Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73 (787ﾚｽ)
上下前次 1-新
抽出解除ﾚｽ栞

ﾘﾛｰﾄﾞ規制です｡10分ほどで解除するので､他のﾌﾞﾗｳｻﾞへ避難してください｡

64(4): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 07/28(月)21:10 ID:DgNswCrs(1)
>>63
ゴキブリくんは、あたま悪いなｗ　；ｐ）

下記の
１）の ωa ＝ ∩a^、 a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)}、P (a) は a の「冪集合」、「x は無限集合である」という命題を M(x)
これと
２）の N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}、Aは無限公理により存在する集合を任意に選んだ

この二つは、ZF公理系では全く別物だよ
つまり、前者は冪集合公理 P(a)を適用しているが
後者は、冪集合公理を適用していない

繰り返すが
ZF公理系では両者は全く別物だよ

わかんねーだろうな
ゴキブリあたまじゃねｗ　；ｐ）

(参考)
１）
2chｽﾚ:math
https://ufcpp.net/study/math/set/natural/
Copyright Nobuyuki Iwanaga since 2000 ++C++; // 未確認飛行 C について
自然数
TOP [数学・物理] 数学 [集合論] 自然数
自然数の定義
まず、何でもいいので1つ無限集合 a を選びます。また、「x は無限集合である」という命題を M(x) とし、以下のような集合 a^ を作ります。
a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)}
P (a) は a の「冪集合」です。すなわち、a^ は a の部分集合のうち、無限集合になるようなもの全てを集めた集合です。
そして、a^ の全ての元の共通部分を取ります。
ωa ＝ ∩a^
証明は省きますが、このようにして得られた無限集合 ωa は、元の無限集合 a のとり方によらずただ1つに定まります。
略す

２）
2chｽﾚ:math
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
ペアノの公理
自然数の集合論的構成
N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}
ここでAは無限公理により存在する集合を任意に選んだものである

77(4): １３２人目の素数さん [] 07/29(火)22:28 ID:ggOSvtF9(6/7)
>>75
>・無制限な集合概念の拡大の公理による抑制の一つが、無限公理でありまた冪集合公理なのだ
はい、大間違いです。
内包公理の存在がラッセルのパラドックスの直接原因。抑制はもっぱら内包公理の排除による。
内包公理に代わる公理が分出公理。（なぜ分出公理はラッセルのパラドックスを起こさないか分かるかい？）
分出公理から導出できない対の公理、和集合の公理、べき集合の公理、無限公理が別に必要となった。（なぜこれらの公理の導出が内包公理からはでき、分出公理からはできないか分かるかい？）
さらに標準的なZFでは分出公理に代えて置換公理を採用する。その際置換公理から導出できない空集合の公理が別に必要となる。（なぜ空集合の公理の導出が分出公理からはでき、置換公理からはできないか分かるかい？）

>素朴集合論では自然数N＝{0,1,2,・・・}だが
意味不明。

>b)冪集合公理も同様。
意味不明。何がどう同様と？

>無制限の集合は認めない。が、冪集合公理を作って可算無限の冪集合で非可算を作ることは認めるのです
上記の通り。君は大局観が分かってない。

>３）つまりは、無限公理が無くば無限集合なく、また冪集合公理が無くば非可算無限もないのです
上記の通り。君は大局観が分かってない。

>この Terence Tao “big picture”（囲碁では大局観）が
>分らないオチコボレさんが居るのですねｗｗｗ；ｐ）
それが君。

それで君、∩は理解したのかい？　君が犯した無数の間違いが間違いであることは理解したのかい？　なんかしれっと話題変えてるけど

82(4): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 07/30(水)18:17 ID:2NlqhhKB(2/3)
>>77
>内包公理の存在がラッセルのパラドックスの直接原因。抑制はもっぱら内包公理の排除による

ふっふ、ほっほ
踏みつけたゴキブリが、まだ動いているなｗ　；ｐ）
下記の東北大尾畑研 ”2.3 ラッセルのパラドックス”を百回音読してねｗ（＾＾

(参考)
https://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/
東北大尾畑研
「集合・写像・数の体系　数学リテラシーとして」の草稿(pdf)
https://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_02.pdf
TAIKEI-BOOK : 2019/1/1(22:21)
第2章集合

P32
2.3 ラッセルのパラドックス
19世紀末から20世紀初頭にかけて数学は論理に帰着しうるという思想(論理主義)が盛んになった
その最初の論客はフレーゲであったフレーゲは論理主義の立場から自然数論と実数論を純粋に論理から組み立てようとして「算術の基本法則」(1893)を著した
広くは読まれなかったようであるがこの本を手にしたラッセルはフレーゲに書簡を送り後年ラッセルのパラドックスと呼ばれることになる矛盾を指摘した(1902年)

ラッセルは述語論理を用いて矛盾を指摘したがそれを集合の言葉に翻訳すると次のようになる
まず集合は次の2種類に分類できる
第I種自分自身をその元として含む X∈X
第II種自分自身をその元として含む X not∈X
第I種集合としては例えば「すべての集合の集合」「食べられないものの集合」「無生物の集合」などが考えられる
ここで第II種集合をすべて集めてでき
る集合をKとおこうつまり
K={X | X not∈X}
Kは第I種であるかあるいは第II種であるかのいずれかである
まずは第I種ではないなぜならば第I種であれば K ∈Kが成り立たねばならない
が集合Kの定義からこのようなKは集合Kの元にならないので K not∈K
となるこれはKを第I種であるとした初めの仮定に矛盾するならばKは
第II種集合だろうか Kが第II種集合であればその定義からK not∈K
この性質をもつ集合は集合Kの定義(2.9)によってにK属するからこの
性質をもつ集合は集合の定義によってに属するから K ∈K
略
ラッセルは「型理論」(1903)によってパラドックスを解消しその後ホワイトヘッドとの共著
「数学原理」(1910-1913 全3巻 2000ページに迫る大著によって高階述語論理上で全数学を
展開するという取組みを推進した
略
ラッセルのパラドックスは集合論の矛盾を突いているように見えるが
今日から見れば何が集合であり何が集合でないのかを設定し切れていなかったということである
厳密を旨とする現代数学では一群の公理系を設定して
それのみを用いて論理的に導き出された結果を集積することで
理論が構築される
集合論も例外ではなくパラドックス解消の努力の中で集合の定義(公理)が明確
化されて公理的集合論が構築された結局ラッセルのパラドックスを引き起こすは集合とは認めないこととなった
矛盾を引き起こした問題を先送りして根本的解決から逃げてしまったようにも見えるが
多くの人々の努力によって現代数学を展開する上で十分な自由度が確保された集合論が出来上がっている
なお集合の公理については第節で少し触れることにする

90(5): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 07/30(水)23:10 ID:mIho28o5(2/3)
>>88 追加
『ZFCは、あらゆる性質に対して、その性質を満たすすべてのものの集合が存在するとは仮定しません。むしろ、任意の集合Xが与えられたとき、一階述語論理を用いて定義可能なXの任意の部分集合が存在すると主張します。上記のラッセルのパラドックスによって定義された対象R は、任意の集合Xの部分集合として構成することができないため、ZFCでは集合ではありません』(下記)
ゴキブリさんは、これを百回音読しましょう！ｗ　；ｐ）

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Russell%27s_paradox
Russell's paradox
google訳
集合理論的応答
1908年、エルンスト・ツェルメロは、任意の集合理解を分離公理（Aussonderung ）などのより弱い存在公理に置き換えることで素朴集合論のパラドックスを回避する集合論の公理化を提案した。（パラドックスの回避はツェルメロの当初の意図ではなく、彼が整列定理を証明する際に用いた仮定を文書化するためであった。）[ 9 ]この公理理論は、1920年代にアブラハム・フランケル、トラルフ・スコーレム、そしてツェルメロ自身によって修正され、 ZFCと呼ばれる公理的集合論となった。ツェルメロの選択公理が論争を呼ぶことがなくなると、この理論は広く受け入れられるようになり、ZFCは現在まで標準的な公理的集合論であり続けている。

ZFCは、あらゆる性質に対して、その性質を満たすすべてのものの集合が存在するとは仮定しません。むしろ、任意の集合Xが与えられたとき、一階述語論理を用いて定義可能なXの任意の部分集合が存在すると主張します。上記のラッセルのパラドックスによって定義された対象R は、任意の集合Xの部分集合として構成することができないため、ZFCでは集合ではありません。ZFCのいくつかの拡張、特にフォン・ノイマン・ベルネイス・ゲーデル集合論では、Rのような対象は真クラスと呼ばれます。

ZFCでは、集合Aが与えられたとき、 Aに含まれる集合のうち、自身を要素としない集合だけからなる集合Bを定義することができます。ラッセルのパラドックスと同様の理由により、 B はAに含まれません。このラッセルのパラドックスのバリエーションは、すべての要素を含む集合は存在しないことを示しています。

ツェルメロら、特にジョン・フォン・ノイマンの研究によって、ZFCによって記述される「自然な」対象とみなされるものの構造が最終的に明らかになった。それは、空集合からべき乗集合演算を無限に反復することで構築されたフォン・ノイマン宇宙 V の要素である。こうして、ラッセルのパラドックスに抵触することなく、非公理的な方法で集合について推論することが再び可能になった。つまり、Vの要素について推論するのである。このように集合を考えることが適切かどうかは、数学哲学における対立する見解の間で論争の的となっている。

ラッセルのパラドックスに対する他の解決策としては、型理論に近い戦略に基づくクワインの新基礎理論やスコット＝ポッター集合論などが挙げられる。さらに別のアプローチとしては、二重拡張集合論のように、適切に修正された理解体系を用いて多重帰属関係を定義する方法がある

91(4): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 07/30(水)23:19 ID:mIho28o5(3/3)
>>90 補足
>『ZFCは、あらゆる性質に対して、その性質を満たすすべてのものの集合が存在するとは仮定しません。むしろ、任意の集合Xが与えられたとき、一階述語論理を用いて定義可能なXの任意の部分集合が存在すると主張します。上記のラッセルのパラドックスによって定義された対象R は、任意の集合Xの部分集合として構成することができないため、ZFCでは集合ではありません』

　これ>>82 尾畑研第2章集合
"ラッセルのパラドックスは集合論の矛盾を突いているように見えるが
今日から見れば何が集合であり何が集合でないのかを設定し切れていなかったということである
厳密を旨とする現代数学では一群の公理系を設定して
それのみを用いて論理的に導き出された結果を集積することで
理論が構築される
集合論も例外ではなくパラドックス解消の努力の中で集合の定義(公理)が明確
化されて公理的集合論が構築された結局ラッセルのパラドックスを引き起こすは集合とは認めないこととなった"
と同じ趣旨だ

要するに、パラドックスを起こさないように
『何が集合であり何が集合でないのかを（しっかり）設定』する
これが、ZFC公理集合論によるラッセルのパラドックスの克服法なのですんｍんｍ
勝手なワケワカの記号∩の使用ｗｗそれは”お呼びじゃない”ってことねｗｗｗ　；ｐ）

93(4): １３２人目の素数さん [] 07/31(木)02:00 ID:1CxagZxr(1/17)
>>90
>『ZFCは、あらゆる性質に対して、その性質を満たすすべてのものの集合が存在するとは仮定しません。
は
>抑制はもっぱら内包公理の排除による。(>>77)
のことを言っている。

>むしろ、任意の集合Xが与えられたとき、一階述語論理を用いて定義可能なXの任意の部分集合が存在すると主張します。
は
>内包公理に代わる公理が分出公理。(>>77)
のことを言っている。

>上記のラッセルのパラドックスによって定義された対象R は、任意の集合Xの部分集合として構成することができないため、ZFCでは集合ではありません』
が
>なぜ分出公理はラッセルのパラドックスを起こさないか分かるかい？(>>77)
の答え。

君、理解できる？　コピペしかできない君には無理かな？

>>91
>勝手なワケワカの記号∩の使用ｗｗそれは”お呼びじゃない”ってことねｗｗｗ　；ｐ）
ワケワカなのはもっぱら君が馬鹿だから。
実際、分出公理により任意の集合Xの共通部分∩X:={x∈A|∃A∈X∧∀y∈X:(x∈y)}が存在することが保証されている。

97(5): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 07/31(木)07:14 ID:ZOjwMpAx(1/6)
>>92
>>>90-91で引用されている内容って、>>77（の前半）と別に矛盾しないのでは。

ありがとう

矛盾はしないとしても
ポイントは、>>91 尾畑研第2章集合
"ラッセルのパラドックスは集合論の矛盾を突いているように見えるが
今日から見れば何が集合であり何が集合でないのかを設定し切れていなかったということである
厳密を旨とする現代数学では一群の公理系を設定して
それのみを用いて論理的に導き出された結果を集積することで
理論が構築される
集合論も例外ではなくパラドックス解消の努力の中で集合の定義(公理)が明確
化されて公理的集合論が構築された結局ラッセルのパラドックスを引き起こすは集合とは認めないこととなった"
ということ

この視点から >>64の
『１）の ωa ＝ ∩a^、 a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)}、P (a) は a の「冪集合」、「x は無限集合である」という命題を M(x)
これと
２）の N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}、Aは無限公理により存在する集合を任意に選んだ
この二つは、ZF公理系では全く別物だよ
つまり、前者は冪集合公理 P(a)を適用しているが
後者は、冪集合公理を適用していない』
を見ると

いまの場合 aもAもどちらも無限公理により存在する集合を任意に選んだのだが
公理的集合論の中では、適用する公理によって、作られる集合は当然異なるってことだね
繰り返すが、ここは重要ポイントです

さらに付言しておくが
ZFC公理系で最初に定義される無限集合の最小集合たる自然数の集合N=ωで
どういう公理を使って、N=ωが定義されるかを
明示的に示すことは、非常に重要なのです

無限公理 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86
「無限集合Iから自然数を抽出する」
では、無限集合Iから直接分出公理を使って Iの部分集合として
帰納的集合たる自然数のN={0,1,2,,・・・} を抽出する

また、ここ ja.wikipediaから、下記の英仏独のwikipediaを辿れる
英wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_infinity
仏wikipedia https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_de_l%27infini
独wikipedia https://de.wikipedia.org/wiki/Unendlichkeitsaxiom

いずれも、無限集合から直接分出公理を使ってその部分集合として
自然数の集合を抽出しています

さて、記号∩を使うことを、ZFC公理から批判すると
使っている公理を明示的に示すことにおいて、劣るということ
分出公理を使って直接部分集合として自然数の集合を抽出できるのに
わざわざ記号∩を使うの？なんかヘンですよね
しかも、唐突に∩。どの公理から従うかを明示せずに

104(10): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 07/31(木)11:05 ID:6G+cbRJY(2/6)
>>99-100
ふっふ、ほっほ
踏みつけたゴキブリが、まだ動いているなｗ　；ｐ）

>>公理的集合論の中では、適用する公理によって、作られる集合は当然異なるってことだね
>二つの集合が等しいための条件は外延性の公理で規定されているが

　>>97より
『１）の ωa ＝ ∩a^、 a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)}、P (a) は a の「冪集合」、「x は無限集合である」という命題を M(x)
これと
２）の N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}、Aは無限公理により存在する集合を任意に選んだ
この二つは、ZF公理系では全く別物だよ
つまり、前者は冪集合公理 P(a)を適用しているが
後者は、冪集合公理を適用していない』

これで
１）まず上記の前者１）で ”P (a) は a の「冪集合」”において
　aは無限公理から得られる任意の無限集合だが、いま簡単に可算無限としよう
　そうすると、冪集合P(a)は非可算で集合族のa^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)}も非可算の族になる
　（∵ M(x)が「x は無限集合である」から P(a)の有限集合でない集合族だが、有限集合の族は高々可算でしかないよね）
２）一方上記の前者２）で {x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}を集合族としてみると
　冪集合公理の適用がないから、上記１）のP(a)の何か部分族であることは間違いないが
　しかし、Aが可算無限として冪集合公理を適用しない場合、非可算の族になりえず、可算の族に留まるよ
３）従って、上記の１）と２）は、集合族の視点で前者は非可算、後者はせいぜい可算の族だ
　だから、集合積∩を作った時に、たまたま両者が等しくなるとしても
　それは要証明事項だよ
　”外延性の公理”？
　明らかに異なる集合族でその集合積∩が等しいということの証明に
　”外延性の公理”適用で終わりとは出来ません！ｗ；ｐ）■

105(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 07/31(木)11:33 ID:6G+cbRJY(3/6)
>>104 追加

それから
ZFC公理系で、下記 ”5. 和集合の公理”はあるが
一方、積集合∩ は公理ではない
よって、積集合∩については他の公理を使って
組み立てる必要がある
それお願いしますねｗｗ　；ｐ）

追伸
　>>97に示したように
"無限公理 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86
「無限集合Iから自然数を抽出する」
では、無限集合Iから直接分出公理を使って Iの部分集合として
帰納的集合たる自然数のN={0,1,2,,・・・} を抽出する"
となっているのに、なんぜわざわざ積集合∩を使うのかな？ｗ　；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%A1%E3%83%AD%EF%BC%9D%E3%83%95%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%B1%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
ツェルメロ＝フレンケル集合論
公理
5. 和集合の公理
→詳細は「和集合の公理」を参照

111(8): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 07/31(木)18:12 ID:6G+cbRJY(5/6)
>>107-110
ふっふ、ほっほ
踏みつけたゴキブリが、まだ動いているｗ　；ｐ）

>x ∈P(a) と x⊂a は全く同じですが何か？

公理的集合論において
集合族としてみたときに、両者は全く別物ですよ

素朴集合論の議論と、公理的集合論の議論との
区別が全くついていないねゴキブリさんはｗ　；ｐ）

あたかも
素朴集合論でペアノ公理 N：＝{0,1,2,・・・} と定義したとき
それは、公理的集合論においては無限集合として認められないが如し
公理的集合論においては
　N：＝{0,1,2,・・・} は、無限公理の部分集合を経由しないと
　それはあくまで上限の無い有限集合でしかない
　無限集合として N：＝{0,1,2,・・・} を得るためには
　>>105の ja.wikipedia 無限公理で一旦無限集合Iの存在を経由して
　無限集合Iの部分集合として N：＝{0,1,2,・・・} を抽出する
そうして、初めて N：＝{0,1,2,・・・} は、無限集合になります

同様に、べき集合公理でべき集合を作ってP(a)（aが可算無限ならP(a)は非可算無限）
そこから集合族 x ∈P(a) をつくったときと非可算の集合族ができるが

一方漫然とべき集合公理無しで x⊂a で集合族を作った時とでは
公理的集合論の中では、両者は異なるのです
∵べき集合公理無しで x⊂a から P(a)と同様に非可算無限族ができるならべき集合公理は不要！！！

>君が∩を理解しておらず字面で判断するから違うように見えるだけだって。

だから、記号∩は (和集合と違って) 公理ではありません！(>>105の通り）
記号∩、特に今回は”N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”>>104
を、ZFCの公理を使って、これが無限集合のN：＝{0,1,2,・・・} であることを示してねｗｗ；ｐ）
それが出来ないならば ZFCの公理の立場からはこの立式は認められない！！ｗｗｗ（＾＾

157(6): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 07/31(木)23:51 ID:ZOjwMpAx(6/6)
>>119
>{x⊂a|x=x}はaの部分集合全体の集合だから、P(a)と書かれてなくとも当然P(a)を使ってる。
>P(a)と書かれてないからP(a)を使ってないという考えが浅はか。

詭弁だな >>104より
１）の ωa ＝ ∩a^、 a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)}、P(a) は a の「冪集合」、「x は無限集合である」という命題を M(x)
２）の N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}、Aは無限公理により存在する集合を任意に選んだ

この二つの式で前者１）の a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)} は、冪集合 P(a)の殆ど全てを渡る集合族である
∵ aは無限公理の一つの無限集合を選んだもので、P(a)は非可算濃度以上で M(x)＝「x は無限集合である」だから
（つまり、 P(a)から有限集合を除いた集合族が a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)} （つまり P(a)の無限集合の部分））

一方、後者２）の {x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}は、冪集合公理 P(A) を使っていない（使うと言ってない）
だから、Aが無限公理の一つの無限集合を選んだものとして、Aが可算の場合に
集合族 {x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}は、非可算の集合族にはできません！
冪集合公理 P(A) を使わない限り、非可算の集合族にはできません！！ｗｗｗ

185(4): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 08/01(金)07:28 ID:3GStjv9j(3/5)
>>169-170
(引用開始)
>{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}は、冪集合公理 P(A) を使っていない（使うと言ってない）
はい、大間違いです。
使うと言ってないからといって使っていないことにはならない。且つZF上では使ってよい。
(引用終り)

ふっふ、ほっほ
君は、公理系の理解がサッパリだね
昔は、小学校のユークリッド幾何の公理で、公理系の考えを叩き込まれたものだった
君は、数学科１年の初日でオチコボレさんで、公理系の理解がサッパリくんで、昔の小学生以下だよ

一つの公理系の中で、使って良いのはそこで規定された公理のみ！
但し、規定された公理は、何回使ってもよい。無料でね！！ｗ　；ｐ）
但し、どの公理をどう使うかは、明示しなければならない！！！（下記公理 ja.wikipedia）
かつ、ZFC公理の中では、命題は集合の言葉で書かれるからどの公理を使ったかは自然に明記されるのです

『使うと言ってないからといって使っていないことにはならない。且つZF上では使ってよい』？
なんじゃそらｗｗ　；ｐ）
下記の公理 ja.wikipedia の全文を百回音読してねｗｗｗ　；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AC%E7%90%86
公理（英: axiom）は、その他の命題を導き出すための前提として導入される最も基本的な仮定のことである。
一つの形式体系における議論の前提として置かれる一連の公理の集まりを公理系（英語版） (axiomatic system) という[1] 。
ユークリッド原論などの古典的な数学観では、最も自明な前提を公理、それに準じて要請される前提を公準として区別していた。

226(4): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 08/02(土)11:26 ID:WzsFWnhL(2/11)
補足 >>157で
(引用開始)
>>104より
１）の ωa ＝ ∩a^、 a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)}、P(a) は a の「冪集合」、「x は無限集合である」という命題を M(x)
２）の N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}、Aは無限公理により存在する集合を任意に選んだ
この二つの式で前者１）の a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)} は、冪集合 P(a)の殆ど全てを渡る集合族である
∵ aは無限公理の一つの無限集合を選んだもので、P(a)は非可算濃度以上で M(x)＝「x は無限集合である」だから
（つまり、 P(a)から有限集合を除いた集合族が a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)} （つまり P(a)の無限集合の部分））
一方、後者２）の {x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}は、冪集合公理 P(A) を使っていない（使うと言ってない）
だから、Aが無限公理の一つの無限集合を選んだものとして、Aが可算の場合に
集合族 {x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}は、非可算の集合族にはできません！
冪集合公理 P(A) を使わない限り、非可算の集合族にはできません！！ｗｗｗ
(引用終り)

さて
１）上記の１）と２）の式は、記号∩を使っているところは同じだが
　∩につづく集合族が異なる
　上記を繰り返すが、１）の式は a の「冪集合」P(a)の無限集合部分をその族としている
　（既に述べたようにこれは非可算の族になる）
　一方、N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}の方も A(＝無限集合)の何かの部分集合から成る族だ
　だから、両者は異なる
２）簡単に下記順序数を使って説明する
　”すべての順序数は自分自身より小さな順序数全体の集合と等しい”から
　 S(S(S(ω)))＝{0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω),S(S(ω))}だ
　これは、無限集合なので a＝S(S(S(ω))) と取るよ
　すると、「冪集合」P(a)で、部分集合として
　ω={0, 1, 2, 3, ............}(つまりこれはNだが)が存在する
　ここで、命題 M(x)：＝「x は無限集合である」を、無限という言葉を使わずうまく定義できればOKだ
　問題は公理的集合論で ”無限”の定義をどうするか？
　ここで行き詰まる（良い知恵があれば、教えてね；ｐ）
３）一方、N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}の方では
　同様に A＝S(S(S(ω))) と取るとき
　{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]} が、帰納的な無限集合を意味するとして
　S(ω)とS(S(ω))の両方が適合するよね
　S(ω)⊂S(S(ω))なので（∵すべての順序数は自分自身より小さな順序数全体の集合と等しい）
　従って、積 S(ω)∩S(S(ω))＝S(ω)≠ω となるよね
　つまり、上記２）においては集合族 {x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}に
　必ず最小のωが含まれていなければならないが、その保証がない！（要証明）

まとめると、上記１）式は、命題 M(x)：＝「x は無限集合である」が集合公理で定義できれば
ωを含むので ωを出せる
上記１）式は、最小のωが含まれていることの集合公理を使った証明が必要だね

上記１）２）式とも、気持ちは分るが公理的な目からは不十分では？
その点、分出公理だけを使う無限公理のwikipedia の手法(>>220)は、スッキリで是認できる■ （＾＾

つづく

233(9): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 08/02(土)13:45 ID:WzsFWnhL(4/11)
>>230
(引用開始)
>>226
>{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]} が、帰納的な無限集合を意味するとして
>S(ω)とS(S(ω))の両方が適合するよね
だからしないと言ってるのに言葉が通じないの？　言語障害？
実際、ω∈S(ω) だが、S(ω)∈S(ω) なら正則性公理違反だから、S(ω)は後者関数に関して閉じてない、よって帰納的集合ではない。
(引用終り)

ふっふ、ほっほ
なるほどでは、

{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]} が、帰納的な無限集合を意味するとして
　↓
{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]} が、帰納的な無限集合ωを含む集合を意味するとして
に修正しようね

もっとも、式 {x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}は、>>226からの引用だが
それは、下記のja.wikipedia ペアノの公理「自然数の集合論的構成」と称する

だれが書いたか出典不明の記載でしかないのです
だから、私にもその真意は分らない、書いた人にしか分らないはずだ

ところが、ゴキブリくんは、この誰が書いたか分らない
いわば道端に落ちていた真意不明腐っているかも知れない式を必死に擁護するのが（なんかヘンですよねぇｗｗ）

式 {x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}に
見つけた中で一番近いのが下記の独 de.wikipedia Infinity axiom（無限公理）
の ”∃A:(∅∈A∧∀x:(x∈A⇒x∪{x}∈A))” だと思う

つまり前者の式は、後者の式の無限集合Aの部分集合を意図*)していると思うのだが
(注*)ある無限集合Aにおける帰納的の部分を含むなにか無限である部分を意図しているらしい)

ここで、問題は >>226の ω(=N)＝{0, 1, 2, 3, ............}が、きっちり導けるのかだがそれ大問題です
つまり、下記ペアノの公理の式 N:=∩ {x⊂A∣∅∈x∧∀ y [y∈x→y∪{y}∈x]} において

{x⊂A∣∅∈x∧∀ y [y∈x→y∪{y}∈x]} 自身は、おそらくは殆ど ω自身ではないはずだ
（なにか ω自身が存在してそれを特定できるならばそれをωとして定義すれば良いだけだから）

そこで ω自身を特定できない前提で、ワケ分らず集合積∩を作って
これぞ、自然数 Nです！　Nの定義ですってか？笑わせんなよおいｗｗ；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
ペアノの公理
自然数の集合論的構成
集合論における自然数の標準的な構成法としては
・N:=∩ {x⊂A∣∅∈x∧∀ y [y∈x→y∪{y}∈x]}
・0:=∅
・S(x):=x∪{x}
がある。ただしここでAは無限公理により存在する集合を任意に選んだものである

https://de.wikipedia.org/wiki/Unendlichkeitsaxiom
（google 独→日訳）
Infinity axiom
formulation
There are a infinity set
A, which is the empty set ∅ and with each element x∈A also the amount x∪{x} contains.
∃A:(∅∈A∧∀x:(x∈A⇒x∪{x}∈A))
The infinity axiom does not merely postulate, as the name might suggest, the existence of any infinite set.

265(3): １３２人目の素数さん [] 08/03(日)17:45 ID:2sRhWGI4(1/2)
（>>208より引用開始）
∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}
は、{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]を満たす
もっとも小さい集合となっている
理解すべきはこれだけ
{0,1,2,・・・} であることではない
（引用終了）

定義
　{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]を満たす集合xを帰納的集合と呼び、xが帰納的集合であることをφ(x)と書く。
　Aを任意の帰納的集合とする。
　N:=∩{x⊂A|φ(x)}

補題１
　帰納的集合の族の共通部分は帰納的集合である。
　∀X:((∀Y∈X:φ(Y))→φ(∩X))
証明
　Xを帰納的集合の族とする。
　Xの任意の元（帰納的集合）は{}を持つから∩Xも{}を持つ。
　∩Xがxを持つなら、Xの任意の元（帰納的集合）もxを、従ってx∪{x}を持つから、∩Xはx∪{x}を持つ。
　以上で∩Xは帰納的集合の定義を満たしていることが確認された。

系１−１
　Nは帰納的集合。
証明
　Nの定義と補題１による。

定理２
　Nは任意の帰納的集合に含まれる。
証明
　Nの任意の元nを持たない帰納的集合Bが存在すると仮定。
　C:=A∩BはBの部分集合だからnを持たず、またAの部分集合且つ補題１より帰納的集合だからC∈{x⊂A|φ(x)}
　Nの定義よりNはCの部分集合のはずだからnを持たないはずであり矛盾。
　よってNの任意の元nを持たない帰納的集合は存在しない、すなわち任意の帰納的集合はNの任意の元を持つ、すなわちNは任意の帰納的集合に含まれる。

系２−１
　N上の命題関数P(n)が下記条件をすべて満たすなら∀n∈N(P(n))
　・P({})
　・∀n∈N(P(n)→P(n∪{n}))
証明
　M:={n∈N|P(n)}と定義。M⊂N・・・?。
　条件より{}∈M∧∀n[n∈M→n∪{n}∈M]だからMは帰納的集合。よって定理２よりN⊂M・・・?
　?と?よりN=M、すなわち∀n∈N(P(n))。
　これを数学的帰納法と呼ぶ。

(N,{},S(n):=n∪{n})がペアノの公理の残りを満たすことは容易に示せるだろう。

271(7): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 08/03(日)23:30 ID:NbGdsnnL(3/4)
>>265
やれやれ
踏みつけたゴキブリが、まだ動いているね　；ｐ）

さて、私はド素人がこの5ｃｈ便所板に書き散らすバカ証明を読むのが嫌いなんだよ
というのは、ド素人が書き散らす証明は、きっとどこかで滑っているからなのだが
（つまり、ド素人が書き散らす証明を読むのは、赤ペン先生をするのと同義になるからねｗ；ｐ）

さて、ゴキブリくんの >>265 と下記の坪井明人筑波大の講義PDFとを
対比するのが分かり易い

<赤ペン先生>
１）まず、>>265では無限公理を謳っていないのがダメ
２）”{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]を満たす集合xを帰納的集合と呼び”がダメ
　（∵ZFC公理内では、帰納的集合を直接生成できない。下記の de.wikipedia ”Without the infinity axiom, ZF would only guarantee the existence of finite sets. No statements could be made about the existence of infinite sets. ”の通り）
３）後の記述は、ゴミだなｗ　；ｐ）
　なお、下記の坪井明人筑波大にあるように、坪井先生は記号∩を使わずに処理している（百回音読してねｗ）

(参考)
https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/
ロジックの部屋坪井明人筑波大
https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/und/14logic3.pdf
数理論理学ＩＩ坪井明人筑波大 (2014年)
目次
第 1 章公理的集合論の基礎 5
1.1 集合論の公理 . . . . . 5
1.1.9 無限公理 . . . . 8

Ｐ8
1.1.9 無限公理
集合 x に対して，x ∪ {x} を S(x) で表す．例えば，S(∅) = {∅}, S2(∅) =S(S(∅)) = {∅, {∅}} である．
S は，successor の頭文字で，次の元という意味を持たせている．
無限公理：
∃x(∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x)).
x は ∅（0 と思う）を含んでいて，y が x に属すれば，y の次の元 S(y) も x に属している．
そのような x が存在することを主張するのが無限公理である．
直観的には，自然数全体のような集合が存在することを意味する．
無限公理によって保証される集合は， ∅, S(∅), S2(∅), S3(∅), . . . をすべて元として含む集合である．
しかし余分な元を含んでいるかも知れない．そこで自然数全体の集合 ω を
{∅, S(∅), S2(∅), S3(∅), . . . }
として定義したい．
しかし「. . . 」の部分は直観的な説明としては容認できるが，
我々の立場では定義とは言い難い 1．
（注1：ω = {Sn(∅) : n ∈ N} とすると，「. . . 」を回避できているように見えるが，
　N 自体がまだ定義されていないので，これでは定義できていない．）
そこで ω を条件
∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x)
を満たす最小の集合 x として定義したい：無限公理によって保証される無限集合 X を一つ選び，
ω = {y ∈ X : ∀x(φ(x) → y ∈ x)}
とする．
ここで φ(x) は ∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x) である．
このようにすれば，ω は集合であり，φ(x) を満たす最小のものになる（もちろん X の取り方に依存しない）．

つづく

314(4): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 08/04(月)07:01 ID:IiqX04eZ(1/3)
>>296-301
踏みつけたゴキブリが、まだ動いているｗ　；ｐ）
グダラグダラと愚にもつかぬ言い訳を・・ｗｗ

１）>>271の数理論理学ＩＩ坪井明人筑波大 (2014年) https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/und/14logic3.pdf
　と対比してみれば、その誤りは一目瞭然だ
２）分かり易く院試の口頭試問で「ZFCで自然数Nの存在を証明してください」と言われたとしよう
　まず最初にやることは、無限公理のステートメントを述べることだ
　”無限公理：
　∃x(∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x)).
　x は ∅（0 と思う）を含んでいて，y が x に属すれば，y の次の元 S(y) も x に属している．
　そのような x が存在することを主張するのが無限公理である．”
３）　ここから、”しかし余分な元を含んでいるかも知れない．そこで自然数全体の集合 ω を
　{∅, S(∅), S2(∅), S3(∅), . . . }として定義したい．”
４）”そこで ω を条件
　∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x)
　を満たす最小の集合 x として定義したい：無限公理によって保証される無限集合 X を一つ選び，
　ω = {y ∈ X : ∀x(φ(x) → y ∈ x)}
　とする．
　ここで φ(x) は ∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x) である．
　このようにすれば，ω は集合であり，φ(x) を満たす最小のものになる（もちろん X の取り方に依存しない）．”
　QED

さて
禁句は、「自然数Nの存在は自明だから証明不要」だね（＾＾
採点側からは「カチンと来た。こいつダメ！（マイナス判定ｗ）」だろう

さらに、”無限公理”に触れないやつもダメ
ZFCでなぜ無限公理が置かれているのか理解できていないと判断される
（ZFCでは、無制限に集合を作ることは許されない。無限公理なしでは、無限集合ができない！）

もし、無限公理のステートメントをキチンと述べることができれば、それだけで部分点は貰えるだろう
無限公理のステートメントをスタートとして、ゴールは
”無限公理によって保証される無限集合 X を一つ選び，
　ω = {y ∈ X : ∀x(φ(x) → y ∈ x)}”（上記）だ
（これを述べる。また部分点が貰える）
あとは、スタートからゴールへの道筋を述べるべし（＾＾

331(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 08/04(月)12:05 ID:rSgE8B7A(5/12)
>>314 補足
(引用開始)
１）>>271の数理論理学ＩＩ坪井明人筑波大 (2014年) https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/und/14logic3.pdf
４）”そこで ω を条件
　∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x)
　を満たす最小の集合 x として定義したい：無限公理によって保証される無限集合 X を一つ選び，
　ω = {y ∈ X : ∀x(φ(x) → y ∈ x)}
　とする．
　ここで φ(x) は ∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x) である．
　このようにすれば，ω は集合であり，φ(x) を満たす最小のものになる（もちろん X の取り方に依存しない）．”
(引用終り)

この数理論理学ＩＩ坪井明人筑波大からの引用部分で

a)ω を条件　∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x)
　を満たす最小の集合 x として定義したい
b)無限公理によって保証される無限集合 X を一つ選び，
　ω = {y ∈ X : ∀x(φ(x) → y ∈ x)} 　とする．
　ここで φ(x) は ∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x) である．
　このようにすれば，ω は集合であり，φ(x) を満たす最小のものになる（もちろん X の取り方に依存しない）．

ωは、もちろん >>271より "自然数全体の集合 ω を {∅, S(∅), S2(∅), S3(∅), . . . }として定義したい"
ってことなのですが

前者a)では、ZFCでは ∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x) を直接集合として定義することを許さない
（ZFCでは、集合を作る方法を厳しく制限しているから。その制限によってラッセルパラドックスを防止するのです https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%83%E3%82%BB%E3%83%AB%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9 ）

後者b)では、一旦無限公理によって保証される無限集合 X を一つ選び ωは、その部分集合として取り出される
こういう一手間を入れることで、集合を作る方法を制限して出来る無限集合をコントロールしているってことですね

追記
後者b)で無限集合 X を記号Aに書き直すとより分かり易いだろう
つまり
”無限公理によって保証される無限集合 A を一つ選び，
　ω = {y ∈ A : ∀x(φ(x) → y ∈ x)} 　とする．
　ここで φ(x) は ∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x) である．
　このようにすれば，ω は集合であり，φ(x) を満たす最小のものになる（もちろん A の取り方に依存しない）．”
です。慣れれば、X のままでも分かるが、なれないと大文字Xと小文字x で目がチカチカしますよね　（＾＾

499(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 08/11(月)15:40 ID:f34iaqr/(4/7)
>>497-498
>well-definedではないZFCGを使うんだったら

ふっふ、ほっほ
妄想のお二人基礎論ど素人さんｗ

『well-definedではないZFCG』？
まず、下記の薄葉季路（早大理工） 2017春
最後から２枚目と最後とをみてちょ

21世紀のいまどきの基礎論宇宙の話が分かるから
分からない人は、薄葉季路先生に聞いてくださいね

基礎論ど素人さんが、妄想でグダグダ言ってもねｗ；ｐ）

そもそも下記のIUT IVの Bibliography [McLn] を否定するつもりかい？
ならば、論文かきなよ『[McLn]は間違いだぁー』ってよｗ　（＾＾

(参考)
https://www.mathsoc.jp/section/logic_and_history/Tokubetu.html
日本数学会
数学基礎論および歴史分科会特別講演
2017春(首都大東京) 薄葉季路（早大理工）集合論の宇宙 -UniverseとMultiverse- (企画特別)
https://www.mathsoc.jp/activity/video/2017spring/0324usuba.html
集合論の宇宙 —Universe と Multiverse— 薄葉季路 (早大理工) 2017年3月
https://youtu.be/WQzlEj1g71M?t=1

発表スライド『集合論の宇宙　Universe と Multiverse』
https://www.mathsoc.jp/meeting/kikaku/2017haru/2017_haru_usuba-p.pdf

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20IV.pdf
[4] Inter-universal Teichmuller Theory IV: Log-volume Computations and Set-theoretic Foundations. (2020-04-22)
P67
Section 3: Inter-universal Formalism: the Language of Species
We shall refer to such models as ZFC-models. Recall that a (Grothendieck) universe V is a set satisfying the following axioms [cf. [McLn], p. 194]:
略
We shall refer to a ZFC-model that also satisfies this additional axiom of the Grothendieck school as a ZFCG-model.

Bibliography
[McLn] S. MacLane, One Universe as a Foundation for Category Theory, Reports of the Midwest Category Seminar III, Lecture Notes in Mathematics 106, SpringerVerlag (1969).

520(4): １３２人目の素数さん [] 08/11(月)21:57 ID:MtMWibfm(13/18)
>>519
倒錯していてもこころが歪んでてもなんでもいいから早く実数の整列順序示してよ
イッチョマエの台詞はその後に吐いてね

上下前次 1-新書関写板覧索設栞歴

ｽﾚ情報赤ﾚｽ抽出画像ﾚｽ抽出歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ

ぬこの手ぬこTOP 0.048s