[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）11 (1002ﾚｽ)
上下前次1-新
このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索 歴削→次ｽﾚ 栞削→次ｽﾚ 過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ
573(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/10(土)15:45 ID:898jbfXT(11/15) AAS
>>568
>＞なお、･･･ラグランジェのリゾルベントでべき根拡大証明するのはありだが
>＞数学の証明は、複数の別証明がある場合が多いよ
> ラグランジュのリゾルベントが使えない状況でも、代数的に解けますか？
１）解けるよ
２）そもそも、なぜ根の置換が重要か？
それは、下記の定理 6.3による
（この定理と証明は、いろんな方程式論の本にある）
３）そして、下記「分解式を x1+ωx2+ ω^2x3 とおいたことは 天来の妙手としか言いようがないというこ
とになってしまうので これの由来を説明する」
省30
574(2): 2022/12/10(土)15:55 ID:dZ9h00o/(5/11) AAS
>つまり、既約で可解な5次方程式の最小分解体 Q(a1,a2,a3,a4,a5)には、方程式の係数から決まるある無理数a^(1/5)が含まれる
>>570
だから、それが間違ってるって最初から言ってるじゃん。
Q(a1,a2,a3,a4,a5)/Q がガロア拡大であり、かつa^(1/5)が含まれるなら
a^(1/5)の「共役」もすべて含まれなければならない。（ガロア拡大の定義から。）
これはQ(a1,a2,a3,a4,a5)が実の体であれば矛盾する。
したがって、a^(1/5)は「含まれない」
575(1): 2022/12/10(土)15:58 ID:meH3MbbN(21/35) AAS
>>570
さらに採点します
>Q2
>「５乗根の添加」によってつくられた解を添加した、
>元の方程式の最小分解体の中に、
>５乗根そのものは要素として含まれる？
>A2
（略）
>5つの根を (a1,a2,a3,a4,a5)とする
（略）
省25
576: 2022/12/10(土)16:03 ID:dZ9h00o/(6/11) AAS
1はa^(1/5)にガロア群がどう作用するかも分かってない？
σ(a^(1/5))=ζ_5の何とか乗×a^(1/5) のように作用する。
これが固有函数 exp(2πikx) と同じ性質なわけ。
577: 2022/12/10(土)16:07 ID:meH3MbbN(22/35) AAS
>>575
それにしても
「最小分解体は、体だから加減乗除の逆演算が可能で、
かつ任意の指数nのべき根についても、逆演算のn乗でべき根は外せる
だから、式f(a^(1/5)) に上記の逆演算を施すことで、
f(a^(1/5))→a^(1/5)を最小分解体内に得ることは可能」
は
「任意の正方行列に対して、その逆行列が存在する」
に匹敵する発言ですね
もし
省11
578: 2022/12/10(土)16:10 ID:meH3MbbN(23/35) AAS
>> ラグランジュのリゾルベントが使えない状況でも、代数的に解けますか？
> 解けるよ
これは誤りですね
「ラグランジュのリゾルベントを使わなくても」ではなく
「ラグランジュのリゾルベントが使えない状況でも」です
つまり、代数的に解け、かつ
ラグランジュのリゾルベントの式が成立しない場合があるか？
という質問です
そんな場合はあり得ませんよ
579: 2022/12/10(土)16:55 ID:meH3MbbN(24/35) AAS
ところで、４次方程式までなら代数的に解けるのであるから
そこから、逆に任意の（４次以下の）方程式の
「解の巡回関数」が求まることになる
2次方程式の場合（>>571の修正）
ax^2+bx+c の根の一つをαとする
このとき、
ax^2+bx+c
=a(x-α)(x-(-α+b/a))
と表せる
-(-α+(b/a))+b/a
省3
580(1): 2022/12/10(土)17:10 ID:meH3MbbN(25/35) AAS
まあ、
「いかなる体も加減乗除の逆演算が可能で、
かつ任意の指数nのべき根についても、
逆演算のn乗でべき根は外せる
だから、体Q上の式f(x) に上記の逆演算を施すことで、
f(x)→xを体Q内に得ることは可能」
なんて、ナイーブな誤りを先入見として持ち続けてる人に
ガロア理論は理解できるわけないですね
だって「」内は
「アーベル・ルフィニの定理は間違ってる！
省4
581: 2022/12/10(土)17:12 ID:meH3MbbN(26/35) AAS
>>580
「現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP」さんは
以下のように改名したほうがいいですね
「アーベルもガロアも間違ってる ◆yH25M02vWFhP」
582: 2022/12/10(土)17:17 ID:meH3MbbN(27/35) AAS
「アーベルもガロアも間違ってる」はいそうでいないタイプですね
「ゲーデルは間違ってる」はなにげにいますね
583: 2022/12/10(土)17:21 ID:meH3MbbN(28/35) AAS
ガロまに漢字をあててみた
「俄魯魔」
1こと「現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP」さんに差し上げます
「俄魯魔の集合A」
584: 2022/12/10(土)17:26 ID:meH3MbbN(29/35) AAS
俄魯魔の集合A 学位論文
いかなる体上のいかなる方程式も、その体上に根を持つ
「いかなる体も加減乗除の逆演算が可能
かつ任意の指数nのべき根についても、逆演算のn乗でべき根は外せる
だから、体上の式f(x) に上記の逆演算を施せば
f(x)→xを体内に得ることが可能である！」
複素数体だったら200年前に「あるドイツ人」が証明したんだけどねえ
「代数学の基本定理」っていうんですが
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%AE%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86
585: 2022/12/10(土)17:30 ID:meH3MbbN(30/35) AAS
それにしても、長年数学板にガロア理論のスレッドを立ててた人の動機が、まさか
「ガロア理論は間違ってる！
任意の体上の方程式はその体上に根をもつ！
しかも具体的に逆演算で求められる！」
だったなんて、驚き桃の木山椒の木ですわ・・・
586(2): 2022/12/10(土)18:13 ID:90JrxjIA(1) AAS
「体K上のいかなる方程式も、その体上に根を持つ」ならKは代数閉体であるが、
有理数体も実数体も代数閉体でないことくらい中学生でも分かる
実際 X^2+1 は実根を持たない
587: 2022/12/10(土)18:18 ID:meH3MbbN(31/35) AAS
>>586
まったく同感
ただ、>>571の以下の文章は
任意の体は代数的閉体だと読めちゃうんですよ
「(a1,a2,a3,a4,a5)たちは、a^(1/5)含んだ代数式（加減乗除とべき根）で表される
例えば、この式を ai＝f(a^(1/5)) とでもしましょう (ここに、iは1〜5のどれか)
最小分解体は、体だから加減乗除の逆演算が可能で、
かつ任意の指数nのべき根についても、逆演算のn乗でべき根は外せる
だから、式f(a^(1/5)) に上記の逆演算を施すことで、
f(a^(1/5))→a^(1/5)を最小分解体内に得ることは可能
省2
588: 2022/12/10(土)18:19 ID:meH3MbbN(32/35) AAS
>>586
まったく同感
ただ、>>570の以下の文章は
任意の体は代数的閉体だと読めちゃうんですよ
「(a1,a2,a3,a4,a5)たちは、a^(1/5)含んだ代数式（加減乗除とべき根）で表される
例えば、この式を ai＝f(a^(1/5)) とでもしましょう (ここに、iは1〜5のどれか)
最小分解体は、体だから加減乗除の逆演算が可能で、
かつ任意の指数nのべき根についても、逆演算のn乗でべき根は外せる
だから、式f(a^(1/5)) に上記の逆演算を施すことで、
f(a^(1/5))→a^(1/5)を最小分解体内に得ることは可能
省2
589(5): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/10(土)19:07 ID:898jbfXT(12/15) AAS
>>574
(引用開始)
>つまり、既約で可解な5次方程式の最小分解体 Q(a1,a2,a3,a4,a5)には、方程式の係数から決まるある無理数a^(1/5)が含まれる
>>570
だから、それが間違ってるって最初から言ってるじゃん。
Q(a1,a2,a3,a4,a5)/Q がガロア拡大であり、かつa^(1/5)が含まれるなら
a^(1/5)の「共役」もすべて含まれなければならない。（ガロア拡大の定義から。）
これはQ(a1,a2,a3,a4,a5)が実の体であれば矛盾する。
したがって、a^(1/5)は「含まれない」
(引用終り)
省23
590(1): 2022/12/10(土)19:30 ID:dZ9h00o/(7/11) AAS
>>589
>２）最小分解体分かってますか？
> ガロア拡大がなんですと？
> 混乱しているように見えるのは私だけかな？
>３）Q(a1,a2,a3,a4,a5)は、最小分解体でありましてガロア拡大ではないよね
標数0の場合「基礎体上のある方程式の根」をすべて添加したらガロア拡大になる。
最小分解体とは既約方程式が1次式の積に分解している最小の体だから、ガロア拡大。
そんなことも分からないバカ野郎ｗ
591: 2022/12/10(土)19:41 ID:dZ9h00o/(8/11) AAS
巡回方程式の根のべき根表示（フーリエ級数展開）
(1) ξ=a_0+a_1α+ … +a_{n-1}α^{n-1}
において、Q(ξ)の体にαが含まれるための必要十分条件は
Q(ξ)に1の原始n乗根ζ_nが含まれること。
それはラグランジュリゾルベントの計算を考えてみれば明らか。
逆に言えば、Q(ξ)にζ_nが含まれなければ
αはQ(ξ)には含まれない。それは表示式(1)と
まったく矛盾しない。
592: 2022/12/10(土)19:50 ID:dZ9h00o/(9/11) AAS
別の言い方をすると、巡回方程式の
根のべき根表示を得るにはクンマー拡大を経由する
基礎体にζ_nが含まれていなければ
少し大きい体を経由するする必要があるってこと。
上下前次1-新書関写板覧索設栞歴
あと 410 ﾚｽあります
ｽﾚ情報 赤ﾚｽ抽出 画像ﾚｽ抽出 歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ
ぬこの手 ぬこTOP 0.022s