面白い問題おしえて～な二十二問目©2ch.net

[過去ﾛｸﾞ] 面白い問題おしえて～な二十二問目©2ch.net (1002ﾚｽ)
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468(1): 2017/02/17(金)15:03 ID:s0bDqDlG(1) AAS
http://wasmath.la.coocan.jp/zukei003.pdf

469: 2017/02/17(金)15:14 ID:Zg73YAMf(3/3) AAS
>>468
早稲田数学フォーラムか。
こんな感じで大学の数学の問題出してる所ないかな？

470: 2017/02/18(土)20:23 ID:Tm1kRKtn(1) AAS
F(n),f(n)は任意の整数nについて
F(0)=0, F(1)=1, F(n+2)=F(n+1)+F(n)
f(n+2)=f(n+1)+f(n)
を満たすとする。
このとき任意の整数a,b,cについて次の等式が成り立つことを示せ。
(-1)^c*F(b-c)f(a)+(-1)^a*F(c-a)f(b)+(-1)^b*F(a-b)f(c)=0

471(1): 2017/02/20(月)03:01 ID:grpQwgY9(1) AAS
P(x)を定数でない整数係数多項式とする.
以下の条件(i),(ii)をともに満たすような正の整数からなる無限列a[1],a[2],...が存在することを示せ.
(i)任意の正の整数kに対して,P(a[k])はP(a[k+1])を割り切る.
(ii)任意の正の整数kに対して,P(a[k+1])の素因数であって,P(a[k])を割り切らないものがある.

472: 2017/02/20(月)08:32 ID:/LLKJtXC(1) AAS
(1)縦a横bの長方形に含まれる正三角形の最大面積Sを求めよ

(2)縦a横b高さcの直方体に含まれる正四面体の最大体積Vを求めよ

473(1): 2017/02/20(月)13:16 ID:OhprNLqj(1/2) AAS
>>471
P(x)の最高次の係数を正としてよい。
x>M で P(x)が単調増加になるような実数Mを１つ定める。

a[1]>M かつ P(a[1])>1 を満たすように a[1] をとり、漸化式
a[n+1] = a[n] + P(a[n])^2
により数列 {a[n]} を定めると、
P(a[n+1]) ≡ P(a[n]) (mod P(a[n])^2)
より、
P(a[n+1]) = P(a[n])×(kP(a[n])+1) (ただしkはある正の整数)
となるので、数列{a[n]}は(i),(ii)のどちらも満たす。

474: 2017/02/20(月)13:33 ID:OhprNLqj(2/2) AAS
>>473
補足
下から二行目のkの値はnに依ります。k[n]と書いた方が正確だったかも

このkが何故正になるかというと、
a[n+1] > a[n] ≧ a[1] > M より、
P(a[n+1]) > P(a[n]) が成り立つため。

475: 2017/02/21(火)13:15 ID:B0gbFN6O(1) AAS
>>426
7^2+13^2<11^2+11^2.

476: 2017/02/21(火)15:48 ID:qz+hocIh(1/2) AAS
なるほど、n-4,n,n+2 型の三つ子素数が中央に来る場合
2n^2-{(n-4)^2+(n+2)^2}=4(n-5)なので、当てはまらないですね。

p[k]^2+p[m-k]^2+p[m+1-k]^2+p[N+1-k]^2 , m=[N/2]
みたいな物を考えて、これが、kによらず 4*p[m]^2 以上みたいなものに変更すれば、
修正可能と思われる。

477: 2017/02/21(火)15:49 ID:qz+hocIh(2/2) AAS
×　p[k]^2+p[m-k]^2+p[m+1-k]^2+p[N+1-k]^2 , m=[N/2]
○　p[k]^2+p[m-k]^2+p[m+1+k]^2+p[N+1-k]^2 , m=[N/2]

478: 2017/02/21(火)16:36 ID:bIJywvNL(1) AAS
収束を示すだけなら
p[k]^2 + p[2n-k]^2 ≧ p[n]^2
だけでも十分良い評価になりそうだけどもまあ

479(1): 2017/02/21(火)17:15 ID:KB5fHn+X(1) AAS
級数(n=1,∞)arctan(2/n^2)を求めよ

480(1): 2017/02/22(水)10:15 ID:2E2IYu5+(1) AAS
N
Σarctan(2/n^2) = arctan((N+1)(N-2)/N(N+3))
n=3

481: 2017/02/23(木)03:02 ID:KO1byttB(1/2) AAS
O(0,0),A_k(1,2k)とする
arctan[∠A_k O A_(k-1)]=arctan[2k]-arctan[2k-2]=arctan[{2k-(2k-2)}/{1+2k(2k-2)}]=arctan[2/(2k-1)^2]
従って、Σarctan[2/(2k-1)^2],{k=1 to n} = arctan[∠A_n O A_0] = arctan(2n) → π/2　(n→∞)

P_k(k+1,k)とする
arctan[∠P_k O P_(k-1)]=arctan[k/(k+1)]-arctan[(k-1)/k]
=arctan[{k/(k+1)-(k-1)/k}/{1+(k-1)/(k+1)}]=arctan[2/(2k)^2]
従って、Σarctan[2/(2k)^2],{k=1 to n} = arctan[∠P_n O P_0] = arctan(n/(n+1)) → π/4　(n→∞)

Σarctan[2/n^2],{n=1 to ∞} = Σ(arctan[2/(2k-1)^2]+arctan[2/(2k)^2]),{k=1 to ∞} = 3π/4

482: 2017/02/23(木)03:06 ID:KO1byttB(2/2) AAS
全面的に訂正
O(0,0),A_k(1,2k)とする
∠A_k O A_(k-1)=arctan[2k]-arctan[2k-2]=arctan[{2k-(2k-2)}/{1+2k(2k-2)}]=arctan[2/(2k-1)^2]
従って、Σarctan[2/(2k-1)^2],{k=1 to n} = ∠A_n O A_0 = arctan(2n) → π/2　(n→∞)

P_k(k+1,k)とする
∠P_k O P_(k-1)=arctan[k/(k+1)]-arctan[(k-1)/k]
=arctan[{k/(k+1)-(k-1)/k}/{1+(k-1)/(k+1)}]=arctan[2/(2k)^2]
従って、Σarctan[2/(2k)^2],{k=1 to n} = ∠P_n O P_0 = arctan(n/(n+1)) → π/4　(n→∞)

483: 学術　ディジタル　アーカイヴ＠院 2017/02/23(木)08:02 ID:j0BF09nE(1) AAS
よろしい。

484: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/02/24(金)08:24 ID:gVF+4Lq5(1/20) AAS
￥

485: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/02/24(金)08:24 ID:gVF+4Lq5(2/20) AAS
￥

486: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/02/24(金)08:25 ID:gVF+4Lq5(3/20) AAS
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487: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/02/24(金)08:25 ID:gVF+4Lq5(4/20) AAS
￥

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