+2C+3A）+ CA(2C+2A+3B）+ 6ABC
= 2(AAB+BBC+CCA）+ 2(ABB+BCC+CAA）+15ABC,

(右辺）-（左辺）≧ 2(ABB+BCC+CAA-3ABC）≧ 0,　　（← AM-GM)

(4) a>>b,c では不成立？

(5）コーシーで
(ab+bb+aa)(bb+bc+cc)(aa+cc+ca）≧（ab+bc+ca)^3

(6)
9(st-u) - 8st = 9(a+b)(b+c)(c+a）- 8(a+b+c)(ab+bc+ca)
= a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2
≧0,
(左辺）-2 = (ss-4t)/t + 8u/(st-u)
≧ 8s(ss-4t)/{9(st-u)} + 8u/(st-u)
= 8(s^3 -4st+9u)/{9(st-u)}
= 8F_1(a,b,c)/{9(st-u)}
≧0,

758: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/01(金) 14:09:25.39 ID:7A4+w7Rv(1/31)調 AAS
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759: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/01(金) 14:09:44.29 ID:7A4+w7Rv(2/31)調 AAS
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760: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/01(金) 14:10:00.19 ID:7A4+w7Rv(3/31)調 AAS
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761: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/01(金) 14:10:16.39 ID:7A4+w7Rv(4/31)調 AAS
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762: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/01(金) 14:10:32.17 ID:7A4+w7Rv(5/31)調 AAS
￥

763: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/01(金) 14:10:49.15 ID:7A4+w7Rv(6/31)調 AAS
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764: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/01(金) 14:11:05.68 ID:7A4+w7Rv(7/31)調 AAS
￥

765: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/01(金) 14:11:25.32 ID:7A4+w7Rv(8/31)調 AAS
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766: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/01(金) 14:11:42.28 ID:7A4+w7Rv(9/31)調 AAS
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767: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/01(金) 14:12:00.06 ID:7A4+w7Rv(10/31)調 AAS
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768(2): 2017/09/01(金) 14:40:29.27 ID:QpLZW4eS(2/5)調 AAS
>>754

(2)
(左辺）-（右辺）=（aa+bb+cc)^3 -（a+b+c)(ab+bc+ca)(a^3+b^3+c^3)
= p'(b-c)^2 + q'(c-a)^2 + r'(a-b)^2
≧ 0,
ここに
p ' =｛4a^4+b^4+c^4 +（a^4+a^4+b^4+c^4-4aabc)}/4 ≧（4a^4+b^4+c^4)/4,
q ' =｛a^4+4b^4+c^4 +（a^4+b^4+b^4+c^4-4abbc)}/4 ≧（a^4+4b^4+c^4)/4,
r ' =｛a^4+b^4+4c^4 +（a^4+b^4+c^4+c^4-4abcc)}/4 ≧（a^4+b^4+4c^4)/4,

(3)
(左辺）-（右辺）=（aa+bc)(bb+ca)(cc+ab）- abc(a+b)(b+c)(c+a)
= abc{a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)｝+｛(ab)^3 +（bc)^3 +（ca)^3 -3(abc)^2}
= u(s^3 -4st+9u）+ t(tt-3su)
= u･F_1(a,b,c）+ t･uF_{-1}(a,b,c)
≧ 0,

769: 2017/09/01(金) 15:02:15.49 ID:QpLZW4eS(3/5)調 AAS
>>754
(7)
左辺の4つの因子のうち、負になれるのは高々１つだけ。
左辺が正のときは４つとも正。
GM-AMで
(a+b+c-d)(b+c+d-a）=（b+c)^2 -（a-d)^2 ≦（b+c)^2,
循環的に掛ける。

770: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/01(金) 17:01:31.17 ID:7A4+w7Rv(11/31)調 AAS
￥

771: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/01(金) 17:01:46.66 ID:7A4+w7Rv(12/31)調 AAS
￥

772: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/01(金) 17:02:00.08 ID:7A4+w7Rv(13/31)調 AAS
￥

773: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/01(金) 17:02:36.90 ID:7A4+w7Rv(14/31)調 AAS
￥

774: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/01(金) 17:02:57.36 ID:7A4+w7Rv(15/31)調 AAS
￥

775(1): ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/01(金) 17:03:15.79 ID:7A4+w7Rv(16/31)調 AAS
￥

776: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/01(金) 17:03:35.39 ID:7A4+w7Rv(17/31)調 AAS
￥

777: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/01(金) 17:03:54.70 ID:7A4+w7Rv(18/31)調 AAS
￥

778: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/01(金) 17:04:39.40 ID:7A4+w7Rv(19/31)調 AAS
￥

779: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/01(金) 17:05:00.23 ID:7A4+w7Rv(20/31)調 AAS
￥

780: 2017/09/01(金) 22:12:42.77 ID:3P2EPmWz(4/5)調 AAS
>>754 (4)は成立しませんでした、すみません。

781: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/01(金) 22:30:34.79 ID:7A4+w7Rv(21/31)調 AAS
￥

782: 2017/09/01(金) 22:46:45.99 ID:QpLZW4eS(4/5)調 AAS
>>726 >>727
>>732 >>739
AM-GMやSchurは使えそうにないので...

a ≦ b,c とすると、G =（abc)^(1/3)≧ a,
m = √(bc）とおき、
(a,b,c）→（a,m,m）としたとき、Gは不変で、
A(a,b,c）- A(a,m,m）=（b+c-2m)/3,
H(a,b,c）- H(a,m,m）=（b+c-2m)/3｛-H(a,b,c)H(a,m,m)/bc}
　≧（b+c-2m)/3（-GG/bc)
　=（b+c-2m)/3（-a/G)
∴ A(a,b,c）+ H(a,b,c）≧ A(a,m,m）+ H(a,m,m）
等号成立は b=c のとき。　……(1)
大きい方の2つが等しい場合を考えればよいので、
ほぼ１変数の問題に帰着する。
A(a,m,m）+ H(a,m,m）
= 2(aa+7am+mm)/{3(2a+m)}
=｛5/16^(1/3)}G + f(x)･mm/{24(2a+m)}
≧｛5/16^(1/3)}G,
ここに、x =（4a/m)^(1/3）とおいた。
f(x）= x^6 - 15x^4 +28x^3 -30x +16
=（x-1)^2｛(xx-4)^2 + 2x(x-1)^2},
等号成立は x=1，4a=m=√(bc）のとき。　……(2)

(1)(2)より、（a,b,c）=λ(1,4,4)

783(2): 2017/09/01(金) 22:57:26.08 ID:3P2EPmWz(5/5)調 AAS
>>757
昔のmemoの中に、>>754(5)を改造したものがあった。

a, b, c >0 に対して、
(a^2 + ab + b^2)(b^2 + bc + c^2)(c^2 + ca + a^2)
≧ (27/64)*[(a+b)(b+c)(c+a)]^2
≧ (1/3)*[(a+b+c)(ab+bc+ca)]^2
≧ (ab+bc+ca)^3.

784: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/01(金) 23:07:51.02 ID:7A4+w7Rv(22/31)調 AAS
￥

785: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/01(金) 23:08:08.91 ID:7A4+w7Rv(23/31)調 AAS
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786: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/01(金) 23:08:25.82 ID:7A4+w7Rv(24/31)調 AAS
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787: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/01(金) 23:08:42.26 ID:7A4+w7Rv(25/31)調 AAS
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788: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/01(金) 23:08:58.29 ID:7A4+w7Rv(26/31)調 AAS
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789: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/01(金) 23:09:14.08 ID:7A4+w7Rv(27/31)調 AAS
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790: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/01(金) 23:09:33.14 ID:7A4+w7Rv(28/31)調 AAS
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791: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/01(金) 23:09:50.17 ID:7A4+w7Rv(29/31)調 AAS
￥

792: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/01(金) 23:10:06.18 ID:7A4+w7Rv(30/31)調 AAS
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793: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/01(金) 23:10:23.49 ID:7A4+w7Rv(31/31)調 AAS
￥

794: 2017/09/01(金) 23:50:29.90 ID:QpLZW4eS(5/5)調 AAS
>>726-727

〔類題〕
AM + 0.90096 HM ≧ 1.90096 GM

等号成立は（a,b,c）=λ( 0.3962570…，1，1）のとき

［第7章.897-903］

795: 2017/09/02(土) 01:00:08.66 ID:Po7d73tU(1/6)調 AAS
>>388 (5) >>450 >>708

〔Hlawkaの不等式〕の拡張
m≧2 のとき、
（m-2）Σ[k=1,m］｜x_k |^2 +｜Σ[k=1,m] x_k |^2 = Σ[1≦i<j≦m]｜x_i +x_j |^2.
（m-2）Σ[k=1,m］｜x_k｜+｜Σ[k=1,m] x_k｜≧ Σ[1≦i<j≦m］｜x_i +x_j｜.
（D.D.Adamovic）
[初代スレ.354-360,364]
文献[3] 大関、p.34

796: 2017/09/02(土) 01:24:47.34 ID:88PUFUMG(1)調 AAS
HMって何の略？
Heron M???

797: 2017/09/02(土) 02:01:43.40 ID:3JI2dd7J(1)調 AAS
調和平均だろ

798: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/02(土) 02:19:28.43 ID:z17/uuYO(1/30)調 AAS
￥

799: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/02(土) 02:20:02.55 ID:z17/uuYO(2/30)調 AAS
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800: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/02(土) 02:20:20.28 ID:z17/uuYO(3/30)調 AAS
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801: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/02(土) 02:20:35.58 ID:z17/uuYO(4/30)調 AAS
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802: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/02(土) 02:20:49.89 ID:z17/uuYO(5/30)調 AAS
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803: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/02(土) 02:21:04.96 ID:z17/uuYO(6/30)調 AAS
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804: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/02(土) 02:21:20.25 ID:z17/uuYO(7/30)調 AAS
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805: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/02(土) 02:21:38.25 ID:z17/uuYO(8/30)調 AAS
￥

806: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/02(土) 02:21:55.29 ID:z17/uuYO(9/30)調 AAS
￥

807: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/02(土) 02:22:12.25 ID:z17/uuYO(10/30)調 AAS
￥

808(2): 2017/09/02(土) 02:38:52.19 ID:Po7d73tU(2/6)調 AAS
>>755

QQ =（ss-2t)/3 ≦｛ss - 2√(3su)}/3 = 3AA - 2G√(AG),

(5A-3G)^2 -（2Q）≧（5A-3G)^2 -12AA +8G√(AG)
= 13AA -30AG +8G√(AG) +9GG
=（√A -√G)^2｛13A +26√(AG）+9G}
≧ 0,
∴ 5A-3G ≧ 2Q,

809: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/02(土) 03:25:43.62 ID:z17/uuYO(11/30)調 AAS
￥

810: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/02(土) 03:26:00.91 ID:z17/uuYO(12/30)調 AAS
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811: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/02(土) 03:26:18.01 ID:z17/uuYO(13/30)調 AAS
￥

812: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/02(土) 03:26:34.56 ID:z17/uuYO(14/30)調 AAS
￥

813: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/02(土) 03:26:51.60 ID:z17/uuYO(15/30)調 AAS
￥

814: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/02(土) 03:27:07.97 ID:z17/uuYO(16/30)調 AAS
￥

815: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/02(土) 03:27:24.47 ID:z17/uuYO(17/30)調 AAS
￥

816: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/02(土) 03:27:40.73 ID:z17/uuYO(18/30)調 AAS
￥

817: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/02(土) 03:27:57.61 ID:z17/uuYO(19/30)調 AAS
￥

818: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/02(土) 03:28:14.74 ID:z17/uuYO(20/30)調 AAS
￥

819(1): 2017/09/02(土) 04:25:20.11 ID:ziPENgdW(1/11)調 AAS
>>757 (6)
(左辺)-(右辺) の計算過程で、
　　9(a+b)(b+c)(c+a) ≧ 8st …(1)
の使うタイミングが上手いですね。

私は左辺の第１項に対して使ってしまい、その後の変形で分子が
　　8F_1 - 2E_1　ここで E_1 = st-9u
となって、ずっと悩んでいました。

(左辺の第１項-2)に対して使うことで、あっさり片付くとは！いと難し… ('A`)ｳﾞｫｴｧ！

820(2): 2017/09/02(土) 04:28:13.99 ID:LXq7kqvc(1/2)調 AAS
Arithmetic Mean
Geometric Mean
Harmonic Mean

>>775のQMは？

821(2): 2017/09/02(土) 04:28:37.79 ID:LXq7kqvc(2/2)調 AAS
>>755のQMは何の略？

822: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/02(土) 04:31:02.63 ID:z17/uuYO(21/30)調 AAS
￥

823: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/02(土) 04:31:21.98 ID:z17/uuYO(22/30)調 AAS
￥

824: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/02(土) 04:31:41.58 ID:z17/uuYO(23/30)調 AAS
￥

825: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/02(土) 04:32:00.70 ID:z17/uuYO(24/30)調 AAS
￥

826: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/02(土) 04:32:18.24 ID:z17/uuYO(25/30)調 AAS
￥

827: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/02(土) 04:32:36.88 ID:z17/uuYO(26/30)調 AAS
￥

828: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/02(土) 04:32:56.48 ID:z17/uuYO(27/30)調 AAS
￥

829: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/02(土) 04:33:16.82 ID:z17/uuYO(28/30)調 AAS
￥

830: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/02(土) 04:33:37.63 ID:z17/uuYO(29/30)調 AAS
￥

831: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/02(土) 04:33:57.42 ID:z17/uuYO(30/30)調 AAS
￥

832: 2017/09/02(土) 05:50:25.95 ID:ziPENgdW(2/11)調 AAS
ここまでの荒らし数470くらい。 50％を超えているとは思わなんだ。
￥って何なんだ？山崎パンかよ！

833(2): 2017/09/02(土) 07:24:51.83 ID:ziPENgdW(3/11)調 AAS
>>757 (1)
左辺の変形は、同順序積の方が大きいことを利用して、瞬時に大きくしたのですかね？

834(2): 2017/09/02(土) 07:36:00.01 ID:ziPENgdW(4/11)調 AAS
と思ったが、係数まで変わっているから、やっぱり分からないなあ。

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