[過去ﾛｸﾞ] (･ω･)俺が日々の数学的発見を書くスレ (139ﾚｽ)
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8: ◆uxQt4Y4ywU 2019/06/17(月)21:16 ID:oxdTrNS+(2/2) AAS
>>4

(証明)
P(x)=Σ[ω∈F](x-ω)であるから、
P'(x)=Σ[ω∈F]Π[ω≠φ∈F](x-φ)
よって、各ω∈Fに対して
P'(ω)=Π[ω≠φ∈F](ω-φ)…(＊)
ここで、deg(P)>deg(Q)より、
各ω∈Fに対して定数A(ω)∈Cが存在して
Q(x)/P(x)=Q(x)/Π[ω∈F](x-ω)=Σ[ω∈F]A(ω)/(x-ω) (for∀x∈¬F)
となる。したがって、
Q(x)=Σ[ω∈F](A(ω)Π[ω≠φ∈F](x-φ)) (for∀x∈¬F)
であり、各ω∈Fに対してx→ωの極限をとれば
Q(ω)=A(ω)Π[ω≠φ∈F](ω-φ)=A(ω)P'(ω) (∵(＊)より)
P(x)=0は重解を持たない事より、P'(ω)≠0であるから、
A(ω)=Q(ω)/P'(ω) となる。
以上から、
Q(x)/P(x)=Σ[ω∈F]Q(ω)/(P'(ω)(x-ω))
なので、
∫(Q(x)/P(x))dx=Σ[ω∈F]Q(ω)log(x-ω)/P'(ω)
である。//

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