Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73 (698ﾚｽ)
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663: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/14(木) 20:16:53.15 ID:2VGqjZuN

>>633
>無限回の繰り返しが完了するなら矛盾だから完了しない。完了しない繰り返しはwell-definedでない。

やれやれ、古代ギリシャの"無限"議論で 時計が止まっているよ 数学科オチコボレさんは
”ゼノンのパラドックス アキレスと亀”(下記)から進歩していないね
（当然ながら、古代ギリシャでは 無限についての理解は不十分だった）

ここは、中高一貫校生も来る可能性があるから ハッキリさせておくが
下記の 重川一郎 確率論基礎 P7 サイコロ投げの場合の確率空間を見てね
これは 京都大学での数学の講義だ
P6 ”σ集合体では加算個の演算が自由にできる”とあるよね
ここでの サイコロ投げは 当然可算無限回であって 下記の重川の定義は有限ではない！！
だって、京都大学だものｗｗ　；ｐ）
まあ、数学科オチコボレさんには これは理解できないよねｗ
（「箱入り無数目」スレでの トンチンカン振りをみれば それがよく分るｗｗ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BC%E3%83%8E%E3%83%B3%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9
ゼノンのパラドックス
アリストテレスが『自然学』の中で、ゼノンに対する反論として引用した議論が、比較的詳しいものであり、重要なものとして取り上げられてきた
アキレスと亀
スタート後、アキレスが地点Aに達した時には、亀はアキレスがそこに達するまでの時間分だけ先に進んでいる（地点B）。アキレスが今度は地点Bに達したときには、亀はまたその時間分だけ先へ進む（地点C）。同様にアキレスが地点Cの時には、亀はさらにその先にいることになる。この考えはいくらでも続けることができ、結果、いつまでたってもアキレスは亀に追いつけない。

https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~ichiro/index_j.html
重川一郎
講義ノート
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~ichiro/lectures/2013bpr.pdf
確率論基礎
重川一郎 平成26年8月11日
P6
確率空間
基本的にσ集合体では加算個の演算が自由にできる．確率論では可測空間に，確率を付加したものを考える．
Ｐ7
例1.1 サイコロ投げの場合確率空間として次のものを準備すればよい．
Ω＝{1,2,・・・,6}^N ∋ω＝(ω1,ω2,・・・)
ωnは、1,2,・・・,6のいずれかで，n回目に出た目を表す
これが実際にσ-加法的に拡張できることは明らかではないが，Kolmogorov
の拡張定理と呼ばれる定理により証明できる．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/663

675: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/16(土) 07:51:14.19 ID:psDSFTci

>>664-670
ここは、中高一貫校生が来る可能性があるので
書いておくが　；ｐ）

>>”σ集合体では加算個の演算が自由にできる”
>加算個は可算個の誤記として、

そこね >>663 確率論基礎 重川 P6からの転記だが
重川先生の誤記だね。教えてあげると 喜ぶだろう　（＾＾

さて、下記 確率の公理 にその答えの記述がある
百回音読してね
なお、『簡単な例：コイントス』があるよね
コイン投げの可算回も可！！！ｗｗｗ ；ｐ）
サイコロ投げも 同じだ

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A2%BA%E7%8E%87%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
確率の公理
コルモゴロフの公理は、1933年にアンドレイ・コルモゴロフが導入した、確率論の基礎となる公理である[1]
コルモゴロフによる公理系
略
公理5と6より、次の一般化加法定理（完全加法牲）が導かれる[7]。
一般化加法定理
集合列
{An}n∈N は、互いに素であり、
⋃n=1〜∞An∈Fならば、
P(⋃i=1〜∞Ai)=?i=1〜∞P(Ai).
一般化加法定理を満たす
P は、F が生成する完全加法族（σ-集合体）上の非負かつ完全加法的な集合関数に一意的に拡張可能である[8]。
簡単な例：コイントス
一回のコイントスを考え、コインが表 (H) または裏 (T) のいずれかで着地するものとする（両方は起きえない）。コインが公正であるかどうかに関して仮定はしない。
略
上記の通り、表の確率と裏の確率の合計は1である。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%85%A8%E5%8A%A0%E6%B3%95%E6%97%8F
完全加法族
完全加法族（英: completely additive class [of sets], completely additive family [of sets]）とは、主な用途として測度を定義することに十分な特定の性質を満たす集合の集合である。特に測度が定義される集合全体を集めた集合族は完全加法族になる。

可算加法族（英: countably additive class [of sets], countably additive family [of sets]）、(σ-)加法族（（シグマ）かほうぞく、英: σ-additive family [of sets]）、σ-集合代数（シグマしゅうごうだいすう、英: σ-algebra [of subsets over a set], σ-set algebra）、σ-集合体（シグマしゅうごうたい、英: σ-field [of sets]）[注 1]ともいう。

この概念は、解析学ではルベーグ積分に対する基礎付けとして重要であり、また確率論では確率の定義できる事象全体の成す族として解釈される。完全加法族を接頭辞「完全」を付けずに単に「加法族」と呼ぶことも多い（つまり、有限加法族の意味ならば接頭辞「有限」を省略しないのがふつう）ので注意が必要である[1]。

いくつかの等価な定義がある。
略
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/675

688: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/16(土) 14:15:00.08 ID:psDSFTci

>>683
>「σ集合体において可算個の演算が自由にできる」
>「演算」とは集合の合併∪と交叉∩を指す。
>「数学において無限回の操作の繰り返しは許されない」に対する反例としてσ集合体を持ち出すのはまったくトンチンカン。

ゴキブリくんは、そういう粗雑な頭だから 数学科のオチコボレさんなのだｗ
そもそも

１）例えば 下記 古代ギリシャのアキレスと亀においては、無限というものが 十分理解できていないから
　パラドックスに見えたが、現代数学の視点からは 幾通りかの数学的な解が可能
　その一つが、無限回の演算を認めることだ
　つまり、『アキレスが今度は地点Bに達したときには、亀はまたその時間分だけ先へ進む（地点C）』
　これを 無限回繰り返して良い と すれば パラドックスに見えたが その実”無限回の演算”について
　例えば 極限 として定義すれば 良いだけのこと（これは 21世紀では ほんの一つの解釈にすぎない）
２）つまりは、「数学において無限回の操作の繰り返しは許されない」は 古代ギリシャ時代の話だ
　これ対する反例は、21世紀 現代数学ではいくらでもある
　単に一つの反例が上記の 極限と解釈する方法だし
　あるいは、上記の「σ集合体において可算個の演算が自由にできる」の話だ
　測度論による確率で σ集合体を使うと 無限回のコイン投げやサイコロ投げの確率を扱える
　つまり、「数学において無限回の操作の繰り返しは許されない」の反例の一つだ
３）他にも いろいろあるが 例えば下記のオイラー積がある
　下記”ディリクレ級数を素数に関する総乗の形で表した無限積”
　左辺をディリクレ級数、右辺を無限積として もし ディリクレ級数が有限和であったり
　あるいは 無限積が有限で打ち切られたら？ 有限演算限定では 左辺＝右辺 の等号は不成立！■
　（なお、これが リーマン予想に直結することは ご存知の通り（下記小山））

(参考)>>663より
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BC%E3%83%8E%E3%83%B3%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9
ゼノンのパラドックス
アキレスと亀
スタート後、アキレスが地点Aに達した時には、亀はアキレスがそこに達するまでの時間分だけ先に進んでいる（地点B）。アキレスが今度は地点Bに達したときには、亀はまたその時間分だけ先へ進む（地点C）。同様にアキレスが地点Cの時には、亀はさらにその先にいることになる。この考えはいくらでも続けることができ、結果、いつまでたってもアキレスは亀に追いつけない

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%A9%8D
オイラー積（英: Euler product）はディリクレ級数を素数に関する総乗の形で表した無限積である。ディリクレ級数の一種のリーマンのゼータ関数についてこの無限積が成り立つことを証明した18世紀の数学者レオンハルト・オイラーの名前にちなむ

https://researchmap.jp/koyama/published_papers/16345243/attachment_file.pdf
深リーマン予想 researchmap 小山信也 2019 数理科学
— ちょうど当時，黒川氏も木村氏と独立に臨界領. 域内のオイラー積を研究しており，黒川氏は，そ. の予想を「深リーマン予想」と名付け，解説書 4). を著した

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/688

697: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/16(土) 20:35:18.54 ID:psDSFTci

>>691
>>例えば 下記 古代ギリシャのアキレスと亀においては、無限というものが 十分理解できていないから
>無限を理解できていないのは、無限回のサイコロ投げはいつか終わると思ってる君。
>いつか終わるならそれは無限回ではなく有限回。

現代数学は、いくつかの 無限回の操作の繰り返しを well-defined にできる
そう考える方が 現代数学 を深く理解できるよ

例えば、下記の重川一郎 確率論基礎 P47 ランダム・ウォーク より
"定義1.1 時間t∈T をパラメーターとして持つ確率変数の族(Xt)を確率過程という．
T として[0,∞）,Z+＝{0,1,2,・・・}などがよく使われる．
[0,∞）のとき連続時間，Z+のとき離散時間という．"

いま、簡単に 確率変数 Xtが 0 又は 1の値を 各1/2の確率で取るとする
これは コイン投げと同じ事象だ。それで  パラメーターt で 連続として
0〜100秒を考える。連続だから、この時間内で 可算無限個の t1,t2,・・・
のサンプリングが考えられる。これは コイン投げを可算無限行ったことに等しい

同じことを Xtが {1,2,3,4,5,6}の6つの値を 各1/6で取る 確率過程を考えることが可能
コイン投げと同様に、可算無限個の t1,t2,・・・のサンプリングが考えられる
これは サイコロ投げを可算無限行ったことに等しい■

>>663より再録
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~ichiro/index_j.html
重川一郎
講義ノート
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~ichiro/lectures/2013bpr.pdf
確率論基礎
重川一郎 平成26年8月11日
P6
確率空間
基本的にσ集合体では可算個の演算が自由にできる．確率論では可測空間に，確率を付加したものを考える．
Ｐ7
例1.1 サイコロ投げの場合確率空間として次のものを準備すればよい．
Ω＝{1,2,・・・,6}^N ∋ω＝(ω1,ω2,・・・)
ωnは、1,2,・・・,6のいずれかで，n回目に出た目を表す
これが実際にσ-加法的に拡張できることは明らかではないが，Kolmogorov
の拡張定理と呼ばれる定理により証明できる．

P47
第4章ランダム・ウォーク
この章では，最も簡単な確率過程としてランダム・ウォークを扱う．
1.単純ランダム・ウォーク
単純ランダム・ウォーク
定義1.1 時間t∈T をパラメーターとして持つ確率変数の族(Xt)を確率過程という．
T として[0,∞）,Z+＝{0,1,2,・・・}などがよく使われる．
[0,∞）のとき連続時間，Z+のとき離散時間という．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/697

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