Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73 (712ﾚｽ)
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77(4): １３２人目の素数さん [] 07/29(火)22:28 ID:ggOSvtF9(6/7)
>>75
>・無制限な集合概念の拡大の公理による抑制の一つが、無限公理でありまた冪集合公理なのだ
はい、大間違いです。
内包公理の存在がラッセルのパラドックスの直接原因。抑制はもっぱら内包公理の排除による。
内包公理に代わる公理が分出公理。（なぜ分出公理はラッセルのパラドックスを起こさないか分かるかい？）
分出公理から導出できない対の公理、和集合の公理、べき集合の公理、無限公理が別に必要となった。（なぜこれらの公理の導出が内包公理からはでき、分出公理からはできないか分かるかい？）
さらに標準的なZFでは分出公理に代えて置換公理を採用する。その際置換公理から導出できない空集合の公理が別に必要となる。（なぜ空集合の公理の導出が分出公理からはでき、置換公理からはできないか分かるかい？）

>素朴集合論では自然数N＝{0,1,2,・・・}だが
意味不明。

>b)冪集合公理も同様。
意味不明。何がどう同様と？

>無制限の集合は認めない。が、冪集合公理を作って可算無限の冪集合で非可算を作ることは認めるのです
上記の通り。君は大局観が分かってない。

>３）つまりは、無限公理が無くば無限集合なく、また冪集合公理が無くば非可算無限もないのです
上記の通り。君は大局観が分かってない。

>この Terence Tao “big picture”（囲碁では大局観）が
>分らないオチコボレさんが居るのですねｗｗｗ；ｐ）
それが君。

それで君、∩は理解したのかい？　君が犯した無数の間違いが間違いであることは理解したのかい？　なんかしれっと話題変えてるけど

82(4): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 07/30(水)18:17 ID:2NlqhhKB(2/3)
>>77
>内包公理の存在がラッセルのパラドックスの直接原因。抑制はもっぱら内包公理の排除による

ふっふ、ほっほ
踏みつけたゴキブリが、まだ動いているなｗ　；ｐ）
下記の東北大尾畑研 ”2.3 ラッセルのパラドックス”を百回音読してねｗ（＾＾

(参考)
https://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/
東北大尾畑研
「集合・写像・数の体系　数学リテラシーとして」の草稿(pdf)
https://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_02.pdf
TAIKEI-BOOK : 2019/1/1(22:21)
第2章集合

P32
2.3 ラッセルのパラドックス
19世紀末から20世紀初頭にかけて数学は論理に帰着しうるという思想(論理主義)が盛んになった
その最初の論客はフレーゲであったフレーゲは論理主義の立場から自然数論と実数論を純粋に論理から組み立てようとして「算術の基本法則」(1893)を著した
広くは読まれなかったようであるがこの本を手にしたラッセルはフレーゲに書簡を送り後年ラッセルのパラドックスと呼ばれることになる矛盾を指摘した(1902年)

ラッセルは述語論理を用いて矛盾を指摘したがそれを集合の言葉に翻訳すると次のようになる
まず集合は次の2種類に分類できる
第I種自分自身をその元として含む X∈X
第II種自分自身をその元として含む X not∈X
第I種集合としては例えば「すべての集合の集合」「食べられないものの集合」「無生物の集合」などが考えられる
ここで第II種集合をすべて集めてでき
る集合をKとおこうつまり
K={X | X not∈X}
Kは第I種であるかあるいは第II種であるかのいずれかである
まずは第I種ではないなぜならば第I種であれば K ∈Kが成り立たねばならない
が集合Kの定義からこのようなKは集合Kの元にならないので K not∈K
となるこれはKを第I種であるとした初めの仮定に矛盾するならばKは
第II種集合だろうか Kが第II種集合であればその定義からK not∈K
この性質をもつ集合は集合Kの定義(2.9)によってにK属するからこの
性質をもつ集合は集合の定義によってに属するから K ∈K
略
ラッセルは「型理論」(1903)によってパラドックスを解消しその後ホワイトヘッドとの共著
「数学原理」(1910-1913 全3巻 2000ページに迫る大著によって高階述語論理上で全数学を
展開するという取組みを推進した
略
ラッセルのパラドックスは集合論の矛盾を突いているように見えるが
今日から見れば何が集合であり何が集合でないのかを設定し切れていなかったということである
厳密を旨とする現代数学では一群の公理系を設定して
それのみを用いて論理的に導き出された結果を集積することで
理論が構築される
集合論も例外ではなくパラドックス解消の努力の中で集合の定義(公理)が明確
化されて公理的集合論が構築された結局ラッセルのパラドックスを引き起こすは集合とは認めないこととなった
矛盾を引き起こした問題を先送りして根本的解決から逃げてしまったようにも見えるが
多くの人々の努力によって現代数学を展開する上で十分な自由度が確保された集合論が出来上がっている
なお集合の公理については第節で少し触れることにする

92(2): １３２人目の素数さん [] 07/31(木)01:14 ID:5sFbY+d9(1)
>>90-91で引用されている内容って、>>77（の前半）と別に矛盾しないのでは。

93(4): １３２人目の素数さん [] 07/31(木)02:00 ID:1CxagZxr(1/17)
>>90
>『ZFCは、あらゆる性質に対して、その性質を満たすすべてのものの集合が存在するとは仮定しません。
は
>抑制はもっぱら内包公理の排除による。(>>77)
のことを言っている。

>むしろ、任意の集合Xが与えられたとき、一階述語論理を用いて定義可能なXの任意の部分集合が存在すると主張します。
は
>内包公理に代わる公理が分出公理。(>>77)
のことを言っている。

>上記のラッセルのパラドックスによって定義された対象R は、任意の集合Xの部分集合として構成することができないため、ZFCでは集合ではありません』
が
>なぜ分出公理はラッセルのパラドックスを起こさないか分かるかい？(>>77)
の答え。

君、理解できる？　コピペしかできない君には無理かな？

>>91
>勝手なワケワカの記号∩の使用ｗｗそれは”お呼びじゃない”ってことねｗｗｗ　；ｐ）
ワケワカなのはもっぱら君が馬鹿だから。
実際、分出公理により任意の集合Xの共通部分∩X:={x∈A|∃A∈X∧∀y∈X:(x∈y)}が存在することが保証されている。

97(5): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 07/31(木)07:14 ID:ZOjwMpAx(1/6)
>>92
>>>90-91で引用されている内容って、>>77（の前半）と別に矛盾しないのでは。

ありがとう

矛盾はしないとしても
ポイントは、>>91 尾畑研第2章集合
"ラッセルのパラドックスは集合論の矛盾を突いているように見えるが
今日から見れば何が集合であり何が集合でないのかを設定し切れていなかったということである
厳密を旨とする現代数学では一群の公理系を設定して
それのみを用いて論理的に導き出された結果を集積することで
理論が構築される
集合論も例外ではなくパラドックス解消の努力の中で集合の定義(公理)が明確
化されて公理的集合論が構築された結局ラッセルのパラドックスを引き起こすは集合とは認めないこととなった"
ということ

この視点から >>64の
『１）の ωa ＝ ∩a^、 a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)}、P (a) は a の「冪集合」、「x は無限集合である」という命題を M(x)
これと
２）の N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}、Aは無限公理により存在する集合を任意に選んだ
この二つは、ZF公理系では全く別物だよ
つまり、前者は冪集合公理 P(a)を適用しているが
後者は、冪集合公理を適用していない』
を見ると

いまの場合 aもAもどちらも無限公理により存在する集合を任意に選んだのだが
公理的集合論の中では、適用する公理によって、作られる集合は当然異なるってことだね
繰り返すが、ここは重要ポイントです

さらに付言しておくが
ZFC公理系で最初に定義される無限集合の最小集合たる自然数の集合N=ωで
どういう公理を使って、N=ωが定義されるかを
明示的に示すことは、非常に重要なのです

無限公理 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86
「無限集合Iから自然数を抽出する」
では、無限集合Iから直接分出公理を使って Iの部分集合として
帰納的集合たる自然数のN={0,1,2,,・・・} を抽出する

また、ここ ja.wikipediaから、下記の英仏独のwikipediaを辿れる
英wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_infinity
仏wikipedia https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_de_l%27infini
独wikipedia https://de.wikipedia.org/wiki/Unendlichkeitsaxiom

いずれも、無限集合から直接分出公理を使ってその部分集合として
自然数の集合を抽出しています

さて、記号∩を使うことを、ZFC公理から批判すると
使っている公理を明示的に示すことにおいて、劣るということ
分出公理を使って直接部分集合として自然数の集合を抽出できるのに
わざわざ記号∩を使うの？なんかヘンですよね
しかも、唐突に∩。どの公理から従うかを明示せずに

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