[過去ﾛｸﾞ] 面白い問題おしえて〜な 28問目 (1002ﾚｽ)
上下前次1-新

---

このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索 歴削→次ｽﾚ 栞削→次ｽﾚ 過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ

---

167(2): 2018/11/10(土)19:05 ID:0LaPCkg7(6/6) AAS
>>150 >>165

n=3･5^i　のとき
　a_n = {(1+√2)^n - (1-√2)^n}/(2√2) ≡ 0,　　(mod 5^(i+1))
(略証)
iについての帰納法で
i=0、n=3 のとき
　a_3 = {(1+√2)^3 - (1-√2)^3}/(2√2) = 5 ≡ 0,　　(mod 5)

m で成立するとして n=5m のとき
a_{5m} / a_m = {(1+√2)^(5m) - (1-√2)^(5m)} / {(1+√2)^m - (1-√2)^m}
= {(1+√2)^(4m) + (1-√2)^(4m)} + (-1)^m･{(1+√2)^(2m) + (1-√2)^(2m)} +1
= {64(a_m)^2 + 32(-1)^m}^2 +2} + (-1)^m･{8(a_m)^2 + 2(-1)^m} +1
= 64(a_m)^4 + 40(-1)^m･(a_m)^2 + 5
≡ 0　(mod 5),　　　　　(← a_m≡0)
だから n=5m でも成立。

ここで
(1+√2)^(2m) + (1-√2)^(2m) = {(1+√2)^m - (1-√2)^m}^2 + 2(-1)^m
　= 8(a_m)^2 + 2(-1)^m,
(1+√2)^(4m) + (1-√2)^(4m) = {(1+√2)^(2m) + (1-√2)^(2m)}^2 - 2
　= {8(a_m)^2 + 2(-1)^m}^2 - 2
　= 64(a_m)^2 + 32(-1)^m (a_m)^2 + 2,
を使った。

---

上下前次1-新書関写板覧索設栞歴

---

あと 835 ﾚｽあります
ｽﾚ情報 赤ﾚｽ抽出 画像ﾚｽ抽出 歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ

---

ぬこの手 ぬこTOP 0.025s