Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73 (766ﾚｽ)
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438: １３２人目の素数さん [] 2025/08/09(土) 23:45:48.94 ID:bw4CRSHc

>>423 追加

・数学宇宙で、有名どころが3つ
　Constructible universe L
　Von Neumann universe V
Grothendieck universe U
・包含関係 L⊂V⊂U があります
　ここで、Grothendieck universe U を
　望月先生は、ZFCGなどと表現します

https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_universe
Von Neumann universe
In set theory and related branches of mathematics, the von Neumann universe, or von Neumann hierarchy of sets, denoted by V, is the class of hereditary well-founded sets. This collection, which is formalized by Zermelo–Fraenkel set theory (ZFC), is often used to provide an interpretation or motivation of the axioms of ZFC. The concept is named after John von Neumann, although it was first published by Ernst Zermelo in 1930.

https://en.wikipedia.org/wiki/Constructible_universe
Constructible universe
In mathematics, in set theory, the constructible universe (or Gödel's constructible universe), denoted by
L, is a particular class of sets that can be described entirely in terms of simpler sets.
L is the union of the constructible hierarchy Lα.
It was introduced by Kurt Gödel in his 1938 paper "The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum-Hypothesis".[1] In this paper, he proved that the constructible universe is an inner model of ZF set theory (that is, of Zermelo–Fraenkel set theory with the axiom of choice excluded), and also that the axiom of choice and the generalized continuum hypothesis are true in the constructible universe. This shows that both propositions are consistent with the basic axioms of set theory, if ZF itself is consistent.

https://en.wikipedia.org/wiki/Grothendieck_universe
In mathematics, a Grothendieck universe is a set U with the following properties:
略
The existence of a nontrivial Grothendieck universe goes beyond the usual axioms of Zermelo–Fraenkel set theory; in particular it would imply the existence of strongly inaccessible cardinals. Tarski–Grothendieck set theory is an axiomatic treatment of set theory, used in some automatic proof systems, in which every set belongs to a Grothendieck universe. The concept of a Grothendieck universe can also be defined in a topos.[1]

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/438

454: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/10(日) 09:34:26.77 ID:f12p+Q2v

>>438 追加
さて、強制法でも 宇宙が出てきます
図解があると 分かり易い
それが、下記 石井大海氏 Boole 値モデルと強制法pdfのP7
なお、下記 ”google AI による概要”も、ご参照

要するに、例えば 連続体仮説 が、ZFCから独立ということを証明したいときに
強制法を ZFCに 適用することで、証明ができる
強制法とは、簡単には 下記 石井大海にあるように ZFCのノイマン宇宙Vを 独立を証明したい命題のGを添加した 新たな宇宙V[G]を作る手法
なので、出来る宇宙は Gによって異なる
だから、Grothendieck universe Uとは 発想が全く異なる。多分出来上がる宇宙V[G]も Uからはみ出す

＜google検索：強制法 図解＞
１）https://konn-san.com/
プロフィール konn-san.com 2011/04 早稲田大学基幹理工学部 数学科配属
https://konn-san.com/math/boolean-valued-model-and-forcing.pdf
Boole 値モデルと強制法 石井大海2022/06/11
概要
集合論における無矛盾性証明で用いられる主要な手法である強制法と，密接に関連するBoole値モデルの手法について，本稿では幾らか証明を省略しつつ概略を採り上げます．また，Hamkinsら [1]の説明に基づいて，超冪とBoole値モデルの関係についても簡単に解説します．
1 強制法の基本的な考え方とBoole値モデル
　直観的には，現在の集合の宇宙V に新しい元Gを付加した，新たな宇宙V[G]を得たい，というのが強制法のモチヴェーションです．
しかし，そうはいっても集合の全体は既にV で確定しているので，「新しい元」というのはそのままでは意味を成しません．
そこで，強制法では集合概念を拡張することを考えます．どういう事でしょうか？
まず，一般の集合x Vは，特性関数と同一視することで，部分関数x:V 2と見做すことが出来ます．
2というのは「各元がxに属すか？」という真偽値ですから，この真偽値を一般のBoole代数Bに一般化しようというというのが強制法の基本的なアイデアです．このように，所属関係の真偽値を完備Boole代数Bに一般化した集合のことを，B-nameと呼びます．
P7
以上から，VBをV[G]と同一視して，あたかもV 上のジェネリックフィルターGが取れているかのように考えても差し支えないということがわかります．
このような見方の下で，V とV[G]は，右図のような形をしています．
(注：図は引用できないので、各自PDFの原図を見てください)

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/454

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