[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
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166(1): 2017/07/19(水) 08:55:53.79 ID:3YGTFP1s(4/5)調 AAS
ASU 1969.14 の巡回不等式を探そうとしたら消えていた。他も殆ど見れなくなっている… ('A`)ｳﾞｫｴｧ！
外部ﾘﾝｸ[html]:mks.mff.cuni.cz
167(3): 2017/07/19(水) 08:58:35.51 ID:OXFuyCoZ(2/5)調 AAS
>>69 (1)
>>163
0 ≦ a ≦ b, c としてよい。
この場合は基本対称式よりも b+c-2a = x の方がいいんぢゃね？
(左辺）=（a+b+c)^5 =（3a+x)^5
= 243a^5 + 405a^4x + 270aaaxx + 90aaxxx + 15ax^4 + x^5,
ab+bc+ca = 3aa + 2a(b+c-2a）+（b-a)(c-a）≦ 3aa + 2ax +（1/4)xx,
abb+bcc+caa = 3aaa+3aa(b+c-2a)+a(b+c-2a)^2+(b-a)(c-a)^2 ≦ 3aaa+3aax+axx+(4/27)xxx,
(右辺)=27(ab+bc+ca)(abb+bcc+caa)≦243a^5+405a^4x+(1053/4)aaaxx+(345/4)aaxxx+(59/4)ax^4+x^5,
(左辺）-（右辺）≧ a(27aa+15ax+xx)xx/4 ≧ 0,
168(1): 2017/07/19(水) 09:58:00.35 ID:OXFuyCoZ(3/5)調 AAS
>>69 (1)
>>163
3a = A, b+c-2a = x とおくと…
(左辺)/243 =｛(a+b+c)/3}^5 =（A+x)^5
= A^5 + 5A^4･x + 10AAAxx + 10AAxxx + 5Ax^4 + x^5,
ab+bc+ca ≦ {AA + 2Ax + (3/4)xx}/3,
abb+bcc+caa ≦｛AAA +3AAx +3Axx +(4/3)xxx}/9,
(右辺)/243 = (ab+bc+ca)(abb+bcc+caa)/9
≦ A^5 + 5A^4･x +（9.75)AAAxx +（9.58333…)AAxxx +（4.91666…)Ax^4 + x^5,
(左辺）-（右辺）≧ A(3AA+5Ax+xx)xx/12 ≧ 0,
>>167 と同じだが…
169: 2017/07/19(水) 10:37:49.14 ID:OXFuyCoZ(4/5)調 AAS
>>137
x(x+y) ≧ 4.283918322582003
（x=1.1960916895833343 y=2.3855052397246037)
3x^10 + 2x^9 - 28 = 0 の正根
170(2): 2017/07/19(水) 17:31:41.22 ID:3YGTFP1s(5/5)調 AAS
>>167
さんくす。今夜読んでみます。
Shapiroの巡回不等式のn=6のときの証明を、>>2 [4] を見ながらやってみたけど、途中で詰まったでござる。
n=3のときは、f(x)=x/(s-x) に Jensenでok?
171(1): 2017/07/19(水) 19:52:03.56 ID:OXFuyCoZ(5/5)調 AAS
>>170
>>2 [3] 「不等式への招待」(1987）p.28-30 を読むと
B_i = x_{i+1} + x_{i+2}
とおく。ただし x_{n+1} = x_1, x_{n+2} = x_2
コーシーより
Σ[i=1,n] x_i / B_i ≧ (Σ[i=1,n] x_i)^2 / ｛Σ[j=1,n] x_j B_j｝,
ゆえ
(Σ[i=1,n] x_i)^2 -(n/2)Σ[j=1,n] x_j B_j ≧ 0
を言えばよい。
n=3,5 の場合は
{1/(n-1)}Σ[1≦i<j≦n] (xi-xj)^2 ≧ 0,
n=4 のとき
(x1-x3)^2 + (x2-x4)^2 ≧ 0,
n=6 のとき
(1/2){(y1-y2)^2 + (y2-y3)^2 + (y3-y1)^2} ≧ 0,
ここに、y1=x1+x4、y2=x2+x5、y3=x3+x6
と思うけど…
172: 2017/07/20(木) 01:52:11.90 ID:Oabzsbx8(1/2)調 AAS
>>170
n=3（Nesbitt）の方はそれで おk ですね。ほかにも
a/(b+c）=（1/2){(a+b)/(b+c) -1 +(c+a)/(a+b)}
を巡回的にたして相加-相乗平均する。
a/(b+c）=（a+b+c)/(b+c） - 1
を巡回的にたして相加-調和平均する。
など種々ありますね。
外部ﾘﾝｸ:mathtrain.jp
173: 2017/07/20(木) 02:37:10.34 ID:Oabzsbx8(2/2)調 AAS
ピコーン太郎が歌う…
I have a function u(x) which satisfies｛p1(x) u '(x)｝' + q1(x)u(x) = 0.
I have a function v(x) which satisfies｛p2(x) v '(x)｝' + q2(x)v(x) = 0.
mmmmmmmmmmmmmm
Picone identity
{1/u(x)^2}{u(x)[p1(x)u '(x) - p2(x)u(x)v'(x)/v(x)]} ' = {q2(x)-q1(x)} + {p1(x)-p2(x)}{u '(x)/u(x)}^2 + p2(x){u '(x)/u(x) - v '(x)/v(x)}^2,
174: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/20(木) 07:08:31.62 ID:R+taoMN8(1/34)調 AAS
￥
175: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/20(木) 07:08:49.75 ID:R+taoMN8(2/34)調 AAS
￥
176: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/20(木) 07:09:09.70 ID:R+taoMN8(3/34)調 AAS
￥
177: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/20(木) 07:09:31.05 ID:R+taoMN8(4/34)調 AAS
￥
178: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/20(木) 07:09:50.50 ID:R+taoMN8(5/34)調 AAS
￥
179: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/20(木) 07:10:08.11 ID:R+taoMN8(6/34)調 AAS
￥
180: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/20(木) 07:10:25.58 ID:R+taoMN8(7/34)調 AAS
￥
181: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/20(木) 07:10:45.60 ID:R+taoMN8(8/34)調 AAS
￥
182: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/20(木) 07:11:06.14 ID:R+taoMN8(9/34)調 AAS
￥
183: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/20(木) 07:11:26.14 ID:R+taoMN8(10/34)調 AAS
￥
184(4): 2017/07/20(木) 17:09:09.33 ID:27eqirM3(1/6)調 AAS
>>167-168
難しいです…。 検索して別のを見つけたが、bを中央の項としたとき、
なぜ 4(a^2+ac+c^2)(ab+bc+ca) ≦ (a+c)^2*(a+b+c)^2 となるのか分かりませぬ。
外部ﾘﾝｸ:artofproblemsolving.com
さらに強い不等式が載っている。
a,b,c>0 のとき、108(a+b+c)^5 ≧ (ab+bc+ca)(3125(a^2b+b^2c+c^2a)-627abc)
>>171
n=6の式変形が神。
分かってて変形しないと出来そうにない。
185: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/20(木) 17:16:33.16 ID:R+taoMN8(11/34)調 AAS
★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★
￥
186: 2017/07/20(木) 17:16:57.28 ID:27eqirM3(2/6)調 AA×
>>62-63
外部ﾘﾝｸ[html]:mathworld.wolfram.com
187: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/20(木) 17:22:58.82 ID:R+taoMN8(12/34)調 AAS
★★★忖度と処世術に汚染された日本人：権威主義的な支配と損したくない人達★★★
〜〜〜芳雄氏が言う『研究者としての基本的態度』とは一体何だろうか〜〜〜
佐藤幹夫：自分自身の素朴な疑問に真剣に耳を傾ける。⇒不滅の金字塔を打ち立てる。
糞父芳雄：人間関係を駆使し他人を操り根回しを行う。⇒ハリボテお教授として君臨。
隠蔽の財務省、嘘吐きの文科省、そして問答無用に屈服させる官邸。コレでも先進国？
（佐藤師がしてたのは本物の研究だ。だが）芳雄氏がしてたのはケケケ、ケンキュウ。
外見を繕って偉そう見せさえすれば何でもヨロシ。ほんで教授になりさえすれば研究の
中身なんて何でもヨロシ。そもそも論文なんてモンは、外国の権威ある雑誌に掲載され
さえすれば、その中身のギロンなんて何でもヨロシ。そやし適当に書いてしまえ〜〜〜
中身がダメだと知ってて、ソレでもSTAP論文を外国に投稿して受理される。発覚したら
適当に言い逃れる醜い態度。オツムのダメな大学院生に「虚偽の良品ラベル」を貼って
世間に出荷するハリボテ大学は詐欺行為そのもの。世間に媚びを売って客商売に徹し、
『売れさえすれば学生の脳の質なんて何でもヨロシ』と居直る大学。そしてブランド名
だけを見て仕入れる世間。●●は一流大学やさかい、きっと優秀なエリートやろｗｗｗ
中身を何も説明しないで、問答無用に上から押し付ける。ソレをイチャモンで騒いで、
そして邪魔して潰そうとする周囲の下々。大学教員も国会議事堂も、そして馬鹿板人の
遣ってる事も皆同じだ。日本人はバカ民族であり、今は外国にもちゃんとバレてるので
海外からも軽蔑されるだけであり、そのうちにどの国からも信用されなくなるだろう。
近視眼的で打算的な人生観を息子に押し付ける父親と、大脳に栄養が足りてない連中が
跋扈する永田町や霞が関に支配される国に住む不幸、一体どうしてくれるというのか。
■■■馬鹿板をスルと稲田朋美みたいな嘘吐きになります。そやし止めなさい。■■■
￥
188(1): 2017/07/20(木) 17:34:38.29 ID:27eqirM3(3/6)調 AA×
>>69
外部ﾘﾝｸ:math.stackexchange.com
189: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/20(木) 17:41:27.43 ID:R+taoMN8(13/34)調 AAS
★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★
￥
190: 2017/07/20(木) 17:47:02.49 ID:27eqirM3(4/6)調 AAS
ageるとコピペ荒らしが来るから、sage進行で行きましょう。
まぁ Jane Style を使っているから、荒らし自体は あぼーんされて見えないけど、
無駄にレスが消費されて、すぐに次スレを立てないといけなくなるから。
191: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/20(木) 18:20:47.86 ID:R+taoMN8(14/34)調 AAS
￥
192: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/20(木) 18:21:11.00 ID:R+taoMN8(15/34)調 AAS
￥
193: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/20(木) 18:21:31.60 ID:R+taoMN8(16/34)調 AAS
￥
194: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/20(木) 18:21:50.20 ID:R+taoMN8(17/34)調 AAS
￥
195: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/20(木) 18:22:09.10 ID:R+taoMN8(18/34)調 AAS
￥
196: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/20(木) 18:22:26.98 ID:R+taoMN8(19/34)調 AAS
￥
197: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/20(木) 18:22:44.95 ID:R+taoMN8(20/34)調 AAS
￥
198: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/20(木) 18:23:10.64 ID:R+taoMN8(21/34)調 AAS
￥
199: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/20(木) 18:23:29.26 ID:R+taoMN8(22/34)調 AAS
￥
200: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/20(木) 18:23:48.50 ID:R+taoMN8(23/34)調 AAS
￥
201(2): 2017/07/20(木) 18:39:18.12 ID:27eqirM3(5/6)調 AA×
>>188
202(1): 2017/07/20(木) 18:40:59.56 ID:27eqirM3(6/6)調 AA×
>>184>>0
203: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/20(木) 19:07:22.98 ID:R+taoMN8(24/34)調 AAS
★★★忖度と処世術に汚染された日本人：権威主義的な支配と損したくない人達★★★
〜〜〜芳雄氏が言う『研究者としての基本的態度』とは一体何だろうか〜〜〜
佐藤幹夫：自分自身の素朴な疑問に真剣に耳を傾ける。⇒不滅の金字塔を打ち立てる。
糞父芳雄：人間関係を駆使し他人を操り根回しを行う。⇒ハリボテお教授として君臨。
隠蔽の財務省、嘘吐きの文科省、そして問答無用に屈服させる官邸。コレでも先進国？
（佐藤師がしてたのは本物の研究だ。だが）芳雄氏がしてたのはケケケ、ケンキュウ。
外見を繕って偉そう見せさえすれば何でもヨロシ。ほんで教授になりさえすれば研究の
中身なんて何でもヨロシ。そもそも論文なんてモンは、外国の権威ある雑誌に掲載され
さえすれば、その中身のギロンなんて何でもヨロシ。そやし適当に書いてしまえ〜〜〜
中身がダメだと知ってて、ソレでもSTAP論文を外国に投稿して受理される。発覚したら
適当に言い逃れる醜い態度。オツムのダメな大学院生に「虚偽の良品ラベル」を貼って
世間に出荷するハリボテ大学は詐欺行為そのもの。世間に媚びを売って客商売に徹し、
『売れさえすれば学生の脳の質なんて何でもヨロシ』と居直る大学。そしてブランド名
だけを見て仕入れる世間。●●は一流大学やさかい、きっと優秀なエリートやろｗｗｗ
中身を何も説明しないで、問答無用に上から押し付ける。ソレをイチャモンで騒いで、
そして邪魔して潰そうとする周囲の下々。大学教員も国会議事堂も、そして馬鹿板人の
遣ってる事も皆同じだ。日本人はバカ民族であり、今は外国にもちゃんとバレてるので
海外からも軽蔑されるだけであり、そのうちにどの国からも信用されなくなるだろう。
近視眼的で打算的な人生観を息子に押し付ける父親と、大脳に栄養が足りてない連中が
跋扈する永田町や霞が関に支配される国に住む不幸、一体どうしてくれるというのか。
■■■馬鹿板をスルと稲田朋美みたいな嘘吐きになります。そやし止めなさい。■■■
￥
204: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/20(木) 20:07:19.60 ID:R+taoMN8(25/34)調 AAS
￥
205: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/20(木) 20:07:42.55 ID:R+taoMN8(26/34)調 AAS
￥
206: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/20(木) 20:08:02.12 ID:R+taoMN8(27/34)調 AAS
￥
207: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/20(木) 20:08:21.80 ID:R+taoMN8(28/34)調 AAS
￥
208: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/20(木) 20:08:41.41 ID:R+taoMN8(29/34)調 AAS
￥
209: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/20(木) 20:09:00.43 ID:R+taoMN8(30/34)調 AAS
￥
210: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/20(木) 20:09:17.63 ID:R+taoMN8(31/34)調 AAS
￥
211: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/20(木) 20:09:36.62 ID:R+taoMN8(32/34)調 AAS
￥
212: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/20(木) 20:09:55.61 ID:R+taoMN8(33/34)調 AAS
￥
213: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/20(木) 20:10:14.35 ID:R+taoMN8(34/34)調 AAS
￥
214(1): 2017/07/21(金) 03:35:42.35 ID:aIensghT(1/4)調 AAS
>>184
(a+c)(a+b+c) = (aa+ac+cc) + (ab+bc+ca）だから
{(a+c)(a+b+c)}^2 ≧ 4(aa+ac+cc)(ab+bc+ca).
bが a,c の中間になくてもいいんぢゃね？
215: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/21(金) 04:02:09.18 ID:9Y4dp9MH(1/11)調 AAS
￥
216: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/21(金) 04:02:28.83 ID:9Y4dp9MH(2/11)調 AAS
￥
217: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/21(金) 04:02:47.54 ID:9Y4dp9MH(3/11)調 AAS
￥
218: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/21(金) 04:03:05.52 ID:9Y4dp9MH(4/11)調 AAS
￥
219: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/21(金) 04:03:22.92 ID:9Y4dp9MH(5/11)調 AAS
￥
220: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/21(金) 04:03:41.47 ID:9Y4dp9MH(6/11)調 AAS
￥
221: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/21(金) 04:04:00.66 ID:9Y4dp9MH(7/11)調 AAS
￥
222: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/21(金) 04:04:21.98 ID:9Y4dp9MH(8/11)調 AAS
￥
223: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/21(金) 04:04:40.48 ID:9Y4dp9MH(9/11)調 AAS
￥
224: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/21(金) 04:05:00.23 ID:9Y4dp9MH(10/11)調 AAS
￥
225(4): 2017/07/21(金) 07:34:08.41 ID:aIensghT(2/4)調 AAS
>>184 >>202
3a=A、b-a=y、c-a=z とおく。（x=y+z)
a+b+c = A+x,
ab+bc+ca =（AA +2Ax +3yz)/3,
abc = (AAA +3AAx +9Ayz)/27,
aab+bbc+cca = (AAA +3AAx +3Axx +9yyz)/9,
(a+b+c)^5 = (A+x)^5 = A^5 + 5A^4･x + 10AAAxx + 10AAxxx + 5Ax^4 + x^5,
27(ab+bc+ca)(abb+bcc+caa) = A^5 + 5A^4･x + AAA(9xx+3yz) + AA(6xxx+9xyz+9yyz) + A(9x+18y)xyz + 27yyyzz,
81(ab+bc+ca)abc = A^5 + 5A^4･x + AAA(6xx+12yz) + 27AAxyz + 27Ayyzz + 0,
A^i の係数の差（A^0 の項が 27yyyzz ≦ (2916/3125) x^5 であること等）を考慮して適当な重みを定める。
226: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/21(金) 09:11:09.38 ID:9Y4dp9MH(11/11)調 AAS
★★★忖度と処世術に汚染された日本人：権威主義的な支配と損したくない人達★★★
〜〜〜芳雄氏が言う『研究者としての基本的態度』とは一体何だろうか〜〜〜
佐藤幹夫：自分自身の素朴な疑問に真剣に耳を傾ける。⇒不滅の金字塔を打ち立てる。
糞父芳雄：人間関係を駆使し他人を操り根回しを行う。⇒ハリボテお教授として君臨。
隠蔽の財務省、嘘吐きの文科省、そして問答無用に屈服させる官邸。コレでも先進国？
（佐藤師がしてたのは本物の研究だ。だが）芳雄氏がしてたのはケケケ、ケンキュウ。
外見を繕って偉そう見せさえすれば何でもヨロシ。ほんで教授になりさえすれば研究の
中身なんて何でもヨロシ。そもそも論文なんてモンは、外国の権威ある雑誌に掲載され
さえすれば、その中身のギロンなんて何でもヨロシ。そやし適当に書いてしまえ〜〜〜
中身がダメだと知ってて、ソレでもSTAP論文を外国に投稿して受理される。発覚したら
適当に言い逃れる醜い態度。オツムのダメな大学院生に「虚偽の良品ラベル」を貼って
世間に出荷するハリボテ大学は詐欺行為そのもの。世間に媚びを売って客商売に徹し、
『売れさえすれば学生の脳の質なんて何でもヨロシ』と居直る大学。そしてブランド名
だけを見て仕入れる世間。●●は一流大学やさかい、きっと優秀なエリートやろｗｗｗ
中身を何も説明しないで、問答無用に上から押し付ける。ソレをイチャモンで騒いで、
そして邪魔して潰そうとする周囲の下々。大学教員も国会議事堂も、そして馬鹿板人の
遣ってる事も皆同じだ。日本人はバカ民族であり、今は外国にもちゃんとバレてるので
海外からも軽蔑されるだけであり、そのうちにどの国からも信用されなくなるだろう。
近視眼的で打算的な人生観を息子に押し付ける父親と、大脳に栄養が足りてない連中が
跋扈する永田町や霞が関に支配される国に住む不幸、一体どうしてくれるというのか。
■■■馬鹿板をスルと稲田朋美みたいな嘘吐きになります。そやし止めなさい。■■■
￥
227(2): 2017/07/21(金) 12:10:20.32 ID:hHnI1U1h(1/3)調 AAS
>>71 (4)
AM-GMを2回。ユルユルでござった。改造の余地ありまくリング。
>>225
>>201のようなカラクリはないのかな？
>>166
> 14. Prove that for any positive numbers a1, a2, ... , an we have:
> a1/(a2+a3) + a2/(a3+a4) + ... + an-1/(an+a1) + an/(a1+a2) > n/4
外部ﾘﾝｸ[html]:webee.technion.ac.il
Shapiroよりユルユルだから、エレガントな証明方法があるんかなあ？
228: 2017/07/21(金) 12:59:17.15 ID:aIensghT(3/4)調 AAS
>>227
>>225 のようにバラバラに砕いたのは、「エレガントなカラクリ」を知らぬが故でござる。（最終兵器）
ご存知なれば、伝授願いたいぐらい。
14.
[初代スレ.497-502] のことでござるか？
されば n/3 に改良する習わし也。
(補題)
a/(b+c) +2b/(c+d) > (a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) -1.
229(1): 2017/07/21(金) 13:32:43.01 ID:aIensghT(4/4)調 AAS
>>227 （続き）
14. Shapiro
[初代スレ.497-502]
[第2章.284-285]
[第3章.172-173, 218-220]
[第4章.463-470]
n≦6の解法
[第2章.889-890]
[第8章.170-172]
230(2): 2017/07/21(金) 20:28:46.33 ID:hHnI1U1h(2/3)調 AAS
作ってみたけど、簡単な証明あるかな？ ( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！
a,b,c>0 に対して、{ a/sqrt(b+c) + b/sqrt(c+a) + c/sqrt(a+b) }^2 ≧ 3(a+b+c)/2
231: 2017/07/21(金) 20:29:28.94 ID:hHnI1U1h(3/3)調 AAS
>>229
さんくす。過去スレは宝箱ですなあ。
232(2): 2017/07/22(土) 15:48:14.89 ID:G0nvuSlz(1/2)調 AAS
>>230
(解1)
a+b+c=s とおく。
f(X) = X/√(s-X）= s/√(s-X) - √(s-X）
は下に凸ゆえ Jensen で
f(a）+ f(b）+ f(c）≧ 3f(s/3）= √(3s/2),
(解2)
x=b+c, y=c+a, z=a+b とおく。
a/√(b+c）=（y+z-x)/(2√x）≧｛2√(yz) -x}/(2√x),
したがって、
a/√(b+c）+ b/√(c+a）+ c/√(a+b)
≧｛√(yz/x）+ √(zx/y）+ √(xy/z)}/2 …(*)
= (xy+yz+zx)/(2√xyz),
(左辺) ≧ (xy+yz+zx)^2 /(4xyz）≧ 3(x+y+z)/4 …(**)
= 3(a+b+c)/2,
*）｛√(yz）-x}/√x +｛√(zx）-y}/√y +｛√(xy）-z}/√z
=｛(xy+yz+zx）-x√(yz) -y√(zx）-z√(xy)}/√(xyz)
=｛x(√y-√z)^2 + y(√z-√x)^2 + z(√x-√y)^2}/(2√xyz)
≧0,
**）（xy+yz+zx)^2 - 3xyz(x+y+z）=｛xx(y-z)^2 + yy(z-x)^2 + zz(x-y)^2｝≧ 0,
233(1): 2017/07/22(土) 16:03:11.35 ID:G0nvuSlz(2/2)調 AAS
さて、本題に戻って…
(a+b+c)^5 ≧（ab+bc+ca）｛27(K+1)(aab+bbc+cca) -81K･abc｝
とおいて、A^i の係数を求めます。 >>225
A^3 の係数から
K ≦ 1/3,
A^2 の係数から
K ≦ 0.182688493788
（等号成立は y/z = 1.52984518）
A^1 の係数から
K ≦ 0.07648328329
（等号成立は y/z = 1.5765615）
A^0 の係数から
27yyyzz = (2916/3125)(5y/3)^3 (5z/2)^2 ≦ (2916/3125)(y+z)^5 = (2916/3125）x^5,
K ≦（3125/2916）- 1 =（209/2916）= 0.0716735…
（等号成立は y/z = 3/2）
なんか上限がだんだん下がって来て窮屈ですが･･･
K =（209/2916）とすれば OKです。
------------------------------------------------
（訂正）
27（ab+bc+ca) (aab+bbc+cca）= A^5 + 5A^4･x + …
234(2): 2017/07/23(日) 09:39:32.76 ID:p7xlQ3BC(1/2)調 AAS
>>232
さすがなり。 >>230の元になった問題は以下。
外部ﾘﾝｸ:math.stackexchange.com
a,b,c>0、a+b+c+abc=4 に対して、
(ab+bc+ca)*{ a/sqrt(b+c) + b/sqrt(c+a) + c/sqrt(a+b) }^2 ≧ (1/2)*(4-abc)^3
条件 a+b+c+abc=4 は、右辺を難しそうに見せるだけのノイズと見て削除して、
a,b,c>0 に対して、
(ab+bc+ca)*{ a/sqrt(b+c) + b/sqrt(c+a) + c/sqrt(a+b) }^2 ≧ (1/2)*(a+b+c)^3
これは一般化されたヘルダーの不等式から出てくるが、他に易しい証明ないかな？
この右辺を弄って >>230 を得る。
235(1): 2017/07/23(日) 09:50:23.09 ID:p7xlQ3BC(2/2)調 AAS
>>234
> a,b,c>0 に対して、
> (ab+bc+ca)*{ a/sqrt(b+c) + b/sqrt(c+a) + c/sqrt(a+b) }^2 ≧ (1/2)*(a+b+c)^3
>
> これは一般化されたヘルダーの不等式から出てくるが、
について、蛇足。
{a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)}^(1/3)*{ a/sqrt(b+c) + b/sqrt(c+a) + c/sqrt(a+b) }^(2/3) ≧ a+b+c
236: 2017/07/23(日) 10:08:15.89 ID:yTyAIG7a(1/3)調 AAS
>>225 >>233
参考のため残しておきまつ。
(a+b+c)^5 -（ab+bc+ca){27(1+K)(aab+bbc+cca）- 81K･abc｝における
A^3 の係数：
(1-3K)(yy-yz+zz),
A^2 の係数：
(4-6K)yyy -（6+9K)yyz + 3yzz +（4-6K),
A^1 の係数：
5y^4 -（7+27K)y^3･z -（6+9K)yyzz + (11-9K)yz^3 + 5z^4,
A^0 の係数：
(y+z)^5 - 27(1+K)yyyzz,
y≧0、z≧0 において上記がすべて非負となるような K≧0
を取れば十分でござる。
（x=y+z を使った）
237: 2017/07/23(日) 11:15:00.16 ID:yTyAIG7a(2/3)調 AAS
>>234-235
コーシーで一発でしたか... 参ったでござる。
238(1): 2017/07/23(日) 19:25:31.71 ID:yTyAIG7a(3/3)調 AAS
>>184 >>201 >>214 を改造...
a+b+c = s、ab+bc+ca = t とおく。
{(a+c)s}^2 - 4(aa+ac+cc)t = (aa+ac+cc - t)^2 = δ
ss - 3t =｛(a-c)^2･t + δ}/(a+c)^2 ≧ t|(a-c)/(a+c)|^2,
239(1): 2017/07/24(月) 10:30:53.82 ID:mq+pfYuQ(1/8)調 AAS
>>232
> *）｛√(yz）-x}/√x +｛√(zx）-y}/√y +｛√(xy）-z}/√z
｛2√(yz）-x}/2√x +｛2√(zx）-y}/2√y +｛2√(xy）-z}/2√z を計算しないといけないのでは？
240(2): 2017/07/24(月) 13:11:01.41 ID:mq+pfYuQ(2/8)調 AAS
0 ≦ x ≦ π/2 に対して、2^{(sin x)*(cos x)} ≦ sinx + cos x ≦ sqrt(2)
241(1): 2017/07/24(月) 14:26:58.56 ID:mq+pfYuQ(3/8)調 AAS
>>240 をプチ改造。
> 0 ≦ x ≦ π/2 に対して、2*sqrt{(sin x)*(cos x)} ≦ 2^{(sin x)*(cos x)} ≦ sinx + cos x ≦ sqrt(2)
242: 2017/07/24(月) 15:01:01.78 ID:qItz5GdJ(1/2)調 AAS
>>238
（大意）
ss/t の値は、a,b,c が似たり寄ったりのときは3よりチョト大きいだけだが、
a,b,c が極端に違うときは（2変数値の）4に近いよ。
>>239
略しすぎた…
{2√(yz) -x}/(2√x） = ｛√(yz)}/(2√x） + ｛√(yz) - x}/(2√x),
のように分けたのでござる。
後ろの項は 巡回和すれば ≧0 でござる。(*)
ついでながら（**）の方も 1/2 が抜けてますな。トホホ
243(1): 2017/07/24(月) 15:54:27.34 ID:qItz5GdJ(2/2)調 AAS
>>240-241
t = 2sin(x)cos(x）とおくと、0≦t≦1
一方、f(t）= 2^t は下に凸で f(0)=1, f(1)=2, f(2)=4 を通る。
0≦t≦1 では
（t=1、t=2 の割線）より上で、（t=0、t=1 の割線）より下。
∴ 2t ≦ f(t) ≦ 1 + t ≦ 2,
4sin(x)cos(x）≦ 2^{2sin(x)cos(x)｝≦ 1 + 2sin(x)cos(x）≦ 2,
各辺≧0 ゆえ平方根をとる。
244: 2017/07/24(月) 16:08:03.65 ID:mq+pfYuQ(4/8)調 AAS
>>243
実にエレガント！
元ネタは [数蝉NOTE (2005.08締切分)]
x, y≧0 かつ x^2 + y^2=1 のとき、2^(xy) ≦ x+y ≦ sqrt(2).
まず、0 ≦ (x-y)^2 = 1-2xy より、0 ≦ xy ≦ 1/2 だから、
右 ： (x+y)^2 = 1+2xy ≦ 2.
左 ： (x+y)^{1/(xy)} = (1+2xy)^{1/(2xy)} ≧ 1 + 2xy*{1/(2xy)} = 2.
ベルヌーイの不等式を用いて、鶏を割くに焉んぞ牛刀を用いん…。
245: 2017/07/24(月) 16:37:45.26 ID:mq+pfYuQ(5/8)調 AAS
まぁ、いろんな証明方法が身につくから褒め言葉なんですがね → 牛刀。
246(1): 2017/07/24(月) 16:38:56.00 ID:dN93W7ZJ(1)調 AAS
夏休みだから賑わってるのかな？
247: 2017/07/24(月) 16:49:08.07 ID:mq+pfYuQ(6/8)調 AAS
>>246
君も混ざれ！
248(1): 2017/07/24(月) 19:10:05.77 ID:DNnE4oh/(1)調 AAS
おめでとう
君は質問スレと面白スレの次くらいに人がいるスレを見つけた！！
249: 2017/07/24(月) 19:10:56.17 ID:mq+pfYuQ(7/8)調 AAS
>>248
上げるなよ。コピペ荒らしの被害を受けるだろうが！ 迷惑な奴め！
250: 2017/07/24(月) 19:31:23.57 ID:mq+pfYuQ(8/8)調 AAS
どうしてそういう嫌がらせをするのかな？ やる気なくすわ…。
251: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/25(火) 00:56:07.20 ID:1OMr9h78(1/10)調 AAS
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252: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/25(火) 00:56:24.19 ID:1OMr9h78(2/10)調 AAS
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253: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/25(火) 00:56:40.34 ID:1OMr9h78(3/10)調 AAS
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254: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/25(火) 00:56:56.68 ID:1OMr9h78(4/10)調 AAS
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255: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/25(火) 00:57:13.25 ID:1OMr9h78(5/10)調 AAS
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256: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/25(火) 00:57:30.14 ID:1OMr9h78(6/10)調 AAS
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257: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/25(火) 00:57:46.34 ID:1OMr9h78(7/10)調 AAS
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258: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/25(火) 00:58:11.27 ID:1OMr9h78(8/10)調 AAS
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259: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/25(火) 00:58:37.13 ID:1OMr9h78(9/10)調 AAS
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260: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/25(火) 00:58:53.06 ID:1OMr9h78(10/10)調 AAS
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261(5): 2017/07/27(木) 23:44:58.10 ID:1T4+Oazx(1)調 AAS
〔問題1.96改〕
x, y, z ≧ 0 のとき
x^3 + y^3 + z^3 -3xyz ≧ 4|(x-y)(y-z)(z-x)|,
ルーマニアMO-2007（改）
［9］ 佐藤、演習問題1.96（改） >>2
-------------------------------
（略証）
yはxとzの中間にあるとする。
（x-y)(y-z）≧0,
xx+yy+zz-xy-yz-zx =（x-y)^2 +（x-y)(y-z）+（y-z)^2,
x+y+z ≧ |x-y| + |y-z| + min｛|x-y|，|y-z|｝,
辺々掛けて
x^3 + y^3 + z^3 -3xyz ≧（|x-y| + |y-z|)^3
= |x-z|^3
≧4|(x-y)(y-z)(z-x)|,
262(2): 2017/07/28(金) 00:01:37.78 ID:j+jikqys(1/2)調 AAS
〔楠瀬の不等式〕
x, y, z≧0 のとき
x^3 + y^3 + z^3 -3xyz ≧ k｜(x-y)(y-z)(z-x)｜,
但し k = √(9+6√3）= 4.403669475･････
数セミ創刊30周年記念『エレガントな問題をもとむ』【優秀賞】受賞問題２
出題： 1992年4月, p.79
解説： 1992年7月, p.59-60
[初代スレ.836-869]
263(1): 2017/07/28(金) 00:35:42.32 ID:KBT/ECMI(1/7)調 AAS
なんで k の値が、上では 4 なのに、下では4より大きくなってるん？ 上では等号は成立しないの？
264: 2017/07/28(金) 11:59:01.11 ID:j+jikqys(2/2)調 AAS
>>263
>>261 は少しユルいのですが、簡単・便利な式です。
x=y=z のときは等号が成立します。
>>262 のkの値は「限界」で、もうこれ以上改良できません。
265(2): 2017/07/28(金) 12:45:15.12 ID:O9aq1xVP(1/4)調 AAS
今高2で不等式をうまく使えるようになりたいのですが不等式の入門書？的なものはありますか？
一応高校数学の範囲は全部終わっています
266: 2017/07/28(金) 12:45:54.57 ID:KBT/ECMI(2/7)調 AAS
>>265
ageるなよ！
267: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/28(金) 12:52:31.99 ID:tqhSG1tp(1/23)調 AAS
＃＃＃政治家が愚かなのと同様に馬鹿板を行うのも愚かな行為。そやし止めるべき。＃＃＃
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268: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/28(金) 13:49:57.19 ID:tqhSG1tp(2/23)調 AAS
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269: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/28(金) 13:50:20.14 ID:tqhSG1tp(3/23)調 AAS
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270: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/28(金) 13:50:43.58 ID:tqhSG1tp(4/23)調 AAS
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271: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/28(金) 13:51:00.92 ID:tqhSG1tp(5/23)調 AAS
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272: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/28(金) 13:51:18.23 ID:tqhSG1tp(6/23)調 AAS
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273: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/28(金) 13:51:36.38 ID:tqhSG1tp(7/23)調 AAS
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274: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/28(金) 13:51:55.83 ID:tqhSG1tp(8/23)調 AAS
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275: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/28(金) 13:52:14.24 ID:tqhSG1tp(9/23)調 AAS
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276: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/28(金) 13:52:45.18 ID:tqhSG1tp(10/23)調 AAS
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277: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/28(金) 13:53:03.25 ID:tqhSG1tp(11/23)調 AAS
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278: 2017/07/28(金) 15:28:25.10 ID:KBT/ECMI(3/7)調 AAS
>>265
馬鹿がageるから、コピペに荒らされる・・・
279: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/28(金) 15:33:55.90 ID:tqhSG1tp(12/23)調 AAS
＃＃＃政治家が愚かなのと同様に馬鹿板を行うのも愚かな行為。そやし止めるべき。＃＃＃
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280: 2017/07/28(金) 15:36:12.30 ID:KBT/ECMI(4/7)調 AAS
中身のある書き込みがあると 中身のないレスでageる奴が現れるような気がする。
281: 2017/07/28(金) 16:19:13.21 ID:O9aq1xVP(2/4)調 AAS
今高2で不等式をうまく使えるようになりたいのですが不等式の入門書？的なものはありますか？
一応高校数学の範囲は全部終わっています
282: 2017/07/28(金) 16:19:42.45 ID:O9aq1xVP(3/4)調 AAS
今高2で不等式をうまく使えるようになりたいのですが不等式の入門書？的なものはありますか？
一応高校数学の範囲は全部終わっています
283: 2017/07/28(金) 16:20:00.23 ID:O9aq1xVP(4/4)調 AAS
今高2で不等式をうまく使えるようになりたいのですが不等式の入門書？的なものはありますか？
一応高校数学の範囲は全部終わっています
284(1): 2017/07/28(金) 16:59:03.60 ID:KBT/ECMI(5/7)調 AAS
上げるなボケ！
285(1): 2017/07/28(金) 16:59:48.17 ID:KBT/ECMI(6/7)調 AAS
質問スレに逝けよ
286: 2017/07/28(金) 17:01:45.94 ID:Zm1hbnDt(1/2)調 AAS
>>284
すまんこ
287: 2017/07/28(金) 17:01:56.27 ID:Zm1hbnDt(2/2)調 AAS
>>285
許してクレメンス
288: 2017/07/28(金) 18:21:20.48 ID:bsIbQPNs(1)調 AAS
>>262
以前>>261を改良して得たけど既にやられてたんだね
エレガントな解放が知りたい
289: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/28(金) 18:55:12.52 ID:tqhSG1tp(13/23)調 AAS
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290: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/28(金) 18:55:30.07 ID:tqhSG1tp(14/23)調 AAS
￥
291: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/28(金) 18:55:46.89 ID:tqhSG1tp(15/23)調 AAS
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292: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/28(金) 18:56:03.19 ID:tqhSG1tp(16/23)調 AAS
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