[過去ﾛｸﾞ] (･ω･)俺が日々の数学的発見を書くスレ (139ﾚｽ)
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26: ◆uxQt4Y4ywU 2019/06/22(土)08:58 ID:ViY+4mff(1/3) AAS
[定理]
2019個の有理数a_1,…,a_2019が
「どの1つを取り除いても残りの2018個を和が
等しくなるように1009個ずつに二分できる」
ならばa_1,…,a_2019は全て等しい。
27: ◆uxQt4Y4ywU 2019/06/22(土)09:03 ID:ViY+4mff(2/3) AAS
[概説]
a_1~a_2019は整数だとしてよく、全ての偶奇は一致する。
これらに対し、2で割るか、±1を足して2で割る操作を繰り返すと
あるタイミングでa_1~a_2019の中に0が生じるが、
このときに0でないものが含まれていると
その後2で割る操作を続けた時に奇数が生じて
a_1~a_2019の偶奇が一致することに矛盾する。
28: ◆uxQt4Y4ywU 2019/06/22(土)09:05 ID:ViY+4mff(3/3) AAS
[証明]
有理数a_1,a_2,…,a_2019のことを{a}と書く。
2019個の数が
「どの1つを除いても残りの2018個の数を総和が等しくなるように1009個ずつに二分出来る」
という性質を持つとき、これを性質Pと呼ぶ事にする。
{a}が性質Pを持つとき、各々の有理数に等しい整数をかけて出来る有理数列も性質Pを持つ。
よって、以下では{a}は全て整数として良い。
{a}の総和をSとすると、{a}が性質Pを持つとき、S-a_i=(偶数) (for∀i)である。
よってa_iとSの偶奇は一致し(for∀i)、したがって{a}の各々の偶奇は一致する。…(＊)
ここで次の操作を考える。
省13
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