[過去ﾛｸﾞ] (･ω･)俺が日々の数学的発見を書くスレ (139ﾚｽ)
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127: ◆uxQt4Y4ywU 2020/02/19(水)00:42 ID:z5ozU8LY(1/4) AAS
[定理](LTE,>>78と同様)
p∈ℙ︎,x∈ℤ︎,y∈ℤ︎,n∈ℕ︎とし、xのp進付値をv(x)のように書く。
v(x)=v(y)=0,v(x-y)≧1のとき、v(x^n-y^n)=v(x-y)+v(n)が成り立つ。

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128: ◆uxQt4Y4ywU 2020/02/19(水)01:16 ID:z5ozU8LY(2/4) AAS
訂正

p∈ℙ︎ → p∈ℙ︎(p≧3)

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129: ◆uxQt4Y4ywU 2020/02/19(水)01:16 ID:z5ozU8LY(3/4) AAS
[証明2]
v(x-y)=a(≧1)とおくと、v(k)=0なるk∈ℤ︎を用いて
x=kp^a+yと表せる。このとき、二項定理から
x^n-y^n=Σ[i=1→n]nCi*(kp^a)^i*y^(n-i)=Σ[i=1→n]f(n,i)
である。ただし、f(n,i)=nCi*(kp^a)^i*y^(n-i)とした。
以下、v(f(n,i))=v(nCi)+aiである事に注意する。
[1]v(n)=0のとき
i≧2ならばv(f(n,i))=v(nCi)+ai≧2aであり、
i=1ならばv(f(n,i))=v(n)+a=aであるので、
v(x^n-y^n)=a=v(x-y)+v(n)となる。
省18

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130: ◆uxQt4Y4ywU 2020/02/19(水)01:18 ID:z5ozU8LY(4/4) AAS
久々の投稿になります
二項定理を使った証明を見たので書きました

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