[過去ﾛｸﾞ] 大学学部レベル質問スレ 25単位目 (1002ﾚｽ)
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1(3): 01/26(金)01:10 ID:mTlLZHyZ(1) AAS
大学で習う数学に関する質問を扱うスレ
・質問する前に教科書や参考書を読むなりググるなりして
・ただの計算は
http://wolframalpha.com
・数式の表記法は
http://mathmathmath.dotera.net
・質問のマルチポストは非推奨
・煽り、荒らしはスルー
※前スレ
大学学部レベル質問スレ 24単位目
省11
26(4): 01/29(月)11:16 ID:+GqtUDRE(2/5) AAS
L/KをGal(L/K)が位数nの巡回拡大でσをその生成元、aをKの元とするとき代数AをK上の代数でL[t]に関係式
lt = tσ(l)、t^n = a
をいれるとcen(A) = KであるK代数
AはLを部分環として含み単位元は単位元として含むがLはAのcenterに入ってない。
47(3): 01/30(火)18:37 ID:FsAyePn1(1) AAS
>>31
Rのブラウアー群は位数2だけど、L=C, K=Rのとき、>>26の環は四元数体になるの？
76(11): 01/31(水)13:25 ID:EfPnsWvX(1/4) AAS
環論の質問です
環をR、そのイデアルをIとし、r+I={r+a|a∈I}をIの剰余類とする
このとき、関係r～s⇔r+I=s+Iは同値関係であり、r～sとr-s∈Iは同値である
と書かれているのですが、r～sとr-s∈Iが同値であるという理屈がわかりません
一応
r-s∈I
⇒(r-s)+a∈I（a∈I）（∵イデアルの定義）
⇒(r-s)+I⊆I
(r-s)+I⊇Iは自明なので(r-s)+I=I
変形してr+I=s+I
省1
141(5): 02/05(月)12:55 ID:lNXtflvi(1) AAS
位相空間 X の部分集合 A の極限点の定義：
X の点 x は A の閉包の元であるとき、 A の極限点という。（普通の定義と異なることに注意。）
x が A ⊂ X の極限点であるとしても、 A の点列で x に収束するようなものが存在しないことがあることを示せ。
できるだけ「異常」な例ではなく、親しみやすい例をお願いします。
X = R^n （位相は通常のもの）ではそのような点列はかならず存在してしまいます。
163(4): 02/08(木)11:30 ID:fK7tKbG4(1) AAS
情報学科の知り合いに
f(xy)=f(x)+f(y)
を満たすf(x)はlogx
しかないの？
と聞かれました。
これの証明を教えて下さい。
206(3): 02/11(日)22:10 ID:CL0NvoIK(2/2) AAS
こんな暗算でできるレベルの話理由もクソもない
230(3): 02/13(火)20:38 ID:jiXMyo1Z(1) AAS
問題
Xをσ-コンパクト局所コンパクトハウスドルフ空間、μをその上の正則測度とする。
X上の可積分関数でコンパクトな台を持つ関数全体L_c(X)に
セミノルムp_w(f)=||wf||（L(X)ノルム）、w∈C_0(X)（X上のコンパクトな台を持つ連続関数の全体の空間）
を入れた時にL_c(X)はフレッシェ空間になる。
完備性の証明が分かりません。
f_nをコーシー列としたときに極限f∈L(X)の存在までわかったのですがfの台がコンパクトになることがわかりません。
239(4): 02/14(水)21:01 ID:0RQEF4oC(3/6) AAS
>>230
訂正
セミノルムp_w(f)=||wf||（L(X)ノルム）、w∈C(X)
極限fの台はコンパクト
コンパクト集合の列K_1⊂⊂K_2⊂⊂・・・、X=∪K_j、をとる。fの台がコンパクトでないとすると、||f||_K_1>0、||f||_K_2-K_1>0・・・となる。
連続関数w1で台がK_1内にあるものをとってp_w1(f)>1とできる。連続関数w2で台がK_2-K_1内にあるものをとってp_w2(f)>2とできる。・・・
w(x)=Σwj(x)は連続関数で、p_w(f)は発散。矛盾。
258(4): 02/15(木)14:35 ID:YlN93sc3(5/17) AAS
>>256
セミノルム族{p_j}は可算でL_cの連続セミノルムの半基底になる。
・連続セミノルムの半基底の証明
ｆの台をKとするとあるK_jに対してK⊂K_j、よってp_w(f)<=sup|w(x)|p_j(f)
二つのセミノルム族{p_j}と{pw}の定める局所凸位相は同じもの。
259(3): 02/15(木)14:38 ID:iheBb1PZ(5/19) AAS
>>258
今の場合、w∈C_0(X) ではなく w∈C(X) なので、w はX上で非有界の可能性がある。
実際、>>239の w＝Σwj(x) は、一般には X 上で非有界である。そのような w に対して、
＞ｆの台をKとするとあるK_jに対してK⊂K_j、よってp_w(f)<=sup|w(x)|p_j(f)
この部分は p_w(f)<=sup|w(x)|p_j(f) ＝ ＋∞ p_j(f) となり、破綻する。
266(5): 02/15(木)16:23 ID:iheBb1PZ(9/19) AAS
SはCベクトル空間とする。p＝(p_λ)_λ は S 上のセミノルムの族とする。
p から作られるS上の位相をθ_pと書くことにする。
下記の定理はフレッシェ空間を論じる際の基本的な定理であるから、
証明は省略する。ただし、手元に証明はあるので、要望があれば後で証明を書く。
定理1：SはCベクトル空間とする。p＝(p_λ)_λ はS上のセミノルムの族とする。
もしθ_pが距離化可能ならば、S上のセミノルムの可算無限集合 r＝{ r_n｜n≧1 }が
存在して、θ_p＝θ_r かつ r_n≦r_{n＋1} (n≧1)が成り立つ。特に、次が成り立つ。
(1.1) ∀p_λ∈p, ∃r_n∈r, ∃A＞0, ∀s∈S s.t. p_λ(s) ≦ A r_n(s).
267(3): 02/15(木)16:29 ID:iheBb1PZ(10/19) AAS
定理2：>>230の設定のもとで、
さらに次を満たすコンパクト集合の列 { K_j }_{j≧1} と、
X上の連続関数の列 {w_j}_{j≧1}が存在するとする。
・ K_1⊂⊂K_2⊂⊂・・・, ∪_j K_j＝X,
・ supp(w_1)⊂int(K_1), supp(w_j)⊂int(K_j)−K_{j−1} (j≧2), ∫_X|w_j(t)|dμ(t)＞0 (j≧1).
このとき、p：＝{ p_w }_{w∈C(X)} から作られるL_c(X)上の位相θ_pは距離化できない。
268(3): 02/15(木)16:29 ID:YlN93sc3(9/17) AAS
>>265
L_c={fはX上可積分| ｆの台はコンパク}の線形空間。
勘違いしてる。
269(3): 02/15(木)16:31 ID:iheBb1PZ(11/19) AAS
証明：定理1により、L_c(X) 上のセミノルムの可算無限列 r＝{ r_n }_{n≧1} が
存在して、次が成り立つ。
(2.1) ∀w∈C(X), ∃n≧1, ∃A＞0, ∀g∈L_c(X) s.t. p_w(g) ≦ A r_n(g).
n,A は w に依存するので、wごとにn,Aを1つずつ取って
n＝n_w, A＝A_w と置いておく。よって、次が成り立つ。
(2.2) ∀w∈C(X), ∀g∈L_c(X) s.t. p_w(g) ≦ A_w r_{n_w}(g).
270(3): 02/15(木)16:35 ID:iheBb1PZ(12/19) AAS
さて、g_j＝1_{K_j}∈L_c(X) と置いて、a_{n,j}：＝r_n(g_j) と置く。
さらに、b_j＝ j * max{ 1＋a_{n,j}｜1≦n≦j } (j≧1) と置く。
w(x)：＝Σ[k＝1〜∞] b_k w_k(x) / ∫_X|w_k(t)|dμ(t)
と置くと、w∈C(X) である。(2.2)により、任意の j≧1 に対して
p_w(g_j) ≦ A_w r_{n_w}(g_j)＝ A_w a_{n_w,j} である。
また、p_w(g_j)＝Σ[k＝1〜j] b_k ≧ b_j である。
また、j≧n_w のとき b_j≧j(1＋a_{n_w,j})である。よって、j≧n_w のとき
j(1＋a_{n_w,j}) ≦ b_j ≦ p_w(g_j) ≦ A_w a_{n_w,j} ≦ A_w (a_{n_w,j}＋1)
となるので、j≦A_w である。j≧n_w は任意だから矛盾。
298(4): 02/16(金)11:58 ID:bZVSIEJi(1) AAS
xy平面からxy平面への写像 f で、
・原点を原点に移す
・単射
・異なる2点P,Qに対し、線分PQ上の点は線分f(P)f(Q)上の点に移る
を満たすものは、行列で表される線形変換に限るでしょうか。
325(3): 02/16(金)20:37 ID:xRmmp+MS(2/4) AAS
>>311
うーん、絶望的に俺の算数のセンスが無くてやっぱりわからんわ
200万円の10%から195万円の5%を引いたら200万円と195万円の差額の5万円の10%と195万円の5%と同じ額になるってのが腑に落ちない
というかどうしても飲み込めない
普通なら何言ってんだってレベルなんだろうけど
374(3): 02/21(水)10:40 ID:WyZWRw/S(1/14) AAS
V を R^n の部分線形空間とする。
V は R^n の閉集合であることを示せ。
V はある連立一次方程式の解の集合である。
V = {x ∈ R^n : A * x = 0} とする。
線形写像は連続写像であり、 {0} は R^n の閉集合である。
よって、 V は閉集合である。
415(3): 02/22(木)14:15 ID:qLpIuLI5(1/5) AAS
V を R^n の部分線形空間とする。
V は R^n の閉集合であることを示せ。
V = R^n ならば、 V は R^n の閉集合である。
V = {0} ならば、V は R^n の閉集合である。
V ≠ {0} かつ V ≠ R^n とする。
dim V = p とする。
0 < p < n である。
v_1, …, v_p を V の正規直交基底とする。
v_1, …, v_p, v_{p+1}, …, v_n を R^n の正規直交基底とする。
x ∈ R^n - V とする。
省7
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