Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73 (766ﾚｽ)
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315: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/04(月) 07:14:53.08 ID:IiqX04eZ

>>314 補足

数理論理学ＩＩ 坪井明人 筑波大 (2014年) https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/und/14logic3.pdf
より
Ｐ6
1.1.3 内包性公理
各論理式 φ に対して，
∃y∀z(z ∈ y ↔ (z ∈ x ∧ φ(z))).
集合 x の中で，条件 φ を満たすものだけを集めた集合 y が存在することを意
味している．上の y は {z ∈ x : φ(z)} と記述される．基本的な述語としては ∈
だけを用いると最初に書いたが，{z ∈ x : φ(z)} を使った命題（論理式）はそ
れを使わない ∈ だけの命題に（意味を変えずに）変形できるので，このよう
な補助的な記法を導入することは問題ない（以下の注意参照）．
φの中には，z 以外の自由変数（ただしy とは異なる）が存在していてもよい．

注意 1. {z : φ(z)}（クラスと通常よばれる）を集合として認めると，ラッセ
ルのパラドクスを導いてしまう．外延性公理では，集合の元として集めてくる
z は，もともと集合として認められている x の中だけで考えている．
注意 2. {z ∈ x : φ(z)} の形を使って作られる論理式について考える．例えば，
∀y(y ∈ {z ∈ x : φ(z)} → y ∈ w) は，∀y((y ∈ x ∧ φ(y)) → y ∈ w) の省略形と
考えることができる．
(引用終り)

ここ>>53より
『>初期の集合論における内包公理からはラッセルのパラドックスとなる集合{x|￢x∈x}を構成可能。
>そのため公理的集合論では分出公理に置き換える。
これは豆知識としてよい』
の通りだ

なお、下記も常識として 知っておくべき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%A1%E3%83%AD%EF%BC%9D%E3%83%95%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%B1%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
ツェルメロ＝フレンケル集合論
3. 分出公理図式（内包公理図式）
→詳細は「分出公理」および「en:Axiom schema of specification」を参照
部分集合は通常、集合の内包的記法（英語版）を用いて表される。
分出公理は、この部分集合が常に存在することを示す（それぞれの
ϕ に1つずつ公理が対応するため、これは公理図式である）。
ZFの公理の中で、この公理は置換公理と空集合の公理に従うという点で冗長である。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/315

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