Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73 (690ﾚｽ)
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104(10): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 07/31(木)11:05 ID:6G+cbRJY(2/6)
>>99-100
ふっふ、ほっほ
踏みつけたゴキブリが、まだ動いているなｗ ；ｐ）
>>公理的集合論の中では、適用する公理によって、作られる集合は 当然異なるってことだね
>二つの集合が等しいための条件は外延性の公理で規定されているが
>>97より
『１）の ωa ＝ ∩a^、 a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)}、P (a) は a の「冪集合」、「x は無限集合である」という命題を M(x)
これと
２）の N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}、Aは無限公理により存在する集合を任意に選んだ
この二つは、ZF公理系では 全く別物だよ
つまり、前者は 冪集合公理 P(a)を適用しているが
後者は、冪集合公理を適用していない』
これで
１）まず 上記の前者１）で ”P (a) は a の「冪集合」”において
aは 無限公理から得られる任意の無限集合だが、いま簡単に可算無限としよう
そうすると、冪集合P(a)は 非可算で 集合族のa^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)}も非可算の族になる
（∵ M(x)が 「x は無限集合である」から P(a)の有限集合でない集合族だが、有限集合の族は高々可算でしかないよね）
２）一方 上記の前者２）で {x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}を 集合族としてみると
冪集合公理の適用がないから、上記１）のP(a)の何か部分族であることは間違いないが
しかし、Aが可算無限として 冪集合公理を適用しない場合、非可算の族になりえず、可算の族に留まるよ
３）従って、上記の１）と２）は、集合族の視点で 前者は非可算、後者はせいぜい可算の族だ
だから、集合積∩を作った時に、たまたま両者が等しくなるとしても
それは 要証明事項だよ
”外延性の公理”？
明らかに異なる集合族で その集合積∩が等しいということの証明に
”外延性の公理”適用で終わり とは出来ません！ｗ ；ｐ）■
105(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 07/31(木)11:33 ID:6G+cbRJY(3/6)
>>104 追加
それから
ZFC公理系で、下記 ”5. 和集合の公理”はあるが
一方、積集合∩ は 公理ではない
よって、積集合∩については 他の公理を使って
組み立てる必要がある
それ お願いしますねｗｗ ；ｐ）
追伸
>>97に示したように
"無限公理 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86
「無限集合Iから自然数を抽出する」
では、無限集合Iから直接 分出公理を使って Iの部分集合として
帰納的集合たる 自然数のN={0,1,2,,・・・} を 抽出する"
となっているのに、なんぜわざわざ 積集合∩を使うのかな？ｗ ；ｐ）
(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%A1%E3%83%AD%EF%BC%9D%E3%83%95%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%B1%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
ツェルメロ＝フレンケル集合論
公理
5. 和集合の公理
→詳細は「和集合の公理」を参照
106: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 07/31(木)13:49 ID:6G+cbRJY(4/6)
>>104 タイポ訂正
２）一方 上記の前者２）で {x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}を 集合族としてみると
↓
２）一方 上記の後者２）で {x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}を 集合族としてみると
分かると思うが
107(1): １３２人目の素数さん [] 07/31(木)15:22 ID:A1owLB+z(1)
>>104
>１）ωa ＝ ∩a^、 a^ ＝ {x ∈P(a) | {}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}、P (a) は a の「冪集合」
>２）N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}、Aは無限公理により存在する集合を任意に選んだ
>1),2)は、ZF公理系では 全く別物
>前者は冪集合公理 P(a)を適用しているが
>後者は冪集合公理を適用していない
ん？
x ∈P(a) と x⊂a は全く同じですが何か？
x⊂aである集合xの全体が冪集合ですけど何か？
当然公理を適用してますけど
どうして適用してないとか嘘いっちゃう？
ゴキブリ ◆yH25M02vWFhP 君、参政党支持者？
108(2): １３２人目の素数さん [] 07/31(木)15:27 ID:1CxagZxr(7/17)
>>104
{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}
はP(A)の表記が無いだけで、表記すれば
{x∈P(A)|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}
となる。
もっぱら表記の違いだけなので、君の言いがかりは却下。
あと君、「無限集合」と言ってるけど、帰納的集合を指していることは分かってる？ 君が持ち出した引用元の書き方が紛らわしいのだが、まさか所謂無限集合を指してると思ってないよね？ それ誤読だよ
111(8): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 07/31(木)18:12 ID:6G+cbRJY(5/6)
>>107-110
ふっふ、ほっほ
踏みつけたゴキブリが、まだ動いているｗ ；ｐ）
>x ∈P(a) と x⊂a は全く同じですが何か？
公理的集合論において
集合族としてみたときに、両者は全く別物ですよ
素朴集合論の議論と、公理的集合論の議論との
区別が 全くついていないね ゴキブリさんはｗ ；ｐ）
あたかも
素朴集合論で ペアノ公理 N：＝{0,1,2,・・・} と定義したとき
それは、公理的集合論においては 無限集合として認められないが如し
公理的集合論においては
N：＝{0,1,2,・・・} は、無限公理の部分集合を経由しないと
それは あくまで 上限の無い 有限集合でしかない
無限集合として N：＝{0,1,2,・・・} を得るためには
>>105の ja.wikipedia 無限公理で 一旦 無限集合Iの存在を経由して
無限集合Iの部分集合として N：＝{0,1,2,・・・} を抽出する
そうして、初めて N：＝{0,1,2,・・・} は、無限集合になります
同様に、べき集合公理で べき集合を作ってP(a)（aが可算無限ならP(a)は非可算無限）
そこから 集合族 x ∈P(a) をつくったときと 非可算の集合族ができるが
一方 漫然と べき集合公理無しで x⊂a で 集合族を作った時と では
公理的集合論の中では、両者は異なるのです
∵べき集合公理無しで x⊂a から P(a)と同様に 非可算無限族ができるなら べき集合公理は不要！！！
>君が∩を理解しておらず字面で判断するから違うように見えるだけだって。
だ か ら、記号∩は (和集合と違って) 公理ではありません！(>>105の通り）
記号∩、特に今回は”N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”>>104
を、ZFCの公理を使って、これが 無限集合のN：＝{0,1,2,・・・} であることを示してねｗｗ ；ｐ）
それが 出来ないならば ZFCの公理の立場からは この立式は認められない！！ｗｗｗ （＾＾
121(2): １３２人目の素数さん [] 07/31(木)21:19 ID:1CxagZxr(11/17)
>>111
>だ か ら、記号∩は (和集合と違って) 公理ではありません！(>>105の通り）
誰が公理と言ったの？
>記号∩、
だから>>93で提示済みと何度言わせるの？ 君、言葉が分からないの？ 言語障害？ 病院行きなよ
>特に今回は”N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”>>104
>を、ZFCの公理を使って、これが 無限集合のN：＝{0,1,2,・・・} であることを示してねｗｗ ；ｐ）
なんとか先生のω=Nは証明済みだけど、それでは不十分と言いたいの？
155(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 07/31(木)23:49 ID:ZOjwMpAx(4/6)
>>141
ふっふ、ほっほ
踏みつけたゴキブリが、まだ動いているなｗ ；ｐ）
>∩は使っちゃダメ？ 分出公理を使っちゃダメと言ってる？ ZF上では使えるから言いがかりだよ
いいかな、公理的集合論において、記号∩ は 他の公理から組み立てられなくてはならない
そして >>121にも記したが
『特に今回は”N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”>>104
を、ZFCの公理を使って、これが 無限集合のN：＝{0,1,2,・・・} であることを示してねｗｗ ；ｐ）』
ってこと
公理的集合論なのだからね ；ｐ）
式 ”N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”>>104 は
純粋にZFCの公理のみ から導かれなければならない
それでなければ、”N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”は
ZFCの公理系では 認めることはできません！
さあ さあ さあ やってくださいね！！ｗｗｗ
157(6): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 07/31(木)23:51 ID:ZOjwMpAx(6/6)
>>119
>{x⊂a|x=x}はaの部分集合全体の集合だから、P(a)と書かれてなくとも当然P(a)を使ってる。
>P(a)と書かれてないからP(a)を使ってないという考えが浅はか。
詭弁だな >>104より
１）の ωa ＝ ∩a^、 a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)}、P(a) は a の「冪集合」、「x は無限集合である」という命題を M(x)
２）の N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}、Aは無限公理により存在する集合を任意に選んだ
この二つの式で 前者１）の a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)} は、冪集合 P(a)の殆ど全てを渡る集合族である
∵ aは無限公理の一つの無限集合を選んだもので、P(a)は 非可算濃度以上で M(x)＝「x は無限集合である」だから
（つまり、 P(a)から 有限集合を除いた 集合族が a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)} （つまり P(a)の無限集合の部分））
一方、後者２）の {x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}は、冪集合公理 P(A) を使っていない（使うと言ってない）
だから、Aが無限公理の一つの無限集合を選んだものとして、Aが可算の場合に
集合族 {x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}は、非可算の集合族にはできません！
冪集合公理 P(A) を使わない限り、非可算の集合族にはできません！！ｗｗｗ
160(1): １３２人目の素数さん [] 08/01(金)00:05 ID:n2NtHms/(1/17)
>>155
>いいかな、公理的集合論において、記号∩ は 他の公理から組み立てられなくてはならない
>そして >>121にも記したが
>『特に今回は”N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”>>104
> を、ZFCの公理を使って、これが 無限集合のN：＝{0,1,2,・・・} であることを示してねｗｗ ；ｐ）』
>ってこと
いいかな、全部回答済み。
君、言葉が通じないの？ 言語障害？ 病院行きなよ
>式 ”N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”>>104 は
>純粋にZFCの公理のみ から導かれなければならない
ZFCの公理ではない何を使ってると？ 言いがかりはやめようね、チンピラさん
226(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 08/02(土)11:26 ID:WzsFWnhL(2/11)
補足 >>157で
(引用開始)
>>104より
１）の ωa ＝ ∩a^、 a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)}、P(a) は a の「冪集合」、「x は無限集合である」という命題を M(x)
２）の N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}、Aは無限公理により存在する集合を任意に選んだ
この二つの式で 前者１）の a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)} は、冪集合 P(a)の殆ど全てを渡る集合族である
∵ aは無限公理の一つの無限集合を選んだもので、P(a)は 非可算濃度以上で M(x)＝「x は無限集合である」だから
（つまり、 P(a)から 有限集合を除いた 集合族が a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)} （つまり P(a)の無限集合の部分））
一方、後者２）の {x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}は、冪集合公理 P(A) を使っていない（使うと言ってない）
だから、Aが無限公理の一つの無限集合を選んだものとして、Aが可算の場合に
集合族 {x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}は、非可算の集合族にはできません！
冪集合公理 P(A) を使わない限り、非可算の集合族にはできません！！ｗｗｗ
(引用終り)
さて
１）上記の１）と２）の式は、記号∩を使っているところは同じだが
∩につづく集合族が異なる
上記を繰り返すが、１）の式は a の「冪集合」P(a)の無限集合部分をその族としている
（既に述べたように これは 非可算の族になる）
一方、N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}の方も A(＝無限集合)の何かの部分集合から成る族だ
だから、両者は異なる
２）簡単に下記 順序数を使って説明する
”すべての順序数は自分自身より小さな順序数全体の集合と等しい”から
S(S(S(ω)))＝{0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω),S(S(ω))}だ
これは、無限集合なので a＝S(S(S(ω))) と取るよ
すると、「冪集合」P(a)で、部分集合として
ω={0, 1, 2, 3, ............}(つまりこれはNだが)が 存在する
ここで、命題 M(x)：＝「x は無限集合である」を、無限という言葉を使わず うまく定義できればOKだ
問題は 公理的集合論で ”無限”の定義をどうするか？
ここで行き詰まる（良い知恵があれば、教えてね ；ｐ）
３）一方、N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}の方では
同様に A＝S(S(S(ω))) と取るとき
{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]} が、帰納的な無限集合を意味するとして
S(ω)とS(S(ω))の両方が 適合するよね
S(ω)⊂S(S(ω))なので（∵すべての順序数は自分自身より小さな順序数全体の集合と等しい）
従って、積 S(ω)∩S(S(ω))＝S(ω)≠ω となるよね
つまり、上記２）においては 集合族 {x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}に
必ず 最小のωが含まれていなければならないが、その保証がない！（要証明）
まとめると、上記１）式は、命題 M(x)：＝「x は無限集合である」 が 集合公理で定義できれば
ωを含むので ωを出せる
上記１）式は、最小のωが含まれていることの 集合公理を使った証明が必要だね
上記１）２）式とも、気持ちは分るが 公理的な目からは不十分では？
その点、分出公理だけを使う 無限公理のwikipedia の手法(>>220)は、スッキリで是認できる■ （＾＾
つづく
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