[過去ﾛｸﾞ] 面白い問題おしえて〜な 二十二問目©2ch.net (1002ﾚｽ)
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448(1): 2017/02/16(木)00:12 ID:Bh8rsZ5e(2/3) AAS
あとは、連続した6個から4個を選ぶ方法が
○○×○○×
○○××○○
○×○○×○
×○○×○○
しかないので、これらを××をはさんで組み合わせて条件を満たすのが
○○×○○× ×× ×○○×○○
しかなかった。
もっとスマートな探し方があるかどうかは知らん
449: 2017/02/16(木)00:27 ID:iZMF+ejw(1) AAS
(1..14).to_a.combination(8){|x|
print x if x.combination(3).all?{|y|y[1]-y[0]!=y[2]-y[1]}
}
450(1): 2017/02/16(木)01:41 ID:zf4Y0dPG(1) AAS
F(n)およびL(n)は任意の整数nについて
F(0)=0, F(1)=1, F(n+2)=F(n+1)+F(n)
L(0)=2, L(1)=1, L(n+2)=L(n+1)+L(n)
を満たすものとする。
にんいの整数m,nについてF(2mn)/L(m)は整数となることを示せ。
451(1): 2017/02/16(木)03:12 ID:Evel7Aab(1/3) AAS
>>450
加法公式
F(a+b）=｛F(a)L(b)+L(a)F(b)}/2
nについての帰納法により、
F(na）は F(a）の倍数。
F(2mn）は F(2m) の倍数
また、F(2m) = F(m)L(m),
>>433-434 の G(n) は L(n）と同じものです。
452(2): 2017/02/16(木)05:26 ID:Bh8rsZ5e(3/3) AAS
>>451
その加法公式を示すところも問題の一部のような気もしますが…。
任意の整数nについてA(n+2)=A(n+1)+A(n)を満たすとき
A(n)=(A(1)-A(0)/2)F(n)+(A(0)/2)L(n)
となることなどからいろいろやるとそこは導けましたが、
＞ nについての帰納法により、
＞ F(na）は F(a）の倍数。
のところが、加法公式の右辺が2で割られているせいでうまくできません。
そこはどうやって処理するのか教えていただけるとうれしいな。
453: 2017/02/16(木)06:42 ID:l1sppwSB(1) AAS
>>448
正解です。正直、等差数列系の問題はだいたいごり押しとか数の暴力からの鳩ノ巣が多い気がするので効率を求めたら負けって思ってしまう
454: 2017/02/16(木)07:36 ID:Evel7Aab(2/3) AAS
>>452
加法公式
F(a+b）= F(a)F(b±1) + F(a干1)F(b),
を使うと、2で割らないので、うまくできると思います。
F(a+b）= F(a+1)F(b+1）- F(a−1)F(b−1),
F(a+b+c）= F(a+1)F(b+1)F(c+1）+ F(a)F(b)F(c）− F(a−1)F(b−1)F(c−1),
もありますが。。。
>>431
積和公式
F(n+m)F(n-m）= F(n)^2 −(-1)^(m±n)･F(m)^2,
省2
455: 2017/02/16(木)08:03 ID:Evel7Aab(3/3) AAS
>>452
〔ド･モアブルの式〕
［L(na)＋F(na)√5]/2 =｛[L(a)＋F(a)√5]/2}^n,
(略証)
F(a）=［φ^a -(-1/φ)^a]/√5,
L(a）= φ^a + (-1/φ)^a,
∴［L(a)＋F(a)√5]/2 = φ^a,
456: 2017/02/16(木)09:13 ID:8NOvnpzP(1) AAS
https://youtu.be/2q-vGObpa4M
457(3): 2017/02/17(金)00:58 ID:rkFHAkU2(1) AAS
m,kは非負整数とする
(1)
8k+7は、3個の平方数の和として表せないことを示せ
逆は成り立たない（例えば28）
(2)
(4^m)(8k+7)は、3個の平方数の和として表せないことを示せ
逆も成り立つ（が証明は知らない）
458(1): 2017/02/17(金)05:35 ID:Zg73YAMf(1/3) AAS
>>457
俺がアホなのか？
「n=8k+7」 ⇒ 「nは3平方和で表せない」の逆は、 「nは3平方和で表せない」 ⇒ 「n=8k+7」じゃないのか？
28が逆が成り立たないことの反例になっていないと思うけど。
459: 2017/02/17(金)05:43 ID:/dYQQ04U(1) AAS
>>457
(1)
(4a)^2 = 16a^2≡0 （mod 8)
(4a±1)^2 = 8a(2a±1) + 1 ≡ 1 （mod 8)
(4a+2)^2 = 16a(a+1) +4 ≡ 4 （mod 8)
｛0,1,4｝から3個取ってたしても ≡7 にならない。
(2)
それが3個のへ平方数の和で表わせたと仮定すると、3個とも偶数。、
∴ その1/4もまた3個の平方数の和として表わせる。
これを繰り返すと結局、8k+7が3個の平方数の和として表わせ（1）と矛盾する。
460(1): 2017/02/17(金)05:44 ID:5HiKNyq4(1/2) AAS
>>458
うん。
28は３つの平方数の和として表せないにもかかわらず8k+7ではないので
ちゃんと反例になってますね。
461: 2017/02/17(金)06:10 ID:Zg73YAMf(2/3) AAS
>>460
ああそうだ。やはり私はアホだった。
462: 457 2017/02/17(金)09:40 ID:o+76y74I(1) AAS
問題の出典は『チャレンジ！ 整数の問題199』
463(1): 2017/02/17(金)11:29 ID:k+CdHeS2(1/2) AAS
一辺1の正方形に含まれる最大の正三角形は？
464: 2017/02/17(金)11:41 ID:jVaYJRUT(1) AAS
面白いか？
465: 2017/02/17(金)11:43 ID:k+CdHeS2(2/2) AAS
俺は面白いと思うぞ
466: 2017/02/17(金)11:58 ID:5HiKNyq4(2/2) AAS
n≧3において
(1)一辺1の正n+1角形に含まれる最大の正n角形の一辺は？
(2)一辺1の正n角形に含まれる最大の正n+1角形の一辺は？
せめてこのくらいで。答えは知らん
467: 2017/02/17(金)14:39 ID:8Q8ts49M(1) AAS
>>463
折角なのでほぼ数式だけで解いてみる。
座標平面上の三点(0,0)、(a,b)、((a+(√3)b)/2,(-(√3)a+b)/2) のうち、どの二点のx座標の差、y座標の差も絶対値が1以下であると仮定すると、
A=1-a^2
B=1-(((√3)a+b)/2)^2
C=1-((a+(√3)b)/2)^2
D=1-b^2
E=1-((-a+(√3)b)/2)^2
F=1-((-(√3)a+b)/2)^2
は全て0以上となる。よって、
省10
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