[過去ﾛｸﾞ] (･ω･)俺が日々の数学的発見を書くスレ (139ﾚｽ)
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4(1): ◆uxQt4Y4ywU 2019/06/17(月)20:28 ID:ejIHhnsR(1) AAS
[定理]
P(x)、Q(x)はdeg(P)>deg(Q)を満たすモニック多項式であり、P(x)=0は重解を持たないとする。
F:={ω∈C|P(ω)=0}とすれば、

∫(Q(x)/P(x))dx=Σ[ω∈F]Q(ω)log(x-ω)/P'(ω)

が成り立つ。

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8: ◆uxQt4Y4ywU 2019/06/17(月)21:16 ID:oxdTrNS+(2/2) AAS
>>4

(証明)
P(x)=Σ[ω∈F](x-ω)であるから、
P'(x)=Σ[ω∈F]Π[ω≠φ∈F](x-φ)
よって、各ω∈Fに対して
P'(ω)=Π[ω≠φ∈F](ω-φ)…(＊)
ここで、deg(P)>deg(Q)より、
各ω∈Fに対して定数A(ω)∈Cが存在して
Q(x)/P(x)=Q(x)/Π[ω∈F](x-ω)=Σ[ω∈F]A(ω)/(x-ω) (for∀x∈¬F)
となる。したがって、
省10

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