Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73 (975ﾚｽ)

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/

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901: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/08/21(木) 11:21:11.85 ID:7NN/U5QB >>872-882 ふっふ、ほっほ 　>>866の補足をしておく １）まず 下記の従属選択公理 　全域二項関係 R を利用して 　『列 (xn)n∈N を全ての n∈N に対して xnRxn+1 であるように取れる』としている 　つまり、出来る列の長さは ω ２）次に Axiom of countable choice (可算選択公理) 　"That is, given a function A with domain N (where N denotes the set of natural numbers) such that 　A(n) is a non-empty set for every n∈N, there exists a function f with domain N such that f(n)∈A(n) for every n∈N." 　この場合も 『 f(n)∈A(n) for every n∈N』で 出来る列の長さは ω だが、全域二項関係 Rは使えない ３）Axiom of dependent choice(en.wikipedia) にあるように "It is possible to generalize the axiom to produce transfinite sequences. If these are allowed to be arbitrarily long, then it becomes equivalent to the full axiom of choice." 　ってこと。ある意味 生成できる列が、各種選択公理の強さの尺度でもあるってことですね (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%93%E5%B1%9E%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86 従属選択公理(DC)とは、選択公理(AC)の弱い形で、しかし実解析の大部分を行うのに十分な公理である。これはパウル・ベルナイスによって1942年の、解析学を実行するのに必要な集合論的公理を検討する逆数学の論文で導入された 形式的な言明 まず、R on X 上の二項関係 R が全域関係であるとは、任意の a∈X, に対してある b∈X が存在して aRb が成り立つことである 従属選択公理とは、次の言明である: 従属選択公理 ― 任意の空でない集合 X とその上の全域二項関係 R に対して、 列 (xn)n∈N を全ての n∈N に対して xnRxn+1 であるように取れる 実のところ、x0 は X の好きな元を選ぶことができる。(これを見るには、x0 から始められる R の有限鎖全体を考え、その中に右が左の延長であるという二項関係を考えてそこに従属選択公理を適用すれば有限鎖の無限列ができるので、それの和を取ればよい) 上での集合 X を実数全体の集合に制限したものを DCR で表す 使用例 このような公理が無いとしても、各 n について普通の帰納法によって最初の n 項を有限列としてとることはできる。従属選択公理が主張しているのは、その極限であるような可算無限列が取れるということである 公理 DC はACの断片であって、超限帰納法の各ステップで選択をする必要があって、それまでの選択に独立した選択ができない場合に、可算長の列を構成するのに必要である 他の公理との関連 完全な ACと違って、DCは(ZFの下で) 実数の不可測集合やベールの性質を持たない集合や perfect set property を持たない集合の存在を証明するのに不十分である。これはソロヴェイモデルにおいては ZF+DCが成り立ちながら実数の集合が全てルベーグ可測でベールの性質を持ち perfect set property を持つからである 従属選択公理は可算選択公理を導き、それより真に強い公理である 従属選択公理の一般化としてさらに長い超限列の生成を認めるものを考えることができる つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/901

906: １３２人目の素数さん [] 2025/08/21(木) 13:17:29.91 ID:LISQrQEJ >>901 >２）次に Axiom of countable choice (可算選択公理) >　"That is, given a function A with domain N (where N denotes the set of natural numbers) such that >　A(n) is a non-empty set for every n∈N, there exists a function f with domain N such that f(n)∈A(n) for every n∈N." >　この場合も 『 f(n)∈A(n) for every n∈N』で 出来る列の長さは ω だが、全域二項関係 Rは使えない 任意の可算集合Xに対し全単射f:N→Xが存在するから自明な整列順序 f(0)<f(1)<・・・ が存在する。すなわちXは自明に整列集合。 YがXを含む（X⊂Ｙ）なら、写像g:Y→Yを以下で定義すれば、g(Y)はYの真部分集合（Y=g(Y)∪{f(0)}）で、全単射h:Y→g(Y),h(y)=g(y) が存在するからYはデデキント無限。 ・gのXへの制限g_X:X→Yをg_X(f(n))=f(n+1)で定義。g_Xは単射。 ・gのY-Xへの制限g_(Y-X):Y-X→Yをg_(Y-X)(y)=yで定義。g_(Y-X)は単射。 可算集合を含むという前提が無い一般の無限集合がデデキント無限であることを示すには可算選択公理が必要。それが https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_countable_choice の Example: infinite implies Dedekind-infinite であり、可算選択公理は{An|n∈N}の代表系である列(Bn)n∈Nを取るために使われている。 君、ちんぷんかんぷんでしょ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/906

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