[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）11 (1002ﾚｽ)
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533: 2022/12/10(土)07:38 ID:meH3MbbN(1/35) AAS
>>531
>現代の数学の証明ができていない命題も、実は今の公理の中からでは
>正しいという証明も、正しくないという証明も導けないのかもしれない。
決定不能命題、ってことですね
>たとえば、まだ知られていないなんらかの公理が見つかっておらず、
>それなしでは証明ができないのかもしれない。
また、その公理を否定する命題を公理とすることで
予想の否定が証明できるかもしれない
534: 2022/12/10(土)07:41 ID:meH3MbbN(2/35) AAS
>>532
選択公理がZFにおける決定不能命題であることが
強制法(forcing)によって証明された
ってことですよね
リーマン予想が数論における決定不能命題であると
強制法によって示せるかどうかは知りませんな
535(1): 2022/12/10(土)07:56 ID:meH3MbbN(3/35) AAS
ところで、このスレッドの名前を12から
「数学とその適用」に変更することを提案します
536(9): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/10(土)07:58 ID:898jbfXT(1/15) AAS
>>520
どうも
スレ主です
ご指摘ありがとう
確かに、皆さんにご指摘の通りで、「代数的に独立」という用語が、全く不適切でした
よって
>>450の書き直し下記
>>431 戻る
(引用開始)
１）>>391
省20
537: 2022/12/10(土)07:59 ID:meH3MbbN(4/35) AAS
純粋数学と応用数学があるのではなくて、数学というものがあって、
それを諸問題の解決へ適用する事例がある、という認識です
538(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/10(土)08:00 ID:898jbfXT(2/15) AAS
>>536 タイポ訂正
根α1,α2,α3,α4,α5 が、代数的に独立とする
↓
根α1,α2,α3,α4,α5 とする
539(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/10(土)08:01 ID:898jbfXT(3/15) AAS
>>535
自分でスレ立てな
540: 2022/12/10(土)08:12 ID:meH3MbbN(5/35) AAS
>>536
現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP さん
おはようございます
＞Q係数の既約5次方程式で重根を持たず、べき根で解けるものを取ったとする
＞根α1,α2,α3,α4,α5 が、代数的に独立とする
「Q係数の既約5次方程式で重根を持たず、べき根で解けるもの」から
「根α1,α2,α3,α4,α5 が、代数的に独立」がいえますか？
もし、独立と云えないなら
＞最小分解体の定義より、最小分解体は、
＞Qに根α1,α2,α3,α4,α5を添加してQ(α1,α2,α3,α4,α5)と書ける
省6
541: 2022/12/10(土)08:13 ID:meH3MbbN(6/35) AAS
>>539
スレッドを立てられないこともあり、提案させていただきました
542: 2022/12/10(土)08:24 ID:meH3MbbN(7/35) AAS
>>536
＞ζ_5が、最小拡大体に含まれないならば
＞ζ_5 not∈最小拡大体 だよね
ええ、トートロジーですから
＞（そしてそれが普通だが）
ええ、トートロジーですから
543: 2022/12/10(土)08:28 ID:meH3MbbN(8/35) AAS
>>536
＞{α1,α2,α3,α4,α5}たちが全て実根ならば、
＞ζ_5 not∈最小拡大体 だし
ええ、Qは全て実数だし、根が全て実数なら
それをQに追加した体の要素も全て実数です
一方、ζ_5は実数ではありませんから
ガロア理論以前のこととして、
高校生でも分かるかと思います
544: 2022/12/10(土)08:33 ID:meH3MbbN(9/35) AAS
>>536
＞{α1,α2,α3,α4,α5}に虚数根が含まれても、
＞ζ_5がそれら虚数根を含む最小分解体に含まれないならば
＞ζ_5 not∈最小分解体 であり
ええ、トートロジーですから
＞そのような場合こそ普通だろ
ええ、トートロジーですから
ところで、Q上の5次方程式f(x)のガロア群が位数5の巡回群の場合
・根は全て実根である
・最小分解体はQに根の1つαを追加したQ（α）である
省1
545(1): 2022/12/10(土)08:42 ID:meH3MbbN(10/35) AAS
>>536
１）~４）のうち
・１）、２）については
「Q係数の既約5次方程式で重根を持たず、べき根で解けるもの」と
「根α1,α2,α3,α4,α5 が、代数的に独立」が
両立することの証明がない
・３）および４）の後半は
「・・・に含まれないなら、not∈」
というトートロジーであり自明
・４）の前半は、実数の部分集合が、
省3
546: 2022/12/10(土)08:48 ID:d7i+9yuD(1/3) AAS
🍎algebra
Infinite addition of normal natural numbers
±1±2±3±4±5±6±･･････±∞≒±1/12⇔
0=0,
0=0/0,
0=±∞/0,
0=±0/±∞,
0=±∞/±∞
±1/12=±0,±∞±1/2,±1,±2,±3,±4±,5,±6,±7,±8,±9,±10,±11,±12
when
省4
547(2): 2022/12/10(土)09:06 ID:meH3MbbN(11/35) AAS
>>372
「x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0
はQ上可解な既約5次方程式」
>>392
「372の方程式の最小分解体にζ_5が含まれるか否か分かりますかね？」
>>545
＞何を問いたかったのか？ 意味が分からない
そもそも、371の質問とそれに対する381の回答の中身が分かってますか？
>>371
＞可解な既約5次方程式の代数解法には必ず5乗根が必要なことを示せ。
省13
548(1): 2022/12/10(土)09:06 ID:dZ9h00o/(1/11) AAS
>>536
>１）いま、簡単にQ係数の既約5次方程式で重根を持たず、べき根で解けるものを取ったとする
> 根α1,α2,α3,α4,α5 が、代数的に独立とする
「代数的に独立」の意味が分かってないね。
代数的関係があれば代数的に独立ではない。
特に代数的数同士は代数的に独立ではない。
超越数とか不定元なら、代数的に独立になる。
だから多分、「根たちが不定元だ」と言いたいのだろう。
しかしその場合、基礎体はQに方程式の係数（つまり根たちの基本対称式）
を添加しなければならない。
省5
549(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/10(土)09:16 ID:898jbfXT(4/15) AAS
>>521
(引用開始)
「代数的に解くというのは
ラグランジュのリゾルベントを反復適用する
ってこと」がわかってない
だからなんで可解性とかいう
「不可解」な定義が出てくんだ
と思っちゃう
ラグランジュのリゾルベントで解くしかない
と分かれば、ああ、何だ、それだけか、で終わりw
省18
550(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/10(土)09:17 ID:898jbfXT(5/15) AAS
>>549
つづき
Resolvent method
The resolvent method is just a systematic way to check groups one by one until only one group is possible. This does not mean that every group must be checked: every resolvent can cancel out many possible groups. For example, for degree five polynomials there is never need for a resolvent of D_{5}: resolvents for A_{5} and M_{20} give desired information.
(注：下記では、ラグランジュ・リゾルベントを上記の一般的なResolventに近い意味で使っている。また、代数的に解ける場合に限定している)
https://www.slideshare.net/junpeitsuji/ss-16134472
Jan. 23, 2013 Junpei Tsuji
可解性を説明できる代数的手法? 五次方程式の解法五次の交代群は単純群かつ巡回群でない⇔ ラグランジュ・リゾルベントは存在しない⇔ 解の公式は存在しない76; 77.
方程式が解くことができる仕組みを説明したガロア理論。
ガロア理論を使って、五次方程式が解けないことを示すまで、を初学者向けに説明することを試みます。
省12
551: 2022/12/10(土)09:22 ID:DV2XUKqW(1/3) AAS
>>550
以下の指摘に答えるべきなのは誰？
>１）いま、簡単にQ係数の既約5次方程式で重根を持たず、べき根で解けるものを取ったとする
> 根α1,α2,α3,α4,α5 が、代数的に独立とする
「代数的に独立」の意味が分かってないね。
代数的関係があれば代数的に独立ではない。
特に代数的数同士は代数的に独立ではない。
超越数とか不定元なら、代数的に独立になる。
552(1): 2022/12/10(土)09:24 ID:dZ9h00o/(2/11) AAS
>「代数的に解くというのは
> ラグランジュのリゾルベントを反復適用する
> ってこと」
これは完全に正しいよ。
1がなぜ数学が出来ないか？
自分の頭で考えないから。
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