Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73 (787ﾚｽ)
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69: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/07/29(火) 12:08:44.73 ID:0DBEJBDg

>>65-68
ゴキブリくん、元気だね
ゴキブリくんは、道端に落ちていた >>64の ja.wikipedia
”ペアノの公理 自然数の集合論的構成
　 N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]} ”https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
にえらくご執心だが
ja.wikipedia なんて だれが書いたか不明で 転記ミスもあるかもｗ
そういう 道端のワケワカの式を 鵜呑みにするクセは 直した方がいいぞｗ ；ｐ）

さて、>>64より下記を再録 する
１）の ωa ＝ ∩a^、 a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)}、P (a) は a の「冪集合」、「x は無限集合である」という命題を M(x)
２）の N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}、Aは無限公理により存在する集合を任意に選んだ

この二つが、外延性の公理で 同じ？
それ 妄想でしょ？
１）記号∩（集合積）の意味は、集合族が確定しないと 確定しない
２）上記１）のa^は、 a の「冪集合」における 無限集合だという
　だから、aが可算無限だとして 冪 P(a)は非可算で
　ωa ＝ ∩a^ は、非可算の族の積
３）一方、集合族{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}とは ？
　これは 冪集合公理を使っていないから 非可算の族ではないよね
（∵冪集合公理を使わずに 非可算の族が出せならば、冪集合公理は不要になる！）
４）だから、両者は異なる

そもそも、記号∩がまずくないか？
下記のja.wikipedia 無限公理 の”無限集合Iから自然数を抽出する”を
だれかが 書いてくれたみたい （ありがとうございます）
ここで、『おおざっぱに言うとすべての帰納的な集合の共通部分をとりたいわけである』とある
日常語では、そうなのだが、これを公理的集合論の言葉に直さないといけないんだ
それが下記だね

ついでに、ja.wikipedia 順序数 を引用しておいた
無限公理とは、下記 順序数の
”ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), .....”の部分
の存在を主張しているのだ （そうは書いていないが、こころは そうなのです）
『すべての順序数は自分自身より小さな順序数全体の集合と等しい』から
ω⊂ S(ω)⊂ S(S(ω))⊂ S(S(S(ω)))⊂ .....
となる
例えば S(ω)＝ω ∪ { ω }などとなっているから
だから
ω：＝ω∩ S(ω)∩ S(S(ω))∩ S(S(S(ω)))∩ .....
は、結論としては  正しい！
しかし、公理的集合論として 一歩一歩進めて 自然数集合N=ωを構築しようするときに
上記 記号∩を使う議論は、結論の先取りになる
だから、ja.wikipedia 無限公理 の”無限集合Iから自然数を抽出する”では
正式の公理的集合論の記述としては 記号∩の使用は 避けていると思うよ■

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/69

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