Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73

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423: １３２人目の素数さん [] 2025/08/09(土) 11:43:02.22 ID:bw4CRSHc

>>421
IUT、宇宙（下記）

上記の圏論の宇宙 グロタンディーク宇宙が考えられた時期と平行して
強制法が考えられた
『直観的には、強制法は集合論の宇宙 V をより大きい宇宙 V* に拡大することから成り立っている』(下記)

そして、21世紀のいま、基礎論屋さんは
宇宙といえば、下記強制法の宇宙を連想する
そういう人に教えられた学生も同様だろう

”宇宙と宇宙をつなぐ”？？？
なんじゃらほい ？？？
となるのですｗ　；ｐ）

ここらは、望月さんには理解できないだろうね
グロタンディーク宇宙に関連する 用語「宇宙」しか頭になさそうだ
おそらく 加藤さんもね

ここらが、世間に無用の混乱のもとだった
”宇宙と宇宙をつなぐ”が、引き起こす無用の混乱
だが、それも 初期のわらい話で
もうその時期は過ぎただろう

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BC%B7%E5%88%B6%E6%B3%95
強制法
強制法が初めて使われたのは1962年、連続体仮説と選択公理のZFからの独立性を証明した時のことである。強制法は60年代に大きく再構成されシンプルになり、集合論や、再帰理論などの数理論理学の分野で、極めて強力な手法として使われてきた。

直観的意味合い
直観的には、強制法は集合論の宇宙 V をより大きい宇宙 V* に拡大することから成り立っている。 この大きい宇宙では、拡大する前の宇宙には無かった ω = {0,1,2,…} の新しい部分集合をたくさん要素に持っている。 そしてそれにより連続体仮説を否定することができる。が、このような議論は表面上不可能である。

原理的には、次のようなものを考える。
略
強制法はこのアイデアを洗練したもので、新しい集合の存在を認めて利用するというより、拡大された宇宙の性質を元の宇宙からよりよく操作することを許したものである。

コーエンの元々のテクニックは今ではramified forcing（英語版）と呼ばれるもので、強制法の説明によく使われるunramified forcingとは少々異なる。

可算推移モデルとジェネリックフィルター
強制法の鍵となるステップはZFCの宇宙 V に対して、V の要素でない適切な G を見つけることである。 結果としては G によるP-名前の解釈全てによるクラスが元々の V の拡大になるZFCのモデルになるようにする。
略

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/423

438: １３２人目の素数さん [] 2025/08/09(土) 23:45:48.94 ID:bw4CRSHc

>>423 追加

・数学宇宙で、有名どころが3つ
　Constructible universe L
　Von Neumann universe V
Grothendieck universe U
・包含関係 L⊂V⊂U があります
　ここで、Grothendieck universe U を
　望月先生は、ZFCGなどと表現します

https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_universe
Von Neumann universe
In set theory and related branches of mathematics, the von Neumann universe, or von Neumann hierarchy of sets, denoted by V, is the class of hereditary well-founded sets. This collection, which is formalized by Zermelo–Fraenkel set theory (ZFC), is often used to provide an interpretation or motivation of the axioms of ZFC. The concept is named after John von Neumann, although it was first published by Ernst Zermelo in 1930.

https://en.wikipedia.org/wiki/Constructible_universe
Constructible universe
In mathematics, in set theory, the constructible universe (or Gödel's constructible universe), denoted by
L, is a particular class of sets that can be described entirely in terms of simpler sets.
L is the union of the constructible hierarchy Lα.
It was introduced by Kurt Gödel in his 1938 paper "The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum-Hypothesis".[1] In this paper, he proved that the constructible universe is an inner model of ZF set theory (that is, of Zermelo–Fraenkel set theory with the axiom of choice excluded), and also that the axiom of choice and the generalized continuum hypothesis are true in the constructible universe. This shows that both propositions are consistent with the basic axioms of set theory, if ZF itself is consistent.

https://en.wikipedia.org/wiki/Grothendieck_universe
In mathematics, a Grothendieck universe is a set U with the following properties:
略
The existence of a nontrivial Grothendieck universe goes beyond the usual axioms of Zermelo–Fraenkel set theory; in particular it would imply the existence of strongly inaccessible cardinals. Tarski–Grothendieck set theory is an axiomatic treatment of set theory, used in some automatic proof systems, in which every set belongs to a Grothendieck universe. The concept of a Grothendieck universe can also be defined in a topos.[1]

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/438

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