Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73 (765ﾚｽ)
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521: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/11(月) 22:44:10.96 ID:iGLBvSqQ

>>520
>倒錯していてもこころが歪んでてもなんでもいいから早く実数の整列順序示してよ
>イッチョマエの台詞はその後に吐いてね

面白い！
いま、google検索したら
AIの回答が下記！！（記念にしっかり貼っておこうｗ）
君は、AIなみに賢いぞぉ！！！ｗ　；ｐ）

<google検索：実数の整列順序 整列定理>
AI による概要(AI の回答には間違いが含まれている場合があります)
実数全体の集合は、整列順序を入れることができません。整列順序とは、任意の非空な部分集合が最小元を持つような全順序のことです。実数全体を全順序で並べたとき、任意の非空な部分集合に最小元が存在するように順序を入れることは、公理的に不可能です。これは、実数の連続性や完備性に関わる性質であり、実数の順序は整列順序とは異なる性質を持つためです。
詳細:
整列順序:
全順序集合において、任意の非空な部分集合が最小元を持つ場合、その全順序を整列順序と呼びます。例えば、自然数全体の集合は、通常の大小関係で整列順序となります。これは、どの非空な部分集合にも必ず最小の自然数が存在するからです。
実数の連続性:
実数全体は、連続な集合であり、任意の2つの実数の間に別の実数が存在する性質を持ちます。この連続性のため、実数全体を整列順序で並べると、部分集合の最小元が存在しない場合が生じてしまいます。
整列定理:
選択公理を仮定すると、任意の集合は整列順序を入れることができる、という定理です。しかし、この定理は、実数全体のような特定の集合に適用されるわけではありません。実数全体には、選択公理を仮定しても、整列順序を入れることができません。
例:
実数の区間 を考えてみましょう。この区間の部分集合として、{1/2, 1/3, 1/4, ...} を考えると、この部分集合には最小元が存在しません。このように、実数の部分集合には、最小元を持たないものが存在するため、実数全体を整列順序で並べることはできません。
まとめ:
実数全体は、整列順序を入れることができない集合です。これは、実数の連続性という性質によるものであり、整列定理とは異なる概念です。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/521

523: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/11(月) 23:02:19.44 ID:iGLBvSqQ

>>520
>倒錯していてもこころが歪んでてもなんでもいいから早く実数の整列順序示してよ
>イッチョマエの台詞はその後に吐いてね

面白い！
oshiete.goo さん　；ｐ）

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/2250335.html
oshiete.goo
実数の整列化について
質問者：kurororo 2006/07/02
　大学で数学を学んでいる者です。最近、集合と位相の科目で、整列可能定理を学びました。それは、選択公理・Zornの補題と同値な命題であって、その内容は
「任意の集合において、適当な順序関係を定義すれば、整列集合にすることができる。（整列集合とは、空でない部分集合が常に最小元を持つ集合）」
という内容でした
　さて、実数の集合は通常の順序関係では整列集合ではありません（例えば開区間は最小数を持ちません）。定理によれば、適当な順序によって実数の集合も整列集合になる訳です
　それなら、それは具体的にはどのような順序なのかと調べて見たんですけど、どうも見つかりません。どなたか知っている人がいれば教えてください

No.2ベストアンサー
回答者：adinat 2006/07/03
連続濃度以上の集合に整列順序が存在することは、選択公理なしには証明できません（というより同値ですよね）。証明は抽象的構成を与えることですから、ある意味ではそれは不可能なわけです。といってしまうと身もふたもないですから、整列順序がどういうものかを納得するためにも雑な例をあげてみます

整列順序というのは、ようするに最も小さい数があって、さらに各元に対して“次の数”が定まっているような順序です。たとえば自然数列{1,2,3,…}が典型です。実数に整列順序を入れてやりたければ、まず最小元を決めて、また各元に対して次の数を決めてやればいいのです。（しかしながら非可算個の元に対して次の元を指定するなんてことは人間には無理です（本当は可算無限個でも無理なんですけどね））

たとえば、{1,2,…,…,π,e,√2,√3,…,…,0,-1,-2,…}などという順序を考えてみましょう（左の方が小さいとする順序）。次の数さえ決まっていたらいいんです。だから上の順序は整列順序です。5の次は6だし、1兆3の次は1兆4です。πの次はeだし、eの次は√2です。0とか、πの一つ前の数字が気になったりしますが、整列順序というのはあくまでも一つ大きい数さえ決まっていたらいいんです。π^eがどこにあるかわかりませんが、それも適当に決めてやればいいのです。ようするに実数を思いついた順番にひたすら並べていけばいいのです（無限回！しかも非可算無限回！）それが整列順序というものです

数学的帰納法ってあまり信頼がないですが、あれは自然数を一斉に順番に並べることができること（ペアノの公理）から由来する定理であって、整列可能定理というのはその非可算無限集合に拡張された超限帰納法に対応するものです。非可算無限個の元を順番に並べるという、とても有限の時間で人ができるわけがないことを考えているわけです。選択公理というのは、非空な集合の非可算無限直積から元が取れる、つまり非可算無限個の元をまったく同時に扱える、ということを主張する公理なので、そりゃあそんなこと認めてしまえば、整列順序なんて作れるよね、とそんな気がしてきませんか？（すべての実数に対してその次の数を考えてやるだけで整列順序ができるわけだから！）

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/523

571: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/12(火) 06:36:14.54 ID:Wz/RxMvE

>>568-569
(引用開始)
＞例:
＞実数の区間 を考えてみましょう。
＞この区間の部分集合として、{1/2, 1/3, 1/4, ...} を考えると、この部分集合には最小元が存在しません。
＞このように、実数の部分集合には、最小元を持たないものが存在するため、実数全体を整列順序で並べることはできません。
上記は「実数の順序が整列順序でない」ことを示すのみであって、
実数全体の集合に、実数の順序と異なる整列順序をいれることができない、
という主張の証明ではない。
選択公理により、実数全体の集合の、空でない部分集合に対して、その代表元を選択する関数が存在する。
(引用終り)

ふっふ、ほっほ、それな
下記
　>>509
>なにおまえ　たてつく気？
>じゃあ実数の整列順序示せ　好きなように整列できるんだろ？
>>520
>倒錯していてもこころが歪んでてもなんでもいいから早く実数の整列順序示してよ
>イッチョマエの台詞はその後に吐いてね

とほざいていた ID:MtMWibfm くんに言ってあげてねｗ
なお、>>499の 2017春(首都大東京) 薄葉季路（早大理工） 集合論の宇宙 -UniverseとMultiverse- (企画特別)
発表スライド『集合論の宇宙　Universe と Multiverse』
https://www.mathsoc.jp/meeting/kikaku/2017haru/2017_haru_usuba-p.pdf
における Multiverseの視点からは

１）フルパワー選択公理を持つ ZFC公理系内では 実数の整列順序 は、存在する
　このとき、人は可能な限りの任意の整列順序を示すことが可能
　例えば、先頭に好きなr1,r2,r3,・・と並べて 残りを 選択公理にお任せとか
　あるいは、任意の途中に 上記のr1,r2,r3,・・と並べて 残りを 選択公理にお任せとか
　最初に 有理数のみを整列させて その後に無理数の集合を整列させるとか
　それらを、何度でも繰り返して良い
２）別の宇宙で フルパワー選択公理を否定して
　例えば、可算選択公理に制限したら？
　そのときは、実数を整列させることは不可能だ

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
選択公理
選択公理の制限
選択公理は上のように様々な結論を導く強い公理になっている。選択公理に条件を課して、より弱い公理としたものが研究されている。
・可算選択公理

・従属選択公理
など

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/571

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