純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）11

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954: 現代数学の彼岸 ◆mrg.0Mu9EdE8  [] 2022/12/20(火) 21:47:35.13 ID:UspPL0zv

>>951
全然追撃できてない･･･

＞ラグランジュの分解式の優れているところは、
＞1 の原始 n 乗根 ζを導入することで、
＞自然に、クンマー拡大・クンマー理論の土俵の上に上げていること
　これ誤り、ζを導入しただけでは、クンマーには行けない

h(α) = α + ζσ(α) + ・ ・ ・ + ζ^(n-1)σ^(n-1)(α)
　に対して
　h(σ(α)) = σ(α) + ζσ^2(α) + ・ ・ ・ + ζ^(n-1)α
　を考えると
　h(σ(α)) = ζ^(-1)(α＋ζσ(α) + ・ ・ ・ + ζ^(n-1)σ^(n-1)(α))
　　　　　= ζ^(-1)h(α)
　であり
　x^n-h(a)^n
　=(x-h(α))(x-ζh(α))･･･(x-ζ^(n-1)h(α))
　=(x-h(α))(x-h(σ^(n-1)(α)))･･･(x-h(σ(α))
　である
　　
　が、σ(α)=ζα　とはいえない（だから巡回拡大＝クンマー拡大とはいえない）

＞これにより、大阿久の定理 9.3
＞「ガロア群 G 位数 n の巡回群」
＞「L は x^n - a の分解体と一致」
＞が導かれる

これは二項方程式の場合であって、
ガロア群Gが位数 n の巡回群となるのは二項方程式に限る
と思ってるなら全くの誤りである

＞さて、では問う”フーリエ級数展開の類似”と主張する意図は何か？
＞そもそも、ラグランジュの分解式の表式と、フーリエ級数展開の式とは
＞似て非なるもの（結構別物だろ？）と思うのは、私だけかな？
　似てるのではなく同じだが、何か？

h(         1,α) = α +           σ(α) + ・ ・ ・ +                    σ^(n-1)(α)
　h(         ζ,α) = α +           ζσ(α) + ・ ・ ・ +        ζ^(n-1)σ^(n-1)(α)
　h(     ζ^2,α) = α +       ζ^2σ(α) + ・ ・ ・ +      ζ^2(n-1)σ^(n-1)(α)
・・・
h(ζ^(n-1),α) = α + ζ^(n-1)σ(α) + ・ ・ ・ + ζ^(n-1)(n-1)σ^(n-1)(α)

左辺はh(1,α)を除いて全部ベキ根で求まる
　だから、線型方程式系を解けば、解α,σ(α),･･･,σ^(n-1)(α)は全部求まる

σ^i(α)=1/nΣ(j=0~n-1)ζ^(-ij)*h(ζ^j,α)　(i=0~n-1)

これ、同じこと、石井本のp412-421に書いてあるぞ
　君、読んでないの？何で読まないの？まず読め！

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/954

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