Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73 (733ﾚｽ)
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265: １３２人目の素数さん [] 2025/08/03(日) 17:45:03.12 ID:2sRhWGI4

（>>208より引用開始）
∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}
は、{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]を満たす
もっとも小さい集合となっている
理解すべきはこれだけ
{0,1,2,・・・} であることではない
（引用終了）

定義
　{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]を満たす集合xを帰納的集合と呼び、xが帰納的集合であることをφ(x)と書く。
　Aを任意の帰納的集合とする。
　N:=∩{x⊂A|φ(x)}

補題１
　帰納的集合の族の共通部分は帰納的集合である。
　∀X:((∀Y∈X:φ(Y))→φ(∩X))
証明
　Xを帰納的集合の族とする。
　Xの任意の元（帰納的集合）は{}を持つから∩Xも{}を持つ。
　∩Xがxを持つなら、Xの任意の元（帰納的集合）もxを、従ってx∪{x}を持つから、∩Xはx∪{x}を持つ。
　以上で∩Xは帰納的集合の定義を満たしていることが確認された。

系１−１
　Nは帰納的集合。
証明
　Nの定義と補題１による。

定理２
　Nは任意の帰納的集合に含まれる。
証明
　Nの任意の元nを持たない帰納的集合Bが存在すると仮定。
　C:=A∩BはBの部分集合だからnを持たず、またAの部分集合且つ補題１より帰納的集合だからC∈{x⊂A|φ(x)}
　Nの定義よりNはCの部分集合のはずだからnを持たないはずであり矛盾。
　よってNの任意の元nを持たない帰納的集合は存在しない、すなわち任意の帰納的集合はNの任意の元を持つ、すなわちNは任意の帰納的集合に含まれる。

系２−１
　N上の命題関数P(n)が下記条件をすべて満たすなら∀n∈N(P(n))
　・P({})
　・∀n∈N(P(n)→P(n∪{n}))
証明
　M:={n∈N|P(n)}と定義。M⊂N・・・?。
　条件より{}∈M∧∀n[n∈M→n∪{n}∈M]だからMは帰納的集合。よって定理２よりN⊂M・・・?
　?と?よりN=M、すなわち∀n∈N(P(n))。
　これを数学的帰納法と呼ぶ。

(N,{},S(n):=n∪{n})がペアノの公理の残りを満たすことは容易に示せるだろう。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/265

271: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/03(日) 23:30:05.31 ID:NbGdsnnL

>>265
やれやれ
踏みつけたゴキブリが、まだ動いているね　；ｐ）

さて、私は ド素人が この5ｃｈ便所板に書き散らす バカ証明を読むのが嫌いなんだよ
というのは、ド素人が書き散らす証明は、きっとどこかで滑っているからなのだが
（つまり、ド素人が書き散らす証明を読むのは、赤ペン先生をするのと同義になるからねｗ ；ｐ）

さて、ゴキブリくんの >>265 と 下記の坪井 明人 筑波大 の講義PDFとを
対比するのが分かり易い

<赤ペン先生>
１）まず、>>265では無限公理を謳っていないのがダメ
２）”{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]を満たす集合xを帰納的集合と呼び”がダメ
　（∵ZFC公理内では、帰納的集合を直接生成できない。下記の de.wikipedia ”Without the infinity axiom, ZF would only guarantee the existence of finite sets. No statements could be made about the existence of infinite sets. ”の通り）
３）後の記述は、ゴミだなｗ　；ｐ）
　なお、下記の坪井明人 筑波大にあるように、坪井先生は記号∩を使わずに 処理している（百回音読してねｗ）

(参考)
https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/
ロジックの部屋 坪井明人 筑波大
https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/und/14logic3.pdf
数理論理学ＩＩ 坪井明人 筑波大 (2014年)
目 次
第 1 章 公理的集合論の基礎 5
1.1 集合論の公理 . . . . . 5
1.1.9 無限公理 . .  . . 8

Ｐ8
1.1.9 無限公理
集合 x に対して，x ∪ {x} を S(x) で表す．例えば，S(∅) = {∅}, S2(∅) =S(S(∅)) = {∅, {∅}} である．
S は，successor の頭文字で，次の元という意味を持たせている．
無限公理：
∃x(∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x)).
x は ∅（0 と思う）を含んでいて，y が x に属すれば，y の次の元 S(y) も x に属している．
そのような x が存在することを主張するのが無限公理である．
直観的には，自然数全体のような集合が存在することを意味する．
無限公理によって保証される集合は， ∅, S(∅), S2(∅), S3(∅), . . . をすべて元として含む集合である．
しかし余分な元を含んでいるかも知れない．そこで自然数全体の集合 ω を
{∅, S(∅), S2(∅), S3(∅), . . . }
として定義したい．
しかし「. . . 」の部分は直観的な説明としては容認できるが，
我々の立場では定義とは言い難い 1．
（注1：ω = {Sn(∅) : n ∈ N} とすると，「. . . 」を回避できているように見えるが，
　N 自体がまだ定義されていないので，これでは定義できていない．）
そこで ω を条件
∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x)
を満たす最小の集合 x として定義したい：無限公理によって保証される無限集合 X を一つ選び，
ω = {y ∈ X : ∀x(φ(x) → y ∈ x)}
とする．
ここで φ(x) は ∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x) である．
このようにすれば，ω は集合であり，φ(x) を満たす最小のものになる（もちろん X の取り方に依存しない）．

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/271

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