Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73 (944ﾚｽ)
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866(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 08/20(水)16:34 ID:n7uBTsIt(5/5)
つづき
Another example is the set of proper and bounded open intervals of real numbers with rational endpoints.
ZF+ACω suffices to prove that the union of countably many countable sets is countable. These statements are not equivalent: Cohen's First Model supplies an example where countable unions of countable sets are countable, but where ACω does not hold
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_dependent_choice
Axiom of dependent choice
In mathematics, the axiom of dependent choice, denoted by
DC, is a weak form of the axiom of choice (AC) that is still sufficient to develop much of real analysis. It was introduced by Paul Bernays in a 1942 article in reverse mathematics that explores which set-theoretic axioms are needed to develop analysis.[a]
Relation with other axioms
Unlike full AC, DC is insufficient to prove (given ZF) that there is a non-measurable set of real numbers, or that there is a set of real numbers without the property of Baire or without the perfect set property. This follows because the Solovay model satisfies ZF+DC, and every set of real numbers in this model is Lebesgue measurable, has the Baire property and has the perfect set property.
The axiom of dependent choice implies the axiom of countable choice and is strictly stronger.[4][5]
It is possible to generalize the axiom to produce transfinite sequences.
If these are allowed to be arbitrarily long, then it becomes equivalent to the full axiom of choice.
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%93%E5%B1%9E%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
従属選択公理(英語: axiom of dependent choice; DCと略される)
(引用終り)
１）いま、例示として 自然数N={0,1,2,・・}を取る
それを 素直に 整列させて 0,1,2,・・ とすれば 下記の順序数でいうところの列長さωになる
これは、可算選択公理 ACω で可能
ところが、もし 偶数を先に全部並べて後 奇数を並べると
0,2,4,・・・、1,3,5,・・・ となる。これは列長さω + ωであるから
可算選択公理では 一度には無理
（このように複雑な列構成の場合には 可算選択公理の列ω長さの能力を超える場合がありうる）
２）同じ理屈で 可算集合である有理数Qにおいて、Qから列長さω を生成することは可能だが
Qを任意順にすべて整列することはACωでは不可
３）フルパワー選択公理ならば、任意列長さを出力可能
冒頭のオチコボレさんの妄言は、無意味■
(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数（英: ordinal number）とは、整列集合同士の“長さ”を比較するために、自然数[1]を拡張させた概念である。
順序数の並び方を次のように図示することができる：
0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............, ω + ω
(引用終り)
以上
880: １３２人目の素数さん [] 08/21(木)00:26 ID:LISQrQEJ(1/14)
>>866
>１）いま、例示として 自然数N={0,1,2,・・}を取る
> それを 素直に 整列させて 0,1,2,・・ とすれば 下記の順序数でいうところの列長さωになる
> これは、可算選択公理 ACω で可能
> ところが、もし 偶数を先に全部並べて後 奇数を並べると
> 0,2,4,・・・、1,3,5,・・・ となる。これは列長さω + ωであるから
> 可算選択公理では 一度には無理
>（このように複雑な列構成の場合には 可算選択公理の列ω長さの能力を超える場合がありうる）
>２）同じ理屈で 可算集合である有理数Qにおいて、Qから列長さω を生成することは可能だが
> Qを任意順にすべて整列することはACωでは不可
まったくの妄言。
実際、>>872の通り初歩の初歩で間違っている。
>冒頭のオチコボレさんの妄言は、無意味■
いやそちらはまったく正しい。
実際、可算集合が整列可能なのは自明であって選択公理は要らない。
妄想野郎が妄想ワールドで妄想してるだけの話。間違ったものが正しく見え、正しいものが間違って見えている。
そんな妄想野郎が吐く妄言にはクソの価値も無い。
901(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 08/21(木)11:21 ID:7NN/U5QB(1/3)
>>872-882
ふっふ、ほっほ
>>866の補足をしておく
１）まず 下記の従属選択公理
全域二項関係 R を利用して
『列 (xn)n∈N を全ての n∈N に対して xnRxn+1 であるように取れる』としている
つまり、出来る列の長さは ω
２）次に Axiom of countable choice (可算選択公理)
"That is, given a function A with domain N (where N denotes the set of natural numbers) such that
A(n) is a non-empty set for every n∈N, there exists a function f with domain N such that f(n)∈A(n) for every n∈N."
この場合も 『 f(n)∈A(n) for every n∈N』で 出来る列の長さは ω だが、全域二項関係 Rは使えない
３）Axiom of dependent choice(en.wikipedia) にあるように
"It is possible to generalize the axiom to produce transfinite sequences. If these are allowed to be arbitrarily long, then it becomes equivalent to the full axiom of choice."
ってこと。ある意味 生成できる列が、各種選択公理の強さの尺度でもあるってことですね
(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%93%E5%B1%9E%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
従属選択公理(DC)とは、選択公理(AC)の弱い形で、しかし実解析の大部分を行うのに十分な公理である。これはパウル・ベルナイスによって1942年の、解析学を実行するのに必要な集合論的公理を検討する逆数学の論文で導入された
形式的な言明
まず、R on X 上の二項関係 R が全域関係であるとは、任意の a∈X, に対してある b∈X が存在して
aRb が成り立つことである
従属選択公理とは、次の言明である:
従属選択公理 ― 任意の空でない集合 X とその上の全域二項関係 R に対して、
列 (xn)n∈N を全ての n∈N に対して xnRxn+1 であるように取れる
実のところ、x0 は X の好きな元を選ぶことができる。(これを見るには、x0 から始められる
R の有限鎖全体を考え、その中に右が左の延長であるという二項関係を考えてそこに従属選択公理を適用すれば有限鎖の無限列ができるので、それの和を取ればよい)
上での集合
X を実数全体の集合に制限したものを DCR で表す
使用例
このような公理が無いとしても、各 n について普通の帰納法によって最初の n 項を有限列としてとることはできる。従属選択公理が主張しているのは、その極限であるような可算無限列が取れるということである
公理 DC はACの断片であって、超限帰納法の各ステップで選択をする必要があって、それまでの選択に独立した選択ができない場合に、可算長の列を構成するのに必要である
他の公理との関連
完全な ACと違って、DCは(ZFの下で) 実数の不可測集合やベールの性質を持たない集合や perfect set property を持たない集合の存在を証明するのに不十分である。これはソロヴェイモデルにおいては ZF+DCが成り立ちながら実数の集合が全てルベーグ可測でベールの性質を持ち perfect set property を持つからである
従属選択公理は可算選択公理を導き、それより真に強い公理である
従属選択公理の一般化としてさらに長い超限列の生成を認めるものを考えることができる
つづく
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