面白い問題おしえて～な 28問目

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158(2): 2018/11/10(土)06:03 ID:0LaPCkg7(3/6) AAS
>>152

n = (2^r) -1 のとき　a_n は 2n-1 で割り切れるらしい。

といっても平方因子じゃないが…

a_7 = 13^2,
a_15 = 5^2･29･269,

159(1): 2018/11/10(土)06:31 ID:EuCYu9xA(5/6) AAS
>>155
とりあえず代数的整数論つかえば n が奇数もクリアできた。
p ≡ 3、5 (mod 8)にとっておけば p^2 ≡ 9 (mod 16)なのでRの乗法群の位数は16で割り切れない。
とくに 1+√2 + pR がある数の8乗であれば1+√2 + pRの位数は奇数である。
よって方程式 x^8 - (1+√2) が R/pRで完全分解する素数pをとればよい。
そのような素数はチェボタレフ密度定理により無限にある。

160: 2018/11/10(土)06:33 ID:EuCYu9xA(6/6) AAS
かいたあとに気づく。orz。これも初等的にいける。けど、もういいや。これで。

161: 2018/11/10(土)06:36 ID:0LaPCkg7(4/6) AAS
>>158
　と思ったが、間違えたようだ。ｽﾏｿ

162: 2018/11/10(土)07:34 ID:0LaPCkg7(5/6) AAS
>>158
どうやれば平方因子が（無限に）出てくるか、という問題らしいけど、サパーリです。

163: 2018/11/10(土)11:22 ID:QJ6NJqU7(1) AAS
コインを１００回投げて表が連続した最大数が５のとき、
表がでる確率の期待値と最頻値および９５％信頼区間を求めよ。

164: 2018/11/10(土)12:31 ID:8Fs/tUZA(1) AAS
>>159
それは題意とは別のことの証明みたい
nを奇数に制限した時に数列 a_n に素因数が無限に出現することの証明　これもこれですごいんだけど

165(2): 2018/11/10(土)13:53 ID:mkbHRdk3(1) AAS
>>155
初等的に。
(1+√2)^n = a[n] + b[n]√2 (a[n],b[n]∈Z) として b[3・5^i] ≡ 0 (mod 5^(i+1))をしめす。
i=0のとき(1+√2)^3 = 7+5√2より成立。
i=kで成立するとしてi=k+1のとき
b[3・5^(i+1)] = 5a[3・5^i]^4 b[3・5^i] + 10a[3・5^i]^2 b[3・5^i]^3 + b[3・5^i]^5
だから成立。
これを用いて
rad b[3・5^i]/b[3・5^i] ≦ 1/5^i。

166(1): 2018/11/10(土)18:49 ID:zIdKF+X8(1) AAS
>>149
もうちょいおながいします。

167(2): 2018/11/10(土)19:05 ID:0LaPCkg7(6/6) AAS
>>150 >>165

n=3･5^i　のとき
　a_n = {(1+√2)^n - (1-√2)^n}/(2√2) ≡ 0,　　(mod 5^(i+1))
(略証)
iについての帰納法で
i=0、n=3 のとき
　a_3 = {(1+√2)^3 - (1-√2)^3}/(2√2) = 5 ≡ 0,　　(mod 5)

m で成立するとして n=5m のとき
a_{5m} / a_m = {(1+√2)^(5m) - (1-√2)^(5m)} / {(1+√2)^m - (1-√2)^m}
= {(1+√2)^(4m) + (1-√2)^(4m)} + (-1)^m･{(1+√2)^(2m) + (1-√2)^(2m)} +1
省11

169: 2018/11/11(日)00:03 ID:6OpEPnNJ(1/6) AAS
>>168
|S(3n)|≦nですか？
答え0と予想してるんですけど？
1/3?

170: 2018/11/11(日)00:17 ID:6OpEPnNJ(2/6) AAS
あ、いや、なるほど！わかったかも！
でも偶数項もなんとかせねば！

171: 2018/11/11(日)00:23 ID:6OpEPnNJ(3/6) AAS
気のせいだった。ムズイ

172(1): 2018/11/11(日)02:26 ID:sLf3laj9(1/2) AAS
>>167 のようにおくと

a_{5m} = 64(a_m)^5 + 40(-1)^m･(a_m)^3 + 5 a_m,

(略証)
mについての帰納法による。
m=1 のとき
　a_1 = 1，a_5 = 29 だから成立。

m 以下で成立すれば…
a_{m+1} - a_{m-1} = 2a_m = 2a,
a_{m+1}a_{m-1} = (a_m)^2 + (-1)^m = aa + (-1)^m,
から
省11

173(3): 2018/11/11(日)03:18 ID:/I0SuFdi(1) AAS
>>149
できたかも。
まず>>149を一般化して
S[3N] = S[2N] - S[N]
S[3N-1] = S[2N-1] - S[N]
S[3N+1] = S[2N+1] - S[N]
さらにT[N] = Σ[n≦2N, n:evev] a[n]とおいて
T[3N] = S[2N] - T[N]。
T[3N+1] = S[2N+1] - T[N]。
T[3N-1] = S[2N-1] - T[N]。
省10

174: 2018/11/11(日)04:37 ID:WkH7Bxld(1) AAS
>>173
あれ？なんかおかしい気がする。
ひとまず撤回。

175: 2018/11/11(日)04:40 ID:3J0JXQFX(1) AAS
今わかった。はっきりおかしい。orz。>>173無視してください。

176: 2018/11/11(日)05:41 ID:/oKi5paQ(1/18) AAS
>>26が一応できたけど、証明が長くなった。
もし模範解答が短いなら書くだけ損なので、あまり書きたくないｗ

177(8): 2018/11/11(日)05:44 ID:/oKi5paQ(2/18) AAS
>>79は2種類の証明ができて、lim_(n→∞) (1/n)Σ_(k=1,n)a_k＝0 が証明できた。
1つ目の方法は、正の実数xに対して S(x)＝Σ(1≦k≦x) a(2k－1) と置いてから、
>>149の類似品を作って、それを展開しまくってたくさんのS(x)の和にしたあとに、
その和を適当に区切ってからそれぞれ評価して、
limsup_x S(x)/x と liminf_x S(x)/x を考える方法。
簡単だけど計算がごちゃごちゃしてて、8レスくらいになった。
計算ミスしてる可能性もある。

2つ目の方法は、>>149の類似品を使いながら、素数定理の簡単な証明
https://people.mpim-bonn.mpg.de/zagier/files/doi/10.2307/2975232/fulltext.pdf
と同じやり方を使う方法。実はこっちの方が先にできた。これは7レスくらい。

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