Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73 (730ﾚｽ)
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314: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/04(月) 07:01:53.33 ID:IiqX04eZ

>>296-301
踏みつけたゴキブリが、まだ動いているｗ　；ｐ）
グダラ グダラと愚にもつかぬ言い訳を・・ｗｗ

１）>>271の 数理論理学ＩＩ 坪井明人 筑波大 (2014年) https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/und/14logic3.pdf
　と対比してみれば、その誤りは 一目瞭然だ
２）分かり易く 院試の口頭試問で「ZFCで 自然数Nの存在を証明してください」と言われたとしよう
　まず最初にやることは、無限公理のステートメントを述べることだ
　”無限公理：
　∃x(∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x)).
　x は ∅（0 と思う）を含んでいて，y が x に属すれば，y の次の元 S(y) も x に属している．
　そのような x が存在することを主張するのが無限公理である．”
３）　ここから、”しかし余分な元を含んでいるかも知れない．そこで自然数全体の集合 ω を
　{∅, S(∅), S2(∅), S3(∅), . . . }として定義したい．”
４）”そこで ω を条件
　∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x)
　を満たす最小の集合 x として定義したい：無限公理によって保証される無限集合 X を一つ選び，
　ω = {y ∈ X : ∀x(φ(x) → y ∈ x)}
　とする．
　ここで φ(x) は ∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x) である．
　このようにすれば，ω は集合であり，φ(x) を満たす最小のものになる（もちろん X の取り方に依存しない）．”
　QED

さて
禁句は、「自然数Nの存在は自明だから証明不要」だね（＾＾
採点側からは「カチンと来た。こいつダメ！（マイナス判定ｗ）」だろう

さらに、”無限公理”に触れないやつも ダメ
ZFCでなぜ無限公理が置かれているのか 理解できていないと判断される
（ZFCでは、無制限に集合を作ることは許されない。無限公理なしでは、無限集合ができない！）

もし、無限公理のステートメントをキチンと述べることができれば、それだけで部分点は貰えるだろう
無限公理のステートメントをスタートとして、ゴールは
”無限公理によって保証される無限集合 X を一つ選び，
　ω = {y ∈ X : ∀x(φ(x) → y ∈ x)}”（上記）だ
（これを述べる。また 部分点が貰える）
あとは、スタートからゴールへの道筋を述べる べし （＾＾

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/314

315: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/04(月) 07:14:53.08 ID:IiqX04eZ

>>314 補足

数理論理学ＩＩ 坪井明人 筑波大 (2014年) https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/und/14logic3.pdf
より
Ｐ6
1.1.3 内包性公理
各論理式 φ に対して，
∃y∀z(z ∈ y ↔ (z ∈ x ∧ φ(z))).
集合 x の中で，条件 φ を満たすものだけを集めた集合 y が存在することを意
味している．上の y は {z ∈ x : φ(z)} と記述される．基本的な述語としては ∈
だけを用いると最初に書いたが，{z ∈ x : φ(z)} を使った命題（論理式）はそ
れを使わない ∈ だけの命題に（意味を変えずに）変形できるので，このよう
な補助的な記法を導入することは問題ない（以下の注意参照）．
φの中には，z 以外の自由変数（ただしy とは異なる）が存在していてもよい．

注意 1. {z : φ(z)}（クラスと通常よばれる）を集合として認めると，ラッセ
ルのパラドクスを導いてしまう．外延性公理では，集合の元として集めてくる
z は，もともと集合として認められている x の中だけで考えている．
注意 2. {z ∈ x : φ(z)} の形を使って作られる論理式について考える．例えば，
∀y(y ∈ {z ∈ x : φ(z)} → y ∈ w) は，∀y((y ∈ x ∧ φ(y)) → y ∈ w) の省略形と
考えることができる．
(引用終り)

ここ>>53より
『>初期の集合論における内包公理からはラッセルのパラドックスとなる集合{x|￢x∈x}を構成可能。
>そのため公理的集合論では分出公理に置き換える。
これは豆知識としてよい』
の通りだ

なお、下記も常識として 知っておくべき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%A1%E3%83%AD%EF%BC%9D%E3%83%95%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%B1%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
ツェルメロ＝フレンケル集合論
3. 分出公理図式（内包公理図式）
→詳細は「分出公理」および「en:Axiom schema of specification」を参照
部分集合は通常、集合の内包的記法（英語版）を用いて表される。
分出公理は、この部分集合が常に存在することを示す（それぞれの
ϕ に1つずつ公理が対応するため、これは公理図式である）。
ZFの公理の中で、この公理は置換公理と空集合の公理に従うという点で冗長である。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/315

331: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/04(月) 12:05:25.03 ID:rSgE8B7A

>>314 補足
(引用開始)
１）>>271の 数理論理学ＩＩ 坪井明人 筑波大 (2014年) https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/und/14logic3.pdf
４）”そこで ω を条件
　∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x)
　を満たす最小の集合 x として定義したい：無限公理によって保証される無限集合 X を一つ選び，
　ω = {y ∈ X : ∀x(φ(x) → y ∈ x)}
　とする．
　ここで φ(x) は ∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x) である．
　このようにすれば，ω は集合であり，φ(x) を満たす最小のものになる（もちろん X の取り方に依存しない）．”
(引用終り)

この 数理論理学ＩＩ 坪井明人 筑波大 からの引用部分で

a)ω を条件 　∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x)
　を満たす最小の集合 x として定義したい
b)無限公理によって保証される無限集合 X を一つ選び，
　ω = {y ∈ X : ∀x(φ(x) → y ∈ x)} 　とする．
　ここで φ(x) は ∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x) である．
　このようにすれば，ω は集合であり，φ(x) を満たす最小のものになる（もちろん X の取り方に依存しない）．

ωは、もちろん >>271より "自然数全体の集合 ω を {∅, S(∅), S2(∅), S3(∅), . . . }として定義したい"
ってことなのですが

前者a)では、ZFCでは ∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x) を直接集合として定義することを許さない
（ZFCでは、集合を作る方法を厳しく制限しているから。その制限によって ラッセルパラドックスを防止するのです https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%83%E3%82%BB%E3%83%AB%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9 ）

後者b)では、一旦 無限公理によって保証される無限集合 X を一つ選び ωは、その部分集合として 取り出される
こういう 一手間を入れることで、集合を作る方法を制限して 出来る 無限集合をコントロールしているってことですね

追記
後者b)で 無限集合 X を 記号Aに書き直すとより分かり易いだろう
つまり
”無限公理によって保証される無限集合 A を一つ選び，
　ω = {y ∈ A : ∀x(φ(x) → y ∈ x)} 　とする．
　ここで φ(x) は ∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x) である．
　このようにすれば，ω は集合であり，φ(x) を満たす最小のものになる（もちろん A の取り方に依存しない）．”
です。慣れれば、X のままでも分かるが、なれないと大文字Xと 小文字x で目がチカチカしますよね　（＾＾

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/331

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