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純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）11 (1002ﾚｽ)
純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）11 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/
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594: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2022/12/10(土) 21:18:05.38 ID:898jbfXT >>590 (引用開始) >>589 >２）最小分解体分かってますか？ > ガロア拡大がなんですと？ > 混乱しているように見えるのは私だけかな？ >３）Q(a1,a2,a3,a4,a5)は、最小分解体でありましてガロア拡大ではないよね 標数0の場合「基礎体上のある方程式の根」をすべて添加したらガロア拡大になる。 最小分解体とは既約方程式が1次式の積に分解している最小の体だから、ガロア拡大。 そんなことも分からないバカ野郎ｗ (引用終り) １）あららのら！ｗ ２）>>488より再録 ”３）で、私は回答>>381を書いた そこに、還元不能問題（不還元）についても記した ４）>>391 ID:R+sEJurg氏が 「不還元の話は特に必要ないです」とか言い出した ５）で、私は >>399 で、「必要だよ」 「”1の原始5乗根”の必要性 ＝不還元の話 だ」と諭してやった” これが、ズバリ当てはまるな！ ３）下記で、5実根の場合は 最小分解体⊂R、つまり実の拡大体 ４）一方、ガロア拡大なら実の拡大体では終わらない ５）これが、還元不能問題（不還元）です (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%86%E8%A7%A3%E4%BD%93 分解体 与えられた多項式の分解体（英: splitting field）とは、その多項式を一次式の積に因数分解 (splitting) できるような係数体の拡大体を言う。特にそのような拡大体のうち拡大次数（英語版）が最小となる最小分解体 (smallest splitting field) は多項式に対して同型を除いて一意に定まるため、最小分解体のことを指して単に分解体と呼ぶことも多い。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/594
595: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2022/12/10(土) 21:18:29.18 ID:898jbfXT >>594 つづき https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E6%8B%A1%E5%A4%A7 ガロア拡大 体の代数拡大 E/F であって、正規拡大かつ分離拡大であるもののことである。 例 有理数体に、2の平方根を添加する（英語版）とガロア拡大を与えるが、2の立方根を添加すると非ガロア拡大を与える。標数 0 だからこれらの拡大はいずれも分離的である。前者は x2 ? 2 の分解体である。後者は1の虚立方根を含む正規閉包を持ち、したがって分解体ではない https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F 三次方程式 還元不能の場合 実数解しかないのにも関わらず、カルダノの公式では負の数の平方根を経由する必要がある。 カルダノは負の数の平方根を計算に用いることはあったものの、それらの場合は不可能で役に立たないものと考えていた。 この還元不能の場合を回避するために様々な努力がなされたが、実は、虚数を避けて実数の冪根と四則演算を有限回用いただけで解を書き下すことは不可能であるため、全て徒労に終わった。 (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/595
596: １３２人目の素数さん [] 2022/12/10(土) 21:32:15.09 ID:meH3MbbN >>589 >Q(a1,a2,a3,a4,a5)は、最小分解体でありましてガロア拡大ではないよね 混乱してますな 俄魯魔の集合Aさん >>594 >5実根の場合は 最小分解体⊂R、つまり実の拡大体 >一方、ガロア拡大なら実の拡大体では終わらない 混乱してますな 俄魯魔の集合Aさん 次から次へと息を吐くように初歩的な誤りの嘘を吐きますな http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/596
597: １３２人目の素数さん [] 2022/12/10(土) 21:44:24.02 ID:meH3MbbN >>589 ＞２項方程式 x^5=a (a^(1/5)は無理数)で、 ＞ある無理数a^(1/5)を、Q(a1,a2,a3,a4,a5)に含んでいても ＞それで、なんの不思議もないでしょ 2項方程式のガロア群は位数5の巡回群ではなくて位数20の群ですね ガロア群が位数5の巡回群になる方程式もあります そのような方程式の根は全て実根ですが、 根を求める式には1の５乗根は現れます しかし、１の5乗根は最小分解体に現れません どれか1つ根が求まれば、そこから有理関数である巡回関数で 他の4つの根が生成されるので、Qに根の1つを追加するだけで 最小分解体（もちろんガロア拡大体）ができますが、 どの根も実根なので、1以外の1の5乗根はどの4つとも入りません だからいってるじゃないですか 根を表す式の中に1の5乗根が現れるからといって 最小分解体の中にそれが含まれるとはいえないんですって 10年前、初めてスレ立てたときに ラグランジュの分解式（リゾルベント）って書いてたのに、 結局解き方が全然分かってなくていまだにそのままなんですね いったい、何がしたいんですか？俄魯魔の集合Ａさん http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/597
598: １３２人目の素数さん [] 2022/12/10(土) 21:46:08.47 ID:DV2XUKqW こういう無神経さが 数学科のメシを食ったことのあるちゃねらーたちを ものすごくイラつかせることに気づいて もう少し慎重にレスするようになれば このスレも少しは落ち着くと思うのだが http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/598
599: １３２人目の素数さん [] 2022/12/10(土) 21:58:56.58 ID:meH3MbbN >>598 ま、でも彼も一つだけいい事をしましたよ 方程式論で初歩的な誤りを書き散らかしたせいで 初歩的かつ肝心なトラップを仕掛けてくれる人が出てきて そのおかげで巡回多項式で重要なのは解の巡回関数と ラグランジュの分解式（リゾルベント）だって 私に気づかせてくれたことです ま、肝心の彼は未だに気づいてないみたいだけど いつか気づけるといいな（本心から） いやぁ古典って大事だな 現代的なことばっかりやってると 動機が分からなくなるんでね http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/599
600: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2022/12/10(土) 22:17:25.55 ID:898jbfXT >>573 補足 wikipediaに下記があるので貼るよ ・ラグランジュのリゾルベントでは、解かなければならない方程式は24次式となり5次よりはるかに悪化する ・1861年にアーサー・ケイリーが与えたリゾルベントの6次方程式を解くことに帰着する方法が存在し、こちらが優れている https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%94%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F 五次方程式（英語：quintic equation）とは、次数が5であるような代数方程式のこと。 限定的な代数的解法 一般式が代数的に解けないということは、上記に示したとおりであるが、特定の五次方程式がどのような場合に解けるかは分かっている。 ラグランジュが3次、4次で用いた手法をそのまま持ち込んだ場合、 x=(α1+ζα2+ζ^2α3+ζ^3α4+ζ^4α5)^5 (ただし ζ は1の原始5乗根) の置換を考察することになるが、この場合5次対称群の位数は120で、出現する式は5次巡回群の位数=5で割った24通りである。つまりその為に解かなければならない方程式は24次式となり5次よりはるかに悪化する。 そこでより位数の低い置換を与えるような式を考察する必要があるが、これは1861年にアーサー・ケイリーが与えたものが最良となる。 x=(α1α2+α2α3+α3α4+α4α5+α5α1-α1α3-α2α4-α3α5-α4α1-α5α2)^2 この場合出現する式は6通りであり、6次方程式を解くことに帰着する。もちろんこれを代数的に解くことは一般的状況では不可能であるが、根の平方が有理数になる場合に限り、実質的な次数が下がり、代数的に解ける。以下は3次、4次のラグランジュの解法同様にして元の方程式の根を得る。これが五次方程式が代数的に解ける必要十分条件である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/600
601: １３２人目の素数さん [sage] 2022/12/10(土) 23:22:51.43 ID:dZ9h00o/ >>594 >「”1の原始5乗根”の必要性 ＝不還元の話 だ」と諭してやった” 不還元の話って、実の根に対してべき根の中身が実数に出来るか？て話でしょ。 Q(ζ_5)は実2次体を含んでいる。 ”1の原始5乗根”の必要性とは違うと思う。 還元可能な場合だって、ガロア群を作用させるとζ_5が出て来るんだよ。 もしかして知らなかった？ この事実からしても「1の原始5乗根”の必要性 ≠不還元の話」だね。 1はテキストを斜め読みして、関係ありそうなことをピックアップするというアホなことやってるから、おかしな出力になる。 「不還元の話」は関係ありそうだと思って書いたんだろうが、本質に関わらない蛇足だね。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/601
602: １３２人目の素数さん [] 2022/12/10(土) 23:26:06.06 ID:sxpPJ6rb 整数（有理）係数の５次方程式が冪根拡大により解けるための必要十分条件は、 藤原松三郎の代数学の本にも出ている。係数から計算される楕円ｊの値が 有理数で特定のパターンの時にだけ解ける。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/602
603: １３２人目の素数さん [] 2022/12/11(日) 02:34:34.65 ID:lnOtbAAb 代数的に解ける５次方程式は、５次方程式界のエリートだよな ほとんどすべての５次方程式は、代数的には解けない平民 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/603
604: １３２人目の素数さん [] 2022/12/11(日) 02:49:48.14 ID:lnOtbAAb >>601 まったくごもっとも だいたいx^5-1って、既約じゃないじゃんｗ (x^5-1)=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1) だから４次方程式の根じゃん それ解くのに５乗根いる？ x^4+x^3+x^2+x+1のガロア群は位数４の巡回群で これは位数２の巡回群を正規部分群として持つ その剰余群も位数２の巡回群 だから平方根だけで解けちゃう ま、この事実だけなら高校生でも知ってる常識 一般に、x^n-1は既約じゃないし すくなくともx-1で割れるから 出てくるのは最大でもn-1次の方程式で そのガロア群は位数n-1の巡回群 しかもnが2以上の素数pなら p-1は2で割れるんで 最大で(p-1)/2乗根使えば解ける 7なら3乗根、11なら5乗根、･･･ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/604
605: １３２人目の素数さん [] 2022/12/11(日) 03:05:35.42 ID:lnOtbAAb 2p+1が素数の場合、 (x^(2p+1)-1)/(x-1) をx^pで割って (x+1/x)=t と置きなおして得られる p次方程式のガロア群は、位数pの巡回群 これ、根は全部実根 もちろん、ラグランジュのリゾルベントで解ける ああ、気持ちええ･･･ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/605
606: １３２人目の素数さん [sage] 2022/12/11(日) 07:51:46.98 ID:lnOtbAAb >>600 質問 「ラグランジュのリゾルベントで解けない方程式が ケイリーのリゾルベントで解けるんですか？ Yes の場合、具体的に方程式を示すこと」 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/606
607: １３２人目の素数さん [] 2022/12/11(日) 08:02:41.17 ID:8wm/VM70 体上で既約な５次方程式のガロア群として可解なものは、 位数が５のもの１０のもの２０のものだけでOKだっけ？ １５のものはなかったかな？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/607
608: １３２人目の素数さん [] 2022/12/11(日) 08:12:12.89 ID:lnOtbAAb >>607 位数20の群は位数5の巡回群と位数4の巡回群の半直積 で、位数4の巡回群の正規部分群は単位群と位数2の巡回群しかないから 位数5と位数10しかない、ということかと http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/608
609: １３２人目の素数さん [] 2022/12/11(日) 08:14:19.92 ID:lnOtbAAb >>607 まあ、単純に15は20の約数じゃないから 位数20の群の正規部分群にはならない っていうほうが簡単でしたね http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/609
610: １３２人目の素数さん [] 2022/12/11(日) 08:26:37.97 ID:lnOtbAAb >>601 ＞1はテキストを斜め読みして、 ＞関係ありそうなことをピックアップするから、 ＞おかしな出力になる。 根にζ5がなく、しかも根の代数演算でζ5が出てこないことも気づいてるようです しかしそこで「はいってませんね」と断定できず なんかしらんけど「不還元」という言葉で誤魔化して 「最小分解体には入ってないが、ガロア拡大体には入ってる（筈）」（キリッ） とかいっちゃう しかもあやふやなら質問として書けばいいのに、勢いで断言しちゃう アメリカとの戦争に突入した日本軍みたいな精神構造 それじゃ連戦連敗で敗北しますね http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/610
611: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2022/12/11(日) 08:28:30.19 ID:KrqrphNa >>606 再録 >>600 質問 「ラグランジュのリゾルベントで解けない方程式が ケイリーのリゾルベントで解けるんですか？ Yes の場合、具体的に方程式を示すこと」 (引用終り) １）ラグランジュのリゾルベントと、ケイリーのリゾルベントとは、原理的に同等 ２）ラグランジュのリゾルベントで解けない方程式は、ケイリーのリゾルベントでも解けない ３）但し、>>600に引用しているように、 目的によって、数あるリゾルベントでも向き不向きがあるってことです ４）方程式の可解性を説明するには（あるいは考えるには）、ラグランジュのリゾルベントが優れている しかし、五次方程式を具体的に考察するには、ケイリーのリゾルベントが向いているってことです http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/611
612: １３２人目の素数さん [] 2022/12/11(日) 08:31:42.65 ID:lnOtbAAb 根本的にわかってないな、と感じるのは、いつまでもしつこく 最小分解体Q(a1,a2,a3,a4,a5) と書いてる点 追加するのはたかだか２個でいいんですよ 位数５の巡回群に対応するものと、位数４もしくは２の巡回群に対応するもの わかってるなら、可解と条件つけてるのに、漫然と５個全部書いたりしない http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/612
613: １３２人目の素数さん [] 2022/12/11(日) 08:33:36.76 ID:lnOtbAAb >>611 ＞ラグランジュのリゾルベントと、ケイリーのリゾルベントとは、原理的に同等 ＞ラグランジュのリゾルベントで解けない方程式は、ケイリーのリゾルベントでも解けない でしょ？ じゃ意味ないっす （完） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/613
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