[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
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504: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木) 15:02:35.54 ID:JHmEReZW(26/44)調 AAS
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505: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木) 15:02:52.13 ID:JHmEReZW(27/44)調 AAS
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506: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木) 15:03:08.83 ID:JHmEReZW(28/44)調 AAS
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507: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木) 15:03:25.66 ID:JHmEReZW(29/44)調 AAS
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508: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木) 15:03:43.60 ID:JHmEReZW(30/44)調 AAS
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509: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木) 15:04:00.80 ID:JHmEReZW(31/44)調 AAS
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510: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木) 15:04:17.63 ID:JHmEReZW(32/44)調 AAS
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511: 2017/08/10(木) 20:36:16.33 ID:ZcMNVdrv(4/6)調 AAS
>>467-468
> 三角形の辺長を a, b, c、面積をSとするとき、a^2 + b^2 + c^2 ≧ (4√3)S.
>
> [2] この不等式には、オノとかフランダースとか、なんか名前はついていないのかな？
Weitzenbock's inequality と言うらしい。ヴァイツェンベックと発音するのかな？
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
512: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木) 21:00:27.34 ID:JHmEReZW(33/44)調 AAS
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513: 2017/08/10(木) 21:41:35.40 ID:ZcMNVdrv(5/6)調 AAS
Crux
外部ﾘﾝｸ:cms.math.ca
いつの間にかパスワード制になって読めなくなったでござる。
パスワード無しで読める最後の記事は v37n8 (2011年)。
外部ﾘﾝｸ:cms.math.ca
Problems
3690、3691、3694、3699
514: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木) 21:57:11.66 ID:JHmEReZW(34/44)調 AAS
★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★
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515(2): 2017/08/10(木) 21:57:26.65 ID:ZcMNVdrv(6/6)調 AAS
>>389
これでござるな。
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.kindai.ac.jp
516: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木) 23:48:50.83 ID:JHmEReZW(35/44)調 AAS
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517: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木) 23:49:09.40 ID:JHmEReZW(36/44)調 AAS
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518: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木) 23:49:27.64 ID:JHmEReZW(37/44)調 AAS
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519: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木) 23:49:45.64 ID:JHmEReZW(38/44)調 AAS
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520: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木) 23:50:03.51 ID:JHmEReZW(39/44)調 AAS
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521: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木) 23:50:22.17 ID:JHmEReZW(40/44)調 AAS
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522: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木) 23:50:41.02 ID:JHmEReZW(41/44)調 AAS
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523: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木) 23:50:57.38 ID:JHmEReZW(42/44)調 AAS
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524: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木) 23:51:13.83 ID:JHmEReZW(43/44)調 AAS
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525: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木) 23:51:31.07 ID:JHmEReZW(44/44)調 AAS
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526: 2017/08/11(金) 00:32:25.04 ID:UlqqGaeP(1)調 AAS
ネタギレだな
興奮する問題が無い
527: 2017/08/11(金) 00:46:30.31 ID:VAqorbPb(1)調 AAS
(俺の経験人数)＞Σ(このスレの住人の経験人数)
を示せ
528: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 00:58:40.57 ID:ToUPXODc(1/33)調 AAS
♪♪♪もう良い子は寝る時間です。そやし馬鹿板は止めて、また明日にしましょう。♪♪♪
ケケケ￥
529: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 06:12:48.74 ID:ToUPXODc(2/33)調 AAS
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530: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 06:13:04.97 ID:ToUPXODc(3/33)調 AAS
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531: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 06:13:20.84 ID:ToUPXODc(4/33)調 AAS
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532: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 06:13:36.78 ID:ToUPXODc(5/33)調 AAS
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533: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 06:13:51.86 ID:ToUPXODc(6/33)調 AAS
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534: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 06:14:08.31 ID:ToUPXODc(7/33)調 AAS
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535: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 06:14:24.27 ID:ToUPXODc(8/33)調 AAS
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536: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 06:14:39.62 ID:ToUPXODc(9/33)調 AAS
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537: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 06:14:55.88 ID:ToUPXODc(10/33)調 AAS
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538: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 06:15:11.17 ID:ToUPXODc(11/33)調 AAS
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539(3): 2017/08/11(金) 12:57:10.89 ID:OXujv9yn(1/2)調 AAS
>>467 (1）を改造...
三角形の辺長を a,b,c、面積をSとするとき、(1/3)(a+b+c)^2 ≧ (4√3)S.
(証明３)
b+c-a=A, c+a-b=B, a+b-c=C とおく。
(1/3)(a+b+c)^2
=（1/3)(A+B+C)^2
≧ √{3(A+B+C)ABC} （← AM-GM)
=（4√3)S,
三角形の辺長を a,b,c、面積をSとするとき、ab+bc+ca ≧ (4√3)S.
(証明６)
b+c-a=A, c+a-b=B, a+b-c=C とおく。
ab+bc+ca = aa+bb+cc -{(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2}/2
≧ aa+bb+cc -(a-b)^2 -(b-c)^2 -(c-a)^2
= AB+BC+CA
≧ √{3(A+B+C)ABC}
=（4√3)S,
540: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 12:59:40.46 ID:ToUPXODc(12/33)調 AAS
★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★
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541(2): 2017/08/11(金) 16:26:36.35 ID:XzY0B0Bq(1/4)調 AA×
>>0
542(1): 2017/08/11(金) 16:46:26.28 ID:XzY0B0Bq(2/4)調 AA×
>>467>>539
543(2): 2017/08/11(金) 17:08:13.18 ID:XzY0B0Bq(3/4)調 AA×
>>467>>539>>542>>542
外部ﾘﾝｸ[html]:forumgeom.fau.edu
544(1): ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 17:28:47.81 ID:ToUPXODc(13/33)調 AAS
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545: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 17:29:04.30 ID:ToUPXODc(14/33)調 AAS
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546: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 17:29:20.83 ID:ToUPXODc(15/33)調 AAS
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547: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 17:29:36.61 ID:ToUPXODc(16/33)調 AAS
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548: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 17:29:52.50 ID:ToUPXODc(17/33)調 AAS
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549: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 17:30:07.38 ID:ToUPXODc(18/33)調 AAS
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550: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 17:30:22.15 ID:ToUPXODc(19/33)調 AAS
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551: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 17:30:56.58 ID:ToUPXODc(20/33)調 AAS
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552: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 17:31:12.23 ID:ToUPXODc(21/33)調 AAS
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553: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 17:31:29.05 ID:ToUPXODc(22/33)調 AAS
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554(2): 2017/08/11(金) 18:20:48.72 ID:OXujv9yn(2/2)調 AAS
>>467 (1）>>539 を再改造…
>>541
(2)
(aa-ab+bb)/(aa+ab+bb）≧ 1/3，など。
(左辺）≧ 2(a+b+c)/3 ≧ 2(abc)^(2/3）= 2,
(3)
ab +a^5 +b^5 = aabbc +a^5 +b^5 ≧ aabb(a+b+c）= ab(a+b+c)/c,
IMO-1996 予選
文献[9］佐藤、演習問題1.15
>>543
abc =（A+B)(B+C)(C+A)/8 ≧（A+B+C)(AB+BC+CA)/9,
∴ ab+bc+ca ≧ 9abc/(a+b+c）≧ AB+BC+CA
>>539 により成立。
きりがないでござるよ…
555: 2017/08/11(金) 18:50:48.93 ID:XzY0B0Bq(4/4)調 AA×
>>554
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
556: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 19:51:33.31 ID:ToUPXODc(23/33)調 AAS
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557: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 19:51:49.80 ID:ToUPXODc(24/33)調 AAS
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558: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 19:52:21.89 ID:ToUPXODc(25/33)調 AAS
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559: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 19:52:37.32 ID:ToUPXODc(26/33)調 AAS
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560: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 19:52:54.05 ID:ToUPXODc(27/33)調 AAS
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561: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 19:53:10.75 ID:ToUPXODc(28/33)調 AAS
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562: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 19:53:26.68 ID:ToUPXODc(29/33)調 AAS
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563: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 19:53:42.49 ID:ToUPXODc(30/33)調 AAS
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564: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 19:53:58.68 ID:ToUPXODc(31/33)調 AAS
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565: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 19:54:14.33 ID:ToUPXODc(32/33)調 AAS
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566: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 19:54:30.09 ID:ToUPXODc(33/33)調 AAS
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567: 2017/08/12(土) 00:51:27.72 ID:WPvdvXKS(1)調 AAS
なんかこのスレきもいな
ただのキモオタじゃん
568(1): 2017/08/12(土) 00:51:30.41 ID:rvCA1oPA(1/3)調 AAS
>>389 >>515
△ABC における重心座標を考える。
↑D = L･↑A + m･↑B + n･↑C， L+m+n=1,
（v，w）=（(Lp+mr+nt)/(L+m+n)，(Lq+ms+nu)/(L+m+n))
（Dが△ABCの内部または周上） ⇔ 0 ≦ L,m,n
∴ AM-GM により
x^v･y^w ≦｛L(x^p)(y^q) + m(x^r)(y^s) + n(x^t)(y^u)}/(L+m+n)
≦ (x^p)(y^q) + (x^r)(y^s) + (x^t)(y^u),
（Dが△ABCの外部） ⇔ min{L,m,n｝<0
さて、どうする？
569: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/12(土) 02:20:34.22 ID:Ay3s6hqd(1/10)調 AAS
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570: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/12(土) 02:20:51.86 ID:Ay3s6hqd(2/10)調 AAS
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571: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/12(土) 02:21:10.10 ID:Ay3s6hqd(3/10)調 AAS
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572: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/12(土) 02:21:27.14 ID:Ay3s6hqd(4/10)調 AAS
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573: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/12(土) 02:21:45.38 ID:Ay3s6hqd(5/10)調 AAS
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574: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/12(土) 02:22:05.22 ID:Ay3s6hqd(6/10)調 AAS
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575: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/12(土) 02:22:22.90 ID:Ay3s6hqd(7/10)調 AAS
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576: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/12(土) 02:22:39.56 ID:Ay3s6hqd(8/10)調 AAS
￥
577: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/12(土) 02:22:57.04 ID:Ay3s6hqd(9/10)調 AAS
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578: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/12(土) 02:23:15.89 ID:Ay3s6hqd(10/10)調 AAS
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579(1): 2017/08/12(土) 03:30:21.66 ID:hiSFFC3j(1)調 AAS
不等式ではなくって、等式なんだけど、
>>467の本 ： 佐久間一浩、『高校数学と大学数学の接点』
を立ち読みしてきたときに見つけた問題を。
Σ[n=1 to ∞] (15n^2 - 30πn^4 + 8π^2 n^6)*e^(-πn^2) = ？
あと、名前の付いた等式を一つ。（只の式変形で出るので面白くはないが…）
ヒルツェブルフの等式 ： x/ tanh x = 2x/(e^(2x)-1) + x
580: 2017/08/12(土) 11:28:19.55 ID:rvCA1oPA(2/3)調 AAS
>>388 (4)
(i) >>432
(ii) OA=OB=OC とし、Oから平面ABCに垂線OHを下し、z軸とする。
A,B,C の天頂角をθとおくと、OH =｜OA|･cosθ，etc.
２平面 OAH と OBH のなす角（二面角）を ∠AHB = φとおく。
cos(∠AOB）=（OA・OB)/|OA||OB｜=（cosθ)^2 +（sinθ)^2 cosφ ≧ cosφ,
∴ ∠AOB ≦ φ = ∠AHB,
循環的にたす。
581: 2017/08/12(土) 12:31:19.72 ID:rvCA1oPA(3/3)調 AAS
>>579
0
L(x) = 1/tanh(x) - 1/x をランジュヴァン関数というらしい。
|x| << 1 で L(x)≒x/3
582: 2017/08/13(日) 16:43:33.64 ID:/or+kDcE(1)調 AAS
>>541 (1)
(a+b)/(ab+a+b) = (a+b)c/{1+(a+b)c｝= z/(1+z),
通分して
（1+x)(1+y)z +（1+x)y(1+z）+ x(1+y)(1+z）- 2(1+x)(1+y)(1+z)
= -2 -（x+y+z） +xyz,
= -2 -2(ab+bc+ca）+ abc(a+b)(b+c)(c+a)
=｛1 - (abc)^2｝+（ab+bc+ca-3）+（ab+bc+ca)｛abc(a+b+c) -3｝
≧ 0,
583(4): 2017/08/14(月) 03:30:28.48 ID:DhVyRLdl(1/2)調 AAS
>>449 >>455
(2)
（1+ab)/(1+a）= (1+c)/{c(1+a)}，etc.
AM-GM する。
>>455 とほとんど同じだ....
(3)
1/(1+a）+ 1/(1+b）+ 1/(1+c)
≧ 1/(1+a+ab）+ 1/(1+b+bc）+ 1/(1+c+ca）
= x/(x+y+z）+ y/(y+z+x）+ z/(z+x+y)
= 1,
bc/(1+a) + ca/(1+b) + ab/(1+c) ≧ 3/2,
通分して
bc(1+b)(1+c）+ ca(1+c)(1+a）+ ab(1+a)(1+b）-（3/2)(1+a)(1+b)(1+c)
= t +（st-3u）+（tt-2su）-（3/2)(1+s+t+u)
=｛(s-3)t + s(t-3)}/6 +（2s+3)(u-1)/2 + 2(st-9u)/3 +（tt-3su)
=｛(s-3)t + s(t-3)}/6 +（2s+3)(u-1)/2
≧0, （← s≧3、t≧3、u=1）
584(3): 2017/08/14(月) 14:19:59.12 ID:2wTFMFcz(1/2)調 AA×
>>543-544>>544
585(2): 2017/08/14(月) 16:40:29.61 ID:2wTFMFcz(2/2)調 AAS
数学文化という雑誌に不等式の特集があるというタレ込みがあったので買ってきた。未だ目を通していない。
586(1): 2017/08/14(月) 21:52:11.78 ID:DhVyRLdl(2/2)調 AAS
>>449
(3)下
チェビシェフで
(左辺）= 1/{a(1+a)｝+ 1/{b(1+b)｝+ 1/{c(1+c)｝
≧ 1/{a(1+b)｝+ 1/{b(1+c)｝+ 1/{c(1+a)｝
よって、次の問題に帰着する。
〔問題3.93〕
1/{a(1+b)｝+ 1/{b(1+c)｝+ 1/{c(1+a)｝≧ 3/(1+abc),
バルカンMO-2006
文献［9］ 佐藤(訳)、問題3.93
左辺に 1+abc を掛ける。
(1+abc)/{a(1+b)｝= (1+a)/{a(1+b)｝-1 + b(1+c)/(1+b)，etc.
巡回的に AM-GM すると
（1+abc)(左辺）≧ 3(1/G -1 +G)
= 3(1-G+GG)/G
= 3(1+GGG)/{G(1+G)}．
∴ (左辺）≧ 3/{G(1+G)},
ここに G=(abc)^(1/3)
587(1): 2017/08/15(火) 00:00:45.18 ID:CDzXTDus(1/2)調 AAS
>>584
（AB+BC+CA)/3 ≧ √{(A+B+C)ABC/3} =（4/√3)S, >>554
（HM)^2 ≧（4/√3)S
にて御座候。
HM と √{(AB+BC+CA)/3｝の大小は不定と思われ...
き、きりがねぇ。。。
588(1): 2017/08/15(火) 11:55:24.24 ID:MRdTx6vq(1/3)調 AAS
>>587
> （HM)^2 ≧（4/√3)S
これがうまく証明できませぬ…
589(2): 2017/08/15(火) 11:56:07.50 ID:MRdTx6vq(2/3)調 AA×
>>584-585
590(1): 2017/08/15(火) 12:37:59.27 ID:MRdTx6vq(3/3)調 AAS
>>589
> >>584-585より、
> (√3)R ≧ (a^2+b^2+c^2)/3 ≧ AM ≧ √{(ab+bc+ca)/3} ≧ GM ≧ √|3abc/(a+b+c)}≧ HM ≧ 2√(S/√3) ≧ (2√3)r
>
> ところで、三角形の辺長a,b,cに対して、2(ab+bc+ca) > (1/2)(a+b+c)^2 > a^2+b^2+c^2 だから、
GMの左側から合体させたら、
√{(ab+bc+ca)/3} ＞ (a+b+c)/(2√3) ＞ √|(a^2+b^2+c^2)/6} ≧ GM/(√2)
√{(ab+bc+ca)/3} ≧ GM ≧ √|3abc/(a+b+c)}≧ HM ≧ 2√(S/√3) ≧ (2√3)r
この2つは合体は無理そうかな。上側はGMより小さくなってるようだし…
591: 2017/08/15(火) 13:03:49.64 ID:CDzXTDus(2/2)調 AAS
>>589
{√2(ab+bc+ca)/3｝>（a+b+c)/√6 > √{(aa+bb+cc)/3｝≧ AM
>>590
正△でも等号不成立なので、無理そうでござる。
592(2): 2017/08/16(水) 07:17:47.30 ID:QnvYtidY(1/4)調 AA×
>>588
593: 2017/08/16(水) 08:03:22.63 ID:QnvYtidY(2/4)調 AAS
>>592
左辺の係数間違ごうとる
（HM)^2 ≧（4/√3)S
⇔ (9√3)(abc)^2 ≧ 4(ab+bc+ca)^2 √{s(s-a)(s-b)(s-c)}
⇔ (9√3) sin A sin B sin C ≧ 2 (sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A)^2
594(2): 2017/08/16(水) 13:54:15.29 ID:QnvYtidY(3/4)調 AAS
>>592
（HM)^2 ≧（4/√3)S ⇔ (x+y+z)/3 ≧ (xyz)^(1/3)
ラビで一発だった。
595: 2017/08/16(水) 14:18:02.07 ID:QnvYtidY(4/4)調 AAS
>>594
いや別の不等式の話でした。
ごめん、あれこれ弄っていて混乱していました。
596(1): 2017/08/18(金) 01:02:25.04 ID:90S02hzN(1)調 AAS
>>588-595
HM^2 と (4/√3)S の大小
1辺だけが短い楔状△の場合は不成立のようでござる。
手間取らせて、すまぬ。
597(3): 2017/08/18(金) 11:06:43.92 ID:WHydeLcz(1/4)調 AAS
>>596
さんくす。(a,b,c)=(1/3,1,1)で、HMの方が小さくなりますね。
[疑問] HM ≧ （2/√3)r は成り立つか？
b=c=1、0<a<2でWolfram先生にグラフを書かせたら、０以上っぽいので、基本対称式で表すと、
(HM^2 - 12r)/3 の分子
= 3su^2+s^3t^2-4st^3+8t^2u
= (s^2-3t)st^2 - (t^2-3su)u
= 正 - 正
で、この方法では失敗でござった。
598(2): 2017/08/18(金) 12:33:10.09 ID:WHydeLcz(2/4)調 AAS
>>597
ちがった。最後は
(s^3t^2-4st^3+9t^2u) - (t^2-3su)u
599(1): 2017/08/18(金) 17:50:32.42 ID:WHydeLcz(3/4)調 AAS
>>449、>>583、>>586
> a, b, c >0 かつ abc=1 のとき、bc/(1+a) + ca/(1+b) + ab/(1+c) ≧ 3/2
>>586
> 1/{a(1+b)｝+ 1/{b(1+c)｝+ 1/{c(1+a)｝≧ 3/(1+abc),
>
> バルカンMO-2006、文献［9］ 佐藤(訳)、問題3.93
似たような不等式を見つけた。
[IMO 1995 第2問] 外部ﾘﾝｸ[html]:www.cs.cornell.edu
1/(a^3*(b+c)) + 1/(b^3*(c+a)) + 1/(c^3*(a+b)) ≧ 3/2.
600(3): 2017/08/18(金) 18:07:26.70 ID:WHydeLcz(4/4)調 AAS
>>449、>>455、>>583
a, b, c >0 かつ abc=1 のとき、3 > 1/(1+a）+ 1/(1+b）+ 1/(1+c) > 1
上限を厳しく評価するには、どういう考え方でやればいいんでせうか？
601(2): 2017/08/18(金) 22:17:20.07 ID:/k+bKW+I(1)調 AAS
>>600
f(x)=1/(1+e^x)
x+y+z=0 なる実数 x, y, z に対して f(x)+f(y)+f(z) の上限を調べればよい
f は x<=0 で狭義凸だから LCF から y=x, z=-2x のときの上限を調べれよばよい
sup 2f(x)+f(-2x) = 2
よって上限は 2
602(2): 2017/08/19(土) 03:06:30.81 ID:HQ7H9Ohy(1/3)調 AAS
>>599
x=1/a、ｙ=1/b、z=1/c とおくと、xyz=1
S = xx/(y+z）+ yy/(z+x）+ zz/(x+y)
≧ (x+y+z)^2 /{(y+z)+(z+x)+(x+y)｝ (←コーシー)
=（x+y+z)/2
≧3/2,
文献[9] 佐藤(訳）例1.4.9
>>600
a,b,… のうち最小のものをmとおきます。（m≦1)
1より大きい2要素 p,q があったときは
(p, q）→（m, pq/m）と置き換えてみます。
このとき相乗平均は変わらず、
（m + pq/m）-（p+q）= (p-m)(q-m)/m ≧ 0 ゆえ左辺は
1/(1+m）+ 1/(1+pq/m）- 1/(1+p）- 1/(1+q）
= (2+m+pq/m)/{(1+m)(1+pq/m)｝-（2+p+q)/{(1+p)(1+q)｝
=（2+m+pq/m)/{1+(m+pq/m)+pq｝-（2+p+q)/{1+(p+q)+pq｝
= -(pq-1)/{1+(m+pq/m)+pq｝+（pq-1)/{1+(p+q)+pq｝
≧0
増大します。
603: 2017/08/19(土) 03:14:58.76 ID:Q+nr/ATk(1/9)調 AAS
LCF、RCF、LCRCF、SIP、EV、AC(UMV)、GI、GC、SMV…。さっぱり
604: 2017/08/19(土) 04:32:39.26 ID:Q+nr/ATk(2/9)調 AAS
>>4 に追加。
Vasile Cirtoaje
外部ﾘﾝｸ[php]:ac.upg-ploiesti.ro
柳田五夫、初等的な不等式?ほか
外部ﾘﾝｸ[html]:izumi-math.jp
605: 2017/08/19(土) 04:33:53.44 ID:Q+nr/ATk(3/9)調 AAS
>>601-602
ありがとうございまする。
606(1): 2017/08/19(土) 05:22:53.63 ID:Q+nr/ATk(4/9)調 AAS
Arithmetic Compensation Theorem (AC-Theorem)
Equal Variable Theorem (EV-Theorem)
Half Convex Function Theorem (HCF-Theorem)
Left Concave Function Theorem (LCF-Theorem)
Right Convex Function theorem (RCF-Theorem)
Left Convex-Right Concave Function Theorem (LCRCF-Theorem)
Single Inflection Point Theorem (SIP-Theorem)
Strong Mixing Variables Theorem (SMV-Theorem)
GC-Theorem （文献[8] 安藤 P.197）は何の略？
607: 2017/08/19(土) 10:17:54.83 ID:F2dH2OvX(1)調 AAS
>>606
AC が arithmetic なんだから GC はgeometric でしょ...
608(2): 2017/08/19(土) 13:16:25.17 ID:HQ7H9Ohy(2/3)調 AAS
>>597 >>598
s^3 -4st +9u = a(a-b)(a-c）+ b(b-c)(b-a）+ c(c-a)(c-b),
tt-3su = bc(a-b)(a-c）+ ca(b-c)(b-a）+ ab(c-a)(c-b),
より
(s^3 -4st +9u)tt - (tt-3su)u = P(a-b)(a-c）+ Q(b-c)(b-a）+ R(c-a)(c-b),
ここに
P=a(tt-bbcc)，Q=b(tt-ccaa)，R=c(tt-aabb),
P,Q,R≧0 かつ（P,Q,R）（a,b,c）は同順序なので Schurの拡張で成立..
609(1): 2017/08/19(土) 14:37:54.57 ID:Q+nr/ATk(5/9)調 AAS
>>608
Schurの拡張について詳しく教えてください。
f : R→(0,∞) が単調増加 or 単調減少のとき、a, b, c∈R に対して、
f(a)(a-b)(a-c) + f(b)(b-c)(b-a) + f(c)(c-a)(c-b) ≧0
というのは知っているけど、この場合は f(x) が f(a,b,c)の3変数関数で、
同順序ならokってのが、ピンと来ない…
610(1): 2017/08/19(土) 15:39:17.29 ID:Q+nr/ATk(6/9)調 AAS
>>600-602
> a,b,c>0 abc=1のとき、1 < 1/(1+a）+ 1/(1+b）+ 1/(1+c) < 2
>>583の真似をして上限を出してみたなり。 ( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！
1/(1+a）+ 1/(1+b）+ 1/(1+c)
= 1 + (1-ab)/(1+a+b+ab) + 1/(1+c)
< 1 + 1/(1+ab) + 1/(1+c)
= 1 + c/(1+c) + 1/(1+c)
= 2
611: 2017/08/19(土) 16:13:06.10 ID:Qk9aUlzH(1/3)調 AAS
>>610
>>583
その解き方で本当に上限下限って言えるの？
612: 2017/08/19(土) 16:34:50.44 ID:Q+nr/ATk(7/9)調 AAS
つまり、不等式を証明するだけなら、そのやり方でよいが、上限、下限であることを言うには、
a, b → +0 や a.,b → ∞ を調べて、限界値であることを確認しろってことかな？
613: 2017/08/19(土) 17:26:48.38 ID:Qk9aUlzH(2/3)調 AAS
うん
でもその解き方でもa,b->0考えれば最適であることは言えるかもね
614(1): 2017/08/19(土) 17:44:45.38 ID:Q+nr/ATk(8/9)調 AAS
>>449
(3)下を、Jensen + AMGM で。
f(x) = 1/(a+a^2) は下に凸だから、
左辺
＝ f(a) + f(b) + f(c)
≧ 3*f( (a+b+c)/3 )
≧ 3*f( (abc)^(1/3) )
＝ 3*f(1)
＝ 3/2
615: 2017/08/19(土) 18:43:45.36 ID:Qk9aUlzH(3/3)調 AAS
>>614
f は単調増加じゃないから f( (a+b+c)/3 ) >= 3*f( (abc)^(1/3) ) は成り立たない
むしろ逆の不等号が成り立つ
616: 2017/08/19(土) 20:10:08.88 ID:Q+nr/ATk(9/9)調 AAS
たしかに…。うっかりしていました。
617(1): 2017/08/19(土) 20:33:36.53 ID:C7tE2SmP(1)調 AAS
不等式を極めるとなんかいいことがある？
618: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/19(土) 20:35:11.56 ID:LB3Hl+jp(1/10)調 AAS
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619: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/19(土) 20:35:29.68 ID:LB3Hl+jp(2/10)調 AAS
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620: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/19(土) 20:35:47.84 ID:LB3Hl+jp(3/10)調 AAS
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621: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/19(土) 20:36:05.26 ID:LB3Hl+jp(4/10)調 AAS
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626: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/19(土) 20:37:35.02 ID:LB3Hl+jp(9/10)調 AAS
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627: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/19(土) 20:38:02.15 ID:LB3Hl+jp(10/10)調 AAS
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628(4): 2017/08/19(土) 22:28:51.70 ID:HQ7H9Ohy(3/3)調 AAS
>>597 >>598
a,b,c が△の辺長の場合は Ravi変換で簡単でござるよ。 >>594
b+c-a=A, c+a-b=B, a+b-c=C, a+b+c=A+B+C.
HM = 3abc/(ab+bc+ca)
=（3/2)(A+B)(B+C)(C+A)/{(A+B+C)^2 +（AB+BC+CA)｝
≧（4/3)(A+B+C)(AB+BC+CA)/{(4/3)(A+B+C)^2}
=（AB+BC+CA)/(A+B+C)
≧（4√3)S/(a+b+c)
=（2√3)r,
したがって a,b,c>0 で成立するかがミソのようでござる… >>608
629: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/20(日) 03:18:58.50 ID:vRIJh8/a(1/31)調 AAS
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