Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73 (766ﾚｽ)
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454(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 08/10(日)09:34 ID:f12p+Q2v(1/12)
>>438 追加
さて、強制法でも宇宙が出てきます
図解があると分かり易い
それが、下記石井大海氏 Boole 値モデルと強制法pdfのP7
なお、下記 ”google AI による概要”も、ご参照

要するに、例えば連続体仮説が、ZFCから独立ということを証明したいときに
強制法を ZFCに適用することで、証明ができる
強制法とは、簡単には下記石井大海にあるように ZFCのノイマン宇宙Vを独立を証明したい命題のGを添加した新たな宇宙V[G]を作る手法
なので、出来る宇宙は Gによって異なる
だから、Grothendieck universe Uとは発想が全く異なる。多分出来上がる宇宙V[G]も Uからはみ出す

＜google検索：強制法図解＞
１）https://konn-san.com/
プロフィール konn-san.com 2011/04 早稲田大学基幹理工学部数学科配属
https://konn-san.com/math/boolean-valued-model-and-forcing.pdf
Boole 値モデルと強制法石井大海2022/06/11
概要
集合論における無矛盾性証明で用いられる主要な手法である強制法と，密接に関連するBoole値モデルの手法について，本稿では幾らか証明を省略しつつ概略を採り上げます．また，Hamkinsら [1]の説明に基づいて，超冪とBoole値モデルの関係についても簡単に解説します．
1 強制法の基本的な考え方とBoole値モデル
　直観的には，現在の集合の宇宙V に新しい元Gを付加した，新たな宇宙V[G]を得たい，というのが強制法のモチヴェーションです．
しかし，そうはいっても集合の全体は既にV で確定しているので，「新しい元」というのはそのままでは意味を成しません．
そこで，強制法では集合概念を拡張することを考えます．どういう事でしょうか？
まず，一般の集合x Vは，特性関数と同一視することで，部分関数x:V 2と見做すことが出来ます．
2というのは「各元がxに属すか？」という真偽値ですから，この真偽値を一般のBoole代数Bに一般化しようというというのが強制法の基本的なアイデアです．このように，所属関係の真偽値を完備Boole代数Bに一般化した集合のことを，B-nameと呼びます．
P7
以上から，VBをV[G]と同一視して，あたかもV 上のジェネリックフィルターGが取れているかのように考えても差し支えないということがわかります．
このような見方の下で，V とV[G]は，右図のような形をしています．
(注：図は引用できないので、各自PDFの原図を見てください)

つづく

458: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 08/10(日)10:23 ID:f12p+Q2v(4/12)
>>454 補足
さて、用語宇宙が、極めて混乱した状態であることを説明します
それが、下記の ja.wikipedia到達不能基数のグロタンディーク宇宙U
もう一つが、檜山正幸氏のグロタンディーク宇宙の二種類の説明

前者は、明らかにグロタンディーク宇宙U は、ZFCのノイマン宇宙Vより大きい
後者の檜山正幸氏のグロタンディーク宇宙二種類の説明は、SGAの1963年の論文がベース(多分)
望月IUTの”宇宙”も SGAの1963年の論文がベース(IUT論文では下記[McLn](1969)を引用している)

さて、グロタンディーク宇宙Uの意図は
下記”この公理系は、例えば全ての圏は適切な米田埋め込みを持つ”
など、圏論を展開するのに便利なのです

いまどきの基礎論屋さんは、グロタンディーク宇宙Uはノイマン宇宙Vより大きいと思う
どっこい、檜山正幸氏にあるように元のグロタンディーク氏の発想はもっと素朴で
Vではクラスになって不便だから Uの中でのクラスを集合にしようと
だから、VのクラスはUの中で Vのクラスより大きいのです

が、望月先生はそういう細かい基礎論の話(クラスうんぬん)は、気にしていないようです
実際、その話は「グロタンディーク宇宙U ありま〜す！」と宣言さえすれば、どうでもいい話です
でも、中途半端に 21世紀における"クラス"と"宇宙"を知っている読者は混乱させられるというオチです

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%B0%E9%81%94%E4%B8%8D%E8%83%BD%E5%9F%BA%E6%95%B0
到達不能基数
到達不能基数による真クラスの存在性
ZFCの下で、到達不能基数公理はグロタンディークとヴェルディエールのuniverse axiom「任意の集合 x に対して、x ∈ U となるグロタンディーク宇宙 U が存在する。」と同値である。
ZFCの公理に universe axiom (または同値な到達不能基数公理)を付け加えたものはZFCUと表される（これは ZFC に urelements を付け加えたものと混同しないように注意）。
この公理系は、例えば全ての圏は適切な米田埋め込みを持つということを証明するのに役立つ

つづく

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