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464(1): ogachan 2006/01/08(日) 23:06:05 AAS
今年のフィールズ賞はどうかな。かなりセンセーショナルだから、可能性は
なきにしもあらず。でも、果報は寝て待てというから、待つしかないなぁ。
ちまちまと他の研究を続けてるしかないな。今はね、簡単な超準解析の構築
をしてる。このずーーーっと先にリーマン予想の鍵があるわけだな。
あとはね、５次方程式だな。１価ｎ乗根という鍵は作ったから、あとは鍵穴を
探せばいいんだが、いまんとこ見当がついていない。
あとはね、あんまないな。思いつきでなんかだな。３元数体を作るとか、
行列を体として構成するとか、賞金問題に取り組むとかかな。ブレークスルー
するには、とにかく、まず、鍵を作らなきゃならんので、なんにしろ、鍵作りを
することになるのかなぁ。
みんなは、どんな鍵作ってる？持ってる？
465: 2006/01/08(日) 23:20:58 AAS
>>463
なるほどね。了承。
466(2): 2006/01/09(月) 00:15:13 AAS
> 「どの(ペアノ算術を再帰的に含み無矛盾な)実数論の形式的体系も
> その無矛盾性(Consis)を証明不可能」
そもそも実数の理論で無矛盾性述語書けないよ。
ていうか実数の理論は完全性持ってます。
算術の不完全性とごっちゃにしてないか？
467: 2006/01/09(月) 00:16:10 AAS
> そもそも実数の理論で無矛盾性述語書けないよ。
訂正。「述語」じゃなくて「文」ね。
468: 2006/01/09(月) 04:43:39 AAS
>>464
ニートにでもなるといいよ。
469: 2006/01/09(月) 05:30:16 AAS
>>466
実数の理論の完全性って、実閉体の初等理論のことだろ？
>>463の言ってることにそれで反論してどうなる？
470(6): 2006/01/09(月) 11:13:43 AAS
「メリット論」の本質は
「概念に対する名前の付け方は、事前の了解の下では論理的には自由であり、
非論理的な事情により決定される」
というごく当たり前の事。
「完備アルキメデス順序体」という概念に「実数体」という名前を付けようが
「椅子」という名前を付けようが(紛らわしいが)「複素数体」という名前を付けようが、
事前の了解の下では論理的には自由。
同じく単語「実数体」で意味する概念として「完備アルキメデス順序体」を取ろうが
「朝起きてコーヒーを飲む事」を取ろうが(紛らわしいが)「超準実数体」を取ろうが
事前の了解の下では論理的には自由。
これらは全て信念・メリット・お約束・多数決などの非論理的な事情により決定される事。
「1=0.999…」はこういった非論理的な前提に「100%依拠」して成り立つ式。
この事に対する数学的に意味深い反対意見があるなら是非聞きたい。
この「メリット論」を理解した事で実数の定義を混同し混乱した人がいるなら是非詳しく聞きたい。
だが>>443や>>448のように根拠を示さない意見に意味があるとは思えない。
>>466
実閉体の理論では「nは自然数である」という意味の述語すら書けないから
ペアノ算術は含んでないな。
>>463で意図していたのはZFCや二階算術の事。
実閉体の理論の完全性と「メリット論」はやはり関係無いだろう。
471(1): 2006/01/09(月) 11:15:30 AAS
>470
ソース
472(1): 2006/01/09(月) 11:16:42 AAS
>>471
何のソース?
473(1): 2006/01/09(月) 11:21:00 AAS
> 実閉体の理論では「nは自然数である」という意味の述語すら書けない
の事なら、俺はまず書けそうにないと思っただけで証明した訳ではない。
474(1): 2006/01/09(月) 11:25:33 AAS
>472
メリット論
すなわちその概念が手前勝手でないことの確たる証拠
475: 2006/01/09(月) 11:44:00 AAS
>>474
「本当に多くの人が>>470に賛同するのかどうかの証拠を示せ」という事か。
それは「実際に多くの人に聞いてみる」以外の論証方法は無いと思われる。
そして俺は実際に多くの人に聞いてみた訳ではない。
故に確たる証拠は無い。
476: 2006/01/09(月) 11:51:26 AAS
従って「『メリット論』は多くの人が『実際に』抱いている考えである」とまでは主張しない。
ただそうだろうとは思う。
もし「メリット論」に対する反対意見があれば聞きたい。
477(1): 2006/01/09(月) 11:55:46 AAS
定義の妥当性をメリットに求めると、このスレのように意見のみが百出して結論が出ない
478(1): 2006/01/09(月) 12:00:26 AAS
>>477
その通り。定義の妥当性を疑う人まで含めて万人が納得する「1=0.999…」の説明は無いな。
この意味で結論は出ない。
ただ高校教育においてどうすべきかなど、限定された状況ではまた別の話。
479(2): 2006/01/09(月) 12:03:45 AAS
>478
つまり、メリット論にはメリットがないわけだな
480: 2006/01/09(月) 12:07:45 AAS
>>479
俺は定義の妥当性を疑う人に対する「1=0.999…」の説明としては
「メリット論」以外に選択肢を思い付かない。
他に選択肢が無いという状況に「メリット」という相対的な概念は当てはまらない。
「メリット論にはメリットがない」という発言が詭弁でない事を示すには、
定義の妥当性を疑う人に対する「1=0.999…」の説明として
「メリット論」以外の選択肢を用意する必要がある。
481(2): 2006/01/09(月) 12:09:58 AAS
証明
482(1): 2006/01/09(月) 12:11:12 AAS
>>481
ならば定義の妥当性を疑う人に対して説得力のある「1=0.999…」の証明を見せてくれ。
483(2): 2006/01/09(月) 12:21:52 AAS
例えば>>379は小数の(通常の)定義を疑う人にとって説得力は無い。
1/3=0.333…の右辺が意味不明となるからだ。
また3×0.333…=0.999…も疑わしい。
更には3×1/3=1も分数の定義や四則演算の定義を認めない人にとっては謎の式でしかない。
もっと言えば「両辺を3倍する」という行為、即ちa=b⇒ac=bcすら怪しい。
また「0.999…=Σ9/10^n=1」も無意味。
小数の(通常の)定義を認めなければ0.999…=Σ9/10^nは疑わしい。
またそもそも実数の定義を認めなければΣ9/10^nも意味不明。
少なくとも上記の2証明は
定義の妥当性を疑う人に対して説得力のある「1=0.999…」の証明ではないな。
他にあると?
484(1): 2006/01/09(月) 12:49:32 AAS
>>482
>>483
実数の定義は、認めるべき。証明ってのは、定義あってのものだから。
すなわち、定義の妥当性を疑う人に対して、説得力のある証明は無理。
485(2): 2006/01/09(月) 12:50:14 AAS
>>470
> 「メリット論」の本質は
> 「概念に対する名前の付け方は、事前の了解の下では論理的には自由であり、
> 非論理的な事情により決定される」
> というごく当たり前の事。
そんな話じゃなかったと思うぞ。
「1=0.999…」と定義した数学はつくれるし
「1≠0.999…」（見た目は違うが実数値は同じ）と定義した数学もつくれる。
そのどっちを選ぶかで「メリットのある前者」を選ぶという話だったはず。
名前がなんでもいいって話とは違うだろ。
486(1): 2006/01/09(月) 12:53:58 AAS
>>485
ここで問題なんだが、
「1＝0.999…と定義する」とは何か？
「1≠0.999…と定義する」とは何か？
たとえば実数が連続である中で、「1≠0.999…と定義する」
ことはできるのか？
メリットを云々する人もいるが、そのメリット論において
この問いを解決できるのか？
できるなら、ぜひここでやってくれ。
487(1): 2006/01/09(月) 12:59:18 AAS
名前を変えればいいんだよ。
488: 2006/01/09(月) 13:02:29 AAS
>>487
ぶっちゃけ、俺はその案に賛成
489(4): 2006/01/09(月) 13:23:15 AAS
>>484
二行目は全く同意。実数の定義の妥当性を認めない人にとっては
>>483にあるような「証明」は無意味。
それ故に実数の定義の妥当性を認めない人を考慮する時
「メリット論」に行き着く。
実数の定義(として完備アルキメデス順序体)を認めるべきというのは非論理的な信念だな。
この非論理的な信念には俺も同意する(>>81>>335)。
「証明ってのは、定義あってのもの」にも同意する。
ただ単語「実数体」の定義として完備アルキメデス順序体を取らなければ
証明が行えないという事は無い。
例えば>>121の定義を採用する事により
命題「1≠0.999…」の数学的に厳密な証明が可能。
>>485
完備アルキメデス順序体に「実数体」という名前を付け、
整数aと0から9までの自然数a_1, a_2, ... に対して
この完備アルキメデス順序体の元a+Σa_i/10^nに「a . a_1 a_2 …」という名前を付けるのが
>>485曰くの前者「1=0.999…と定義した数学」。
後者の例としては、超準実数体に「実数体」という名前を付け、
この超準実数体の元[a, a, ... ]+[a_1/10, a_1/10+a_2/10^2, ... ]に
「a . a_1 a_2 …」という名前を付けるものが挙げられる。
他にも(適当な集合論内の)ペアノ公理系による自然数全体に「実数体」という名前を付け、
0に「a . a_1 a_2 …」という名前を付けても良い。
この時「0=a . a_1 a_2 …=0.999…≠1」は証明可能。
単語「実数体」や単語「a . a_1 a_2 …」にどのような概念を対応させるかは論理的には自由。
上の前者を選ぶか後者を選ぶかは
信念・メリット・お約束・多数決などの非論理的な事情により決定される。
これが「メリット論」。その本質は>>470の通り。
490(1): 2006/01/09(月) 13:25:12 AAS
>>489
それ、ちょっと証明してみて。
491: 2006/01/09(月) 13:27:42 AAS
>>489
あと、完備アルキメデス順序体に0.999…≠1と定義することは可能？
メリット論によると、多数決などの非論理的な事情があれば可能と
なるんだろうけど、489自身もそう思う？
492(8): 2006/01/09(月) 13:36:35 AAS
>>486
完備アルキメデス順序体においても、
適当な定義の下で1≠0.999…は証明可能。
例えば整数aと0から9までの自然数a_1, a_2, ... に対して
0に「a . a_1 a_2 …」という名前を付ければ良い。
「0=a . a_1 a_2 …=0.999…≠1」は証明可能。
だがこの定義にメリットは無い。
今までの慣習とはかけ離れており、不便なだけだ。
メリットなどの非論理的事情を考慮して始めて
1＝0.999…であるべきという発言が出来る。
>>490
「それ」とはどれか?
超準実数体の例における「1≠0.999…」の事か?
それならば以下のようにして示せる:
極大フィルターによる超準モデルで考える。
定義により0.999…=[9/10, 9/10+9/10^2, ... ]であるから、
0.999…は列(a_i), a_i=9/10^iの同値類である。
{ i | a_i=1 }は空集合であり、フィルターは空集合を含まないから、
従って{ i | a_i=1 }は超準実数体を定めている極大フィルターに入らない。
故に[9/10, 9/10+9/10^2, ... ]≠[1, 1, ... ]、従って0.999…≠1. 証明終了。
定義さえ知っていれば自明極まる事だが。
493(1): 2006/01/09(月) 13:37:00 AAS
メリット論ていうのは
良くないのは自然に廃れるってことだろ。
494: 2006/01/09(月) 13:40:08 AAS
>>492を修正。
> 「0=a . a_1 a_2 …=0.999…≠1」は証明可能。
の頭に「この時」や「するとこの定義の下」などの接続詞が必要。
495(1): 2006/01/09(月) 13:48:32 AAS
>>492
０に「a . a_1 a_2 …」という名前を付けた場合、
その順序関係はどうなるんだ？
０＜a＜a . a_1 a_2 …という順序がありながら
０＝a . a_1 a_2 …を定義すると矛盾が生じないか？
それでも証明といえるのか？
>>493
そう考えるなら、定義ではなく「仮説」という言葉がふさわしい。
496(1): 2006/01/09(月) 13:58:48 AAS
>>495
>>492の例では「a＜a . a_1 a_2 …」が任意のaについて成り立つとは言えない。
この命題は「a<0」を意味する。
単に偽の命題であるというだけだ。
もちろん通常の小数の定義では「a＜a . a_1 a_2 …」は正しい。
しかし>>492の例では通常の小数の定義を採用していないのだから、
「a＜a . a_1 a_2 …」が正しくない事があっても矛盾しない。
497: 2006/01/09(月) 14:07:41 AAS
定義も廃れるよ。
498(1): 2006/01/09(月) 14:09:18 AAS
>>496
偽の命題をつかったら、証明にならないだろw
499(1): 2006/01/09(月) 14:12:29 AAS
>>498
使う? どこで使ったと?
>>492の前半の例における「0=0.999…」の証明を以下に明記する:
定義より0.999…=0である。証明終了。
この証明文のどこに偽の命題、特に「a＜a . a_1 a_2 …」を使ったと?
500(1): 2006/01/09(月) 14:16:33 AAS
>>499
定義により証明終了？ｗ
メリット論はどこに行った？ｗ
501(2): 2006/01/09(月) 14:20:44 AAS
>>500
もう一度しっかりと書く。
完備アルキメデス順序体においても、
適当な定義の下で1≠0.999…は証明可能。
例えば整数aと0から9までの自然数a_1, a_2, ... に対して
0に「a . a_1 a_2 …」という名前を付ければ良い。
この定義の下ではa . a_1 a_2 …=0である。
特に0.999…=1である。
以上のどの部分に矛盾があるというのか?
指摘を願う。
上のような定義をする事は論理的には何ら問題無い。
上の定義を拒否するためには非論理的な事情が必要。
これが「メリット論」。
502: 2006/01/09(月) 14:21:46 AAS
>>501
> 特に0.999…=1である。
は「特に0.999…=0である。」に修正。
503(1): 2006/01/09(月) 14:23:26 AAS
>>492は言ってることがバラバラだな。
今度は「証明できるがメリット無いからダメ」ってか。
証明できれば、メリットなんて考えなくても真だろ。
何のための証明だと思ってんだ。本末転倒だなｗ
504: 2006/01/09(月) 14:24:59 AAS
>完備アルキメデス順序体においても、
>適当な定義の下で1≠0.999…は証明可能。
>例えば整数aと0から9までの自然数a_1, a_2, ... に対して
>0に「a . a_1 a_2 …」という名前を付ければ良い。
>「0=a . a_1 a_2 …=0.999…≠1」は証明可能。
すげぇｗ
神ｗ
505: 2006/01/09(月) 14:25:17 AAS
メリットが全くない定義って一杯あるだろうに…。
506(3): 2006/01/09(月) 14:36:02 AAS
>>503
前スレから一貫して同じ事を主張し続けている。
即ち、概念に対する名前の付け方は、事前の了解の下では論理的には自由であり、
非論理的な事情により決定される。
例えば>>489の3段落目の3つの例はどれも論理的に問題は無い。
どの例においてもそこにおいて(そこにおいてのみ)正しい命題が
そこにおいて(そこにおいてのみ)正しい推論により証明される。
1つ目の例では「1=0.999…」、2つ目と3つ目の例では「1≠0.999…」がそれぞれ証明される。
ただし非論理的な理由により2つ目と3つ目の例での定義が採用される事はあまり無い。
故に非論理的な事情により通常は「1=0.999…」となる。
> 証明できれば、メリットなんて考えなくても真だろ。
証明の『前に』定義が必要。
その定義の選び方に関する態度が「メリット論」。
誤解しないで頂きたい。
507(1): 2006/01/09(月) 14:42:55 AAS
>>506
では>>492は？
508(1): 2006/01/09(月) 14:48:56 AAS
>>506
1≠0.999…と定義するって、どういうこと？
あと、そのメリットって、具体的にはどういうこと？
509(1): 2006/01/09(月) 15:18:10 AAS
>>507
>>492と>>506は同じ事を言っている。
なお、完備アルキメデス順序体という概念の中に
単語「小数」や「a . a_1 a_2 …」の定義は含まれていない。
従って完備アルキメデス順序体においてこれらをどう定義しようと論理的には自由。
1つ目の例での定義の下では「1=0.999…」が、3つ目の例では「1≠0.999…」がそれぞれ証明される。
これは何らおかしな事では無い。
>>508
「1≠0.999…と定義する」とは言っていない。
単語「実数体」や「小数」の定義の取り方により
「1=0.999…」が証明されたり反証されたりする、という趣旨の発言は何度もしたが。
なお、>>501の定義におけるメリットは、
このような議論の場における分かり易く極端な例となっている事、が挙げられる。
510(1): 2006/01/09(月) 15:23:04 AAS
>>509
では、どのように小数を定義すれば>>492前段のような証明ができるの？
511(6): 2006/01/09(月) 15:27:32 AAS
>>510
そのままだな。
完備アルキメデス順序体において「小数」を次のように定義する:
整数aと0から9までの自然数a_1, a_2, ... に対して、
0の事を「a . a_1 a_2 …」と書き、これを0の小数展開と定義する。
つまり「a . a_1 a_2 …=0」と(左辺を右辺で)定義する。
この定義の下でa . a_1 a_2 …=0が成り立つのは、正に定義そのもの。
512(2): 2006/01/09(月) 15:28:40 AAS
>>511
その定義において、例えば１はどうなるの？
513(3): 2006/01/09(月) 15:30:23 AAS
>>512
「1の小数展開」は定義されていない。
体においては1≠0だから、
従って>>511の定義の下では0=a . a_1 a_2 …=0.999…≠1は正しい。
514(1): 2006/01/09(月) 15:32:49 AAS
>>513
定義できていないものと定義できているものを、どうやって比較するの？
515(1): 2006/01/09(月) 15:38:28 AAS
>>513
> 「1の小数展開」は定義されていない。
それはデメリットだ
さあ、早くメリットのある1の小数展開を定義するんだ！
516(1): 2006/01/09(月) 15:41:17 AAS
>>513
あと、その小数展開の中で、本来の０．９９９・・・はどう展開されるの？
517(2): 2006/01/09(月) 15:51:29 AAS
>>514
ああ、>>512では「1の小数展開の定義」では無く「1の定義」を聞いたのか。
「1」は体において唯一つ存在する単位元として定義されている。
この定義はアルキメデス順序体の概念の中に含まれている。
>>515
それをデメリットと感じる人は多いだろう。
故に「メリット論」から>>511の定義は普通採用されない。
恐らく最もメリットのある「小数」の定義は>>489の3段落目の1つ目の例だろう。
>>516
「本来の」? >>489の3段落目の1つ目の例における「0.999…」の事か?
それならば、>>489の3段落目の1つ目の例と>>511では異なる定義を採用しているため、
その質問は無意味だな。
ある定義の下に成り立つ命題と他の定義の下に成り立つ命題は比較しようがない。
518(1): 2006/01/09(月) 15:55:02 AAS
>>517
俺が言いたいのは、
定義の中で０は０．９９９９・・・と定義された。
１はまだ定義されていない。
こんな状態で、０．９９９・・・と１を比較できるわけがないってこと。
519(1): 2006/01/09(月) 15:59:53 AAS
>>517
前段：
単位元としての１の定義はともかくとして、それを証明にどう生かしているの？
中段：
メリット無くとも証明できるってんならきっちり証明してみな
下段：
これは完全に論理を逸脱してる
520(1): 2006/01/09(月) 16:00:04 AAS
>>470
>>473
今手元にはないんでチョットぁゃιぃが、裳華房の田中一之先生の『数の体系と超準モデル』（タイトル違ってたらごめん）にあった気がする。
521(1): 2006/01/09(月) 16:13:53 AAS
>>518
> 定義の中で０は０．９９９９・・・と定義された。
逆だな。
> つまり「a . a_1 a_2 …=0」と(左辺を右辺で)定義する。
と書いた通り、>>511では0.999…を0と定義した。
右と左がどちら向きか分からなければそばにいる人に聞くと良い。
完備アルキメデス順序体(以前に体)では、
0は零元、1は単位元として既に定義されている。
その定義を踏まえ、>>511では
その時点ではまだ未定義だった記号a . a_1 a_2を定義済みの記号0で定義した。
定義済みの記号を用いて未定義の記号を定義しただけ。
>>519
体の定義の中に「1≠0」がある。
一方>>511の定義の下では0=0.999…である。
故に1≠0.999….
> ある定義の下に成り立つ命題と他の定義の下に成り立つ命題は比較しようがない。
が良く理解できなかったか。他の具体例を挙げる。
体において記号Aを
(1) 1として定義する、
(2) 1+1として定義する。
(1)の定義の下では「A=1」は真であり、「A=1+1」は真でない。
(2)の定義の下では「A=1+1」は真であり、「A=1」は真でない。
(1)の定義の下に成り立つ命題「A=1」と
(2)の定義の下に成り立つ命題{「A=1+1」は比較できない。
(1)の定義によるAと(2)の定義によるAは関係が無い。
これのどこが論理を逸脱していると?
522(1): 2006/01/09(月) 16:22:28 AAS
>>520
その本を近いうちに見てみる。
523(1): 2006/01/09(月) 16:24:48 AAS
>>521
記号的に定義するなら、単位元とゼロ元が一致することもあるでしょ。
524: 2006/01/09(月) 16:28:54 AAS
>>523
俺は体の定義の中に「零元と異なる単位元を持つ」を持つものを念頭に置いていた。
{0}を体として認めるより一般的だと思い、特に断らなかった。
混乱させてしまったら申し訳ない。
525: 2006/01/09(月) 16:30:20 AAS
あまり、証明としては適さないと思うが
526(1): 2006/01/09(月) 16:36:51 AAS
＞従って>>511の定義の下では0=a . a_1 a_2 …=0.999…≠1は正しい。
0.5とか0.95とか0.99999999999999999999999995
とかは、どう扱われるんだ？
大小関係を比較できる？
527: 2006/01/09(月) 16:42:07 AAS
>>522
外部ﾘﾝｸ[htm]:www.shokabo.co.jp
７．３と８．１の違いかな。４４１０円はきついな。この内容なら出す価値ありそうだが。
528(1): 2006/01/09(月) 16:44:33 AAS
>>526
>>511では有限小数は定義されていない。
もし定義したければご自由に。論理的には自由だ。
例えば次のような定義が考えられる:
整数aと0から9までの有限個の自然数a_1, a_2, ... a_nに対して、
0の事を「a . a_1 a_2 …a_n」と書き、これを0の小数展開と定義する。
つまり「a . a_1 a_2 …a_n=0」と(左辺を右辺で)定義する。
この定義の下では0.5や0.95や0.99999999999999999999999995はどれも0に等しく、
0は0.5や0.95や0.99999999999999999999999995といった小数展開を持つ。
529: 2006/01/09(月) 16:44:42 AAS
0.9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
530(1): 2006/01/09(月) 17:06:39 AAS
>>528
論理的には自由だが、実数的には不自由だな
531(1): 2006/01/09(月) 17:11:02 AAS
>>530
全く同意。その「不自由」という非論理的な事情により
「実数体」や「小数」という単語の定義が選択されている。
「1=0.999…は当然正しい」という主張は、
こういった非論理的な事情に「100%依拠」した上で正当化される。
もう何度も何度も言った事だが。
532(1): 2006/01/09(月) 17:15:55 AAS
こじつけ
533: 2006/01/09(月) 17:18:48 AAS
コピペみたいな文はやめれ
自分の言葉でさ、もっと自信を持って。
534: 2006/01/09(月) 17:28:51 AAS
「メリット論」への反論(のようなもの):
>>479 > メリット論にはメリットがないわけだな
>>481 > (定義の妥当性を疑う人に対する「メリット論」以外の「1=0.999…」の説明として) 証明
に対する反論としては以上で十分だろう。
他に「メリット論」への反論はあるのか?
>>532
>>470で書いた
> この事に対する数学的に意味深い反対意見があるなら是非聞きたい。
> この「メリット論」を理解した事で実数の定義を混同し混乱した人がいるなら是非詳しく聞きたい。
> だが>>443や>>448のように根拠を示さない意見に意味があるとは思えない。
の「根拠を示さない意見」に>>532を追加するか。
535: 2006/01/09(月) 17:30:25 AAS
とりあえず、何度書いても受け入れてもらえない理由を考えるべし
536(2): 2006/01/09(月) 17:33:22 AAS
>>531
> 全く同意。その「不自由」という非論理的な事情により
不自由ってのは、今ここで書かれてる証明みたいなのについてだけだろ？
この例だけで、1≠0.999…は不自由（＝メリットがない）って言えるのか？
537: 2006/01/09(月) 17:34:46 AAS
>>536
この人は反論になれば何でもいい人だから
538(2): 2006/01/09(月) 17:45:17 AAS
>>536
1≠0.999…が導かれるような定義にメリットが一切無いとは主張していない。
例えば>>121の定義では1と0.999…は「無限に近い」ので、
一部の人には受けが良いかも知れない。
ただ俺個人としては「1=0.999…」が導かれるような定義の方が
「比較的」メリットがあると感じる。
もちろん何をメリット・デメリットと思うかなど人に押しつける事が出来るものではない。
そしてこれは「メリット論」を何ら否定するものではない。
539(1): 2006/01/09(月) 17:48:29 AAS
>>538
どんなメリット？
540(2): 2006/01/09(月) 17:59:11 AAS
>>539
まず「実数体」の定義として完備アルキメデス順序体を取る信念・メリットとしては、
>>81>>335、また皆がこの定義を実際に採用している事(了解無しで話が通じ易い)など。
また「小数」の定義として通常の(即ち>>9)を採用する信念・メリットとしては、
これが俺は自然に感じる事、a. a_1 a_2 …=sup{a, a+a_1/10, a+a_1/10+a_2/10^2, ... }といった
俺にとって自然に見える式が成り立つ事、皆が実際にこの定義を実際に採用している事など。
これに同意できない人がいても構わない。
541(1): 2006/01/09(月) 18:01:18 AAS
>>540
みんなって？
542: 2006/01/09(月) 18:03:53 AAS
>>541
「皆」は言い過ぎたな。「多くの人」に訂正する。
何を以て「多く」と言うのかは俺の主観。
543(1): 2006/01/09(月) 18:03:54 AAS
>>538
メリット論って結局「いいと思う」とかそんな感じでしょ？
544: 2006/01/09(月) 18:06:38 AAS
>>543
その通り。加えて言えばその内価値観が変わって
>>540は俺の信念・メリットではなくなる可能性もある。
545: 2006/01/09(月) 18:07:26 AAS
コンピュータプログラム的に書くなら
if real(1) == real(0.999・・・)
って評価を
if 1==0.999・・・
って書けるくらいのメリットだろ
546(2): 2006/01/09(月) 18:12:40 AAS
つまり、540がこのスレ初心者に説明を求められたら
「そんな気がするから、でいいんだよ」と答えるのと一緒か。
簡単かつ安易だな。
547: 2006/01/09(月) 18:26:59 AAS
>>546また香ばしいやつがここに一人
548(1): 2006/01/09(月) 18:27:09 AAS
>>546
人に教える時は(順序は)別だな。
まず>>379や>>25などを丁寧に解説し、
それで分からなければ、無限級数の計算方法の知識が無いなら諦める。
そうでないなら「0.999…Σ9/10^nは定義」と言い、右辺が1に等しい事を計算させる。
大学以降での微積の知識があれば、前スレ>>323の
> 0.999…という記号が、次の3つの条件を満たすならば0.999…＝1となる。
> 証明は、ε−δっぽい議論で矛盾を示す。
> 1)0.999…∈R (←実数)
> 2)任意のn∈Nに対して0.999…＞Σ[i＝1〜n]9/10^i
> 3)0.999…≦1
などを使い、証明させる。
アルキメデスの公理や小数の定義、実数の連続性を疑い出すようなら、
これが如何に自然かを説得する。
これらの公理を完全に否定するようなら、最終的に「メリット論」を持ち出す。
別に正論を頭から持ち出す必要は無い。
ただこれでうまくいくかどうかは分からんな。
549: 2006/01/09(月) 18:49:01 AAS
>>548
確かに、それは自然
550: 2006/01/09(月) 19:39:20 AAS
努力型電波君の小川がいなくても
もりあがるんだな、ここｗ
551: 2006/01/09(月) 19:42:07 AAS
粘着質の厨房が２人いれば十分盛り上がる
552(1): 2006/01/09(月) 20:28:00 AAS
ぼく松本真吾みんなもりあがってね
553: 2006/01/09(月) 21:03:16 AAS
( ；＾ω＾)
554: 2006/01/09(月) 21:11:15 AAS
なあ、0.999999…と１の間ってなにか数字あるの？
555: 2006/01/09(月) 21:17:20 AAS
ない
556(2): 2006/01/09(月) 22:14:55 AAS
言ってはいけないことかもしれないが、そもそもやりようによっては
1=0.999…
は実数論は必要なく、有理数論の範囲で証明できるな。まあ、一階の
有理数論の無矛盾性は前提にしなければいけないがなw
557: 2006/01/09(月) 22:20:54 AAS
言ってはいけないことかもしれないが、
ガクガクブルブル
558: ogachan 2006/01/09(月) 22:23:44 AAS
ヒルベルトの第２問題が否定的に解決されたという余韻はさておき、
また、ひとつ、面白いことを思いついてしまったので、報告してお
こう。ゲーデルの不完全性定理があやしい。あれは定理じゃなくて、
パラドックスだな。題して、ゲーデルのパラドックス（不完全性定理を読み直す）
を近日アップする予定だ。楽しみにしといてくれ。結論としては、
ＺＦ、ＰＭ、これらに有限個の公理を追加した体系においても、
排中律が守られていないということになる。
ゲーデルはなんでこんなことに気づかなかったんだろう？パラドックスよりも
定理の方がかっこいいから、わざと、パラドックスであることを隠したの
かな？！
559(2): 2006/01/09(月) 22:23:47 AAS
>>556
確かに1=0.999…だけならそうだな。
ただその時は、「小数」を一般には定義しないか、
「a+Σa_n/10^nが有理数内で収束した時に限りその値を」
云々と注意書きを付ける必要が生じる。
また「有理数」や「小数」の定義の選択に当たって、
やはり「メリット論」に頼らざるを得ない。
矛盾を仮定すれば1=0.999…と1≠0.999…が同時に証明可能。
560(1): 2006/01/09(月) 23:09:39 AAS
>>559
まあ一般論としては同感。ただし、実数に不安を持っているヤツは多くても、
有理数に文句を言うヤツは少ない。実際、有理数論は実数論よりは安全でもあ
る。だから、納得させ易いというメリットもあるからね。まあ、理解する能力
がないヤツにはどの方法をとっても無理といえるがw
561(1): 2006/01/09(月) 23:22:36 AAS
有理数論で0.999…ってどう定義するの？
562: 2006/01/09(月) 23:22:54 AAS
>>561
1
563(2): 2006/01/09(月) 23:25:56 AAS
有理数でやる場合は、小数は循環小数と有限小数だけ扱えれば十分。
それらは、よくやるペアの同値類別や、縦書きの割り算の形式化で
定義すればよい。この形式化の仕方で２つの小数表示が生まれるが、
それらが同じ有理数に対応することで証明される。できる高校生なら
自作できると思う。もちろんwell-definedであることを調べる必要は
ある。面倒だからヤダって言うメリット論により採用はされないが、
できると言うことはやはり大事。牛刀は必要ないことはことわってて
おくべきじゃないかな？
564(1): 2006/01/09(月) 23:29:03 AAS
>>563
> よくやるペアの同値類別や、縦書きの割り算の形式化で
> 定義すればよい
すみません。それらの方法で0.999…を定義してみて下さい。
565(3): 2006/01/09(月) 23:42:28 AA×
>>564
566(1): 2006/01/10(火) 15:05:55 AAS
メリット論って何？
567(1): 2006/01/10(火) 15:43:57 AAS
結局、０．９９９・・・は１と等しいのか、等しくないのかはっきりしてくれ
568: 2006/01/10(火) 15:52:28 AAS
=
569(2): 2006/01/10(火) 16:08:18 AAS
証明するの難しそうだよね。
その意味じゃ、難しくないっていうメリット論もあるな
570(1): 2006/01/10(火) 16:08:44 AAS
>>566 流行
>>567 近似
571: 2006/01/10(火) 16:15:28 AAS
>>570
近似ってことは、厳密には違う？
572: 2006/01/10(火) 16:19:00 AAS
同一律を認めるか、認めないかしだい。
573: 2006/01/10(火) 16:21:06 AAS
同一律って・・・？
それって認めたり、認めなかったりできるの？
574(1): 2006/01/10(火) 16:43:30 AAS
a≠a もある。
575: 2006/01/10(火) 16:46:57 AAS
>>574
それはない
576: 2006/01/10(火) 17:39:51 AAS
違う公理を使えば、成り立つ。
577: 2006/01/10(火) 18:08:14 AAS
公理によって、YesかNoかが変わるってことでオケ？
それだけの話なら、実数の定義によってＹｅｓかＮｏかのまとめを行って、
それらに対する証明と説明を付けていけば決着だな。
578(1): 2006/01/10(火) 21:03:12 AAS
そういう定義は「無数」に作れる悪寒…。
「普通の実数の定義」と「特殊な１≠０．９９９９…となる具体的定義」ぐらいなんじゃないのか？
579: 2006/01/10(火) 21:22:56 AAS
>>578
無数に作ろうと思えば、作れるのが定義というもの。
ただ、やはり実数として扱うに足る性質を備えていて、
かつその定義の中で矛盾しないものでないと、扱っていて苦しくなる
580: 2006/01/10(火) 22:15:03 AAS
そんなの、通常の等号の範囲では形が全く同じじゃなきゃ「≠」として扱い、
大小関係を比較するときには、実数に変換して比較する…ってダメｗ？
581: 2006/01/10(火) 22:21:40 AAS
未定義の特異点でも、苦しくない。
完全性を求めれば、フラクタル性も持つ。
582: 2006/01/10(火) 22:28:58 AAS
指数も連続、加法も連続、無限の中に無限がある。
も一つ無限なら、フェルマーの定理が解けそう。ｗ
583: 2006/01/10(火) 22:29:09 AA×
>>103
584: 2006/01/10(火) 22:32:42 AAS
そこで黄金律の登場。
585: 2006/01/10(火) 22:42:58 AAS
発散も収束もさせないってか？
586: 2006/01/10(火) 22:55:39 AAS
永遠に展開シル。
587: 2006/01/10(火) 23:25:53 AAS
加法の連続性 指数の連続性 フラクタル性で
実数という近似のできあがり。
これはマンデルブロー集合と黄金律どう関係するのか、
その向こうに、リーマン予想は見えるか？
588: 2006/01/11(水) 03:40:58 AAS
>>552
ここって、小川・松本スレだったのかｗ
589: 2006/01/11(水) 09:43:41 AAS
公理以前の未定義語を認めるか？
未定義語以前のゼロを認めるか？ Φは認めるか？
ゼロとΦと未定義語と公理の順序関係は？
590: 2006/01/11(水) 15:29:42 AA×
>>591
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