[過去ﾛｸﾞ] 分からない問題はここに書いてね456 (1002ﾚｽ)
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945(1): 2019/10/27(日)11:06 ID:zUNwdL6l(1/3) AAS
>>940
なんか、>>941のロジックがよく分かんなかったので別解考えてみた。

k≧2で、関数f_k(x):=x^k-kx-1 はx=1で極小値-kもち、x>1で単調増加かつf(∞)=∞
なので、M(k)はx>1におけるf_k(x)=0の唯一の解であることが言える。

ここでまず、M(k)>1+1/kを示す。
　f_k(1+1/k)=(1+1/k)^k- k(1+1/k) -1 =Σ[i=2 to k]{C(k,i)(1/k)^i} -k
　において、C(k,i)(1/k)^i=k(k-1)…(k-i+1)/i!/k^i < 1 なので、Σ… < k-1 となり、
　f_k(1+1/k) < -1　ゆえに M(k) >1+1/k

これを利用して、M(k)がkとともに減少する単調数列であることが示せる
　f_k(M(k))=M(k)^k -kM(k) -1 =0 より、M(k)^k=kM(k) +1
省7

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951(2): 2019/10/27(日)19:15 ID:nRsaMl4S(2/3) AAS
>>940
M(k) は x>1 における
　x^(k-1) = k + 1/x
の唯一の実解だから　　　　>>945
　1 < M(k)^(k-1) = k + 1/M(k) < k+1,
　1 < M(k) < (k+1)^{1/(k-1)},
ところで
　log(k+1) < 2log(1+√k) ≦ 2√k,
　log(k+1)/(k-1) →　0　(k→∞)
より
省1

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