Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73 (691ﾚｽ)
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185(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 08/01(金)07:28 ID:3GStjv9j(3/5)
>>169-170
(引用開始)
>{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}は、冪集合公理 P(A) を使っていない（使うと言ってない）
はい、大間違いです。
使うと言ってないからといって使っていないことにはならない。且つZF上では使ってよい。
(引用終り)
ふっふ、ほっほ
君は、公理系の理解がサッパリだね
昔は、小学校のユークリッド幾何の公理で、公理系の考えを叩き込まれたものだった
君は、数学科１年の初日でオチコボレさんで、公理系の理解がサッパリくんで、昔の小学生以下だよ
一つの公理系の中で、使って良いのは そこで規定された公理のみ！
但し、規定された公理は、何回使ってもよい。無料でね！！ｗ ；ｐ）
但し、どの公理を どう使うかは、明示しなければならない！！！（下記 公理 ja.wikipedia）
かつ、ZFC公理の中では、命題は 集合の言葉で書かれるから どの公理を使ったかは自然に明記されるのです
『使うと言ってないからといって使っていないことにはならない。且つZF上では使ってよい』？
なんじゃ そらｗｗ ；ｐ）
下記の 公理 ja.wikipedia の全文を 百回音読してねｗｗｗ ；ｐ）
(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AC%E7%90%86
公理（英: axiom）は、その他の命題を導き出すための前提として導入される最も基本的な仮定のことである。
一つの形式体系における議論の前提として置かれる一連の公理の集まりを公理系（英語版） (axiomatic system) という[1] 。
ユークリッド原論などの古典的な数学観では、最も自明な前提を公理、それに準じて要請される前提を公準として区別していた。
199(1): １３２人目の素数さん [] 08/01(金)08:22 ID:n2NtHms/(9/17)
>>185
>但し、どの公理を どう使うかは、明示しなければならない！！！（下記 公理 ja.wikipedia）
下記とやらに君の持論は一言も書かれてなくて草。
妄想はダメだよ。
206(1): １３２人目の素数さん [] 08/01(金)11:50 ID:NjAYNNPt(1)
「公理を使う」「公理を使うと言う（明示する）」の意味がよく分からないかな。
ある公理がなければ充足されない論理式を示してその充足を主張すれば、それは（暗黙的かもしれないけれど）公理を使っていることになるのでは。「ZFC公理の中では、命題は 集合の言葉で書かれるから どの公理を使ったかは自然に明記される」（>>185）というのは、そういう意味かと思っていたんだけど。
207: １３２人目の素数さん [] 08/01(金)14:15 ID:n2NtHms/(13/17)
>>185
>但し、どの公理を どう使うかは、明示しなければならない！！！（下記 公理 ja.wikipedia）
無限公理「空集合を要素とし、任意の要素 x に対して x ∪ {x} を要素に持つ集合が存在する」
与えられたxに対して{x}が存在するためには対の公理が必要なのに使うと明示してないから無限公理は間違いなんだね。知らなかった。
論文発表した方が良いよ。「ZF上に無限集合は存在しない。なぜなら無限公理は間違いだから。」と
209(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 08/01(金)15:48 ID:N5g2niEk(3/4)
>>206
>「公理を使う」「公理を使うと言う（明示する）」の意味がよく分からないかな。
>ある公理がなければ充足されない論理式を示してその充足を主張すれば、それは（暗黙的かもしれないけれど）公理を使っていることになるのでは。「ZFC公理の中では、命題は 集合の言葉で書かれるから どの公理を使ったかは自然に明記される」（>>185）というのは、そういう意味かと思っていたんだけど。
コメントありがとうございます。スレ主です
１）直接回答するまえに、ちょっと事例を考えよう
数学論文や教科書において
数学論文で査読があるとして、査読者が分かるように書く必要があるよね
そのときに、査読者及び想定読者が読んで分かる範囲で、どういう公理を使って
定理があって、結論の命題なり定理が出るか？
そのために、論理のスジを追うための使う公理の明示は必須です
（その専門分野では常識だとか、繰り返し適用される公理は 冒頭で断って 略すことはありとして）
教科書でも、想定される読者のレベルを考えて、丁寧な記述が求められる
雑に書くと、読者はついてこれない
２）これ以外に、インフォーマルな討論会の場や
市民講演になると、そのときどきで 例外はありうる
３）さて、いまのZFC公理系における 最初の無限集合たる自然数の集合Nについて
無限公理から どのように導かれるか？
これも、いろんな考えがあるとしても 一番丁寧なのは どの公理を使って
どのように 無限公理から 自然数の集合Nが導かれるかを 明示的に分かり易く示すことが大事
４）そもそも論に戻ると、下記の Natural number にあるように、古代エジプトの昔から 人類は
自然数を使ってきた。19世紀の終わりに カントールやデデキントが 素朴集合論を考えた
そこに、ラッセルのパラドックス。集合論を公理化して パラドックスを回避することになった
ラッセルのパラドックス は、無制限に集合概念を広げたからだという。よって、公理化で集合概念を制限すべし
５）自然数の無限集合Nは、実際 公理的集合論によって実現された。1920年代だから、いまから100年ほど前の話
下記の fr.wikipedia ペアノの公理 の記述が参考になるだろう
”集合N は、 0 が属し、かつ後続集合に関して閉じているすべての集合の共通集合である”とあります（結果としては）
また、”無限公理により、それらが集合を形成することを証明できます”とある
では、その具体的証明や いかに？
無限公理から 出来るだけすっきりと、使う ZFC公理を明示した形の証明が望ましいことには、同意頂けるだろう
６）下記の”後続集合に関して閉じているすべての集合の共通集合である”は正しいが
既に述べたように 多くの人は、無限公理集合から 分出公理で 集合Nを取り出しています
”共通集合”だから 記号∩を使う というのは、だれしも考えるかもしれないが・・
どっこい 記号∩は ZFCの直接の公理ではないのだ（和集合の公理はあれど）
だから、記号∩の使用を避ける方がスッキリでしょ
記号∩を使うならば、よほどしっかり論述しないといけないよねｗ ；ｐ）
つづく
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