Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73 (748ﾚｽ)
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226: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/02(土) 11:26:20.49 ID:WzsFWnhL

補足 >>157で
(引用開始)
>>104より
１）の ωa ＝ ∩a^、 a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)}、P(a) は a の「冪集合」、「x は無限集合である」という命題を M(x)
２）の N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}、Aは無限公理により存在する集合を任意に選んだ
この二つの式で 前者１）の a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)} は、冪集合 P(a)の殆ど全てを渡る集合族である
∵ aは無限公理の一つの無限集合を選んだもので、P(a)は 非可算濃度以上で M(x)＝「x は無限集合である」だから
（つまり、 P(a)から 有限集合を除いた 集合族が a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)} （つまり P(a)の無限集合の部分））
一方、後者２）の {x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}は、冪集合公理 P(A) を使っていない（使うと言ってない）
だから、Aが無限公理の一つの無限集合を選んだものとして、Aが可算の場合に
集合族 {x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}は、非可算の集合族にはできません！
冪集合公理 P(A) を使わない限り、非可算の集合族にはできません！！ｗｗｗ
(引用終り)

さて
１）上記の１）と２）の式は、記号∩を使っているところは同じだが
　∩につづく集合族が異なる
　上記を繰り返すが、１）の式は a の「冪集合」P(a)の無限集合部分をその族としている
　（既に述べたように これは 非可算の族になる）
　一方、N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}の方も A(＝無限集合)の何かの部分集合から成る族だ
　だから、両者は異なる
２）簡単に下記 順序数を使って説明する
　”すべての順序数は自分自身より小さな順序数全体の集合と等しい”から
　 S(S(S(ω)))＝{0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω),S(S(ω))}だ
　これは、無限集合なので a＝S(S(S(ω))) と取るよ
　すると、「冪集合」P(a)で、部分集合として
　ω={0, 1, 2, 3, ............}(つまりこれはNだが)が 存在する
　ここで、命題 M(x)：＝「x は無限集合である」を、無限という言葉を使わず うまく定義できればOKだ
　問題は 公理的集合論で ”無限”の定義をどうするか？
　ここで行き詰まる（良い知恵があれば、教えてね ；ｐ）
３）一方、N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}の方では
　同様に A＝S(S(S(ω))) と取るとき
　{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]} が、帰納的な無限集合を意味するとして
　S(ω)とS(S(ω))の両方が 適合するよね
　S(ω)⊂S(S(ω))なので（∵すべての順序数は自分自身より小さな順序数全体の集合と等しい）
　従って、積 S(ω)∩S(S(ω))＝S(ω)≠ω となるよね
　つまり、上記２）においては 集合族 {x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}に
　必ず 最小のωが含まれていなければならないが、その保証がない！（要証明）

まとめると、上記１）式は、命題 M(x)：＝「x は無限集合である」 が 集合公理で定義できれば
ωを含むので ωを出せる
上記１）式は、最小のωが含まれていることの 集合公理を使った証明が必要だね

上記１）２）式とも、気持ちは分るが 公理的な目からは不十分では？
その点、分出公理だけを使う 無限公理のwikipedia の手法(>>220)は、スッキリで是認できる■ （＾＾

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/226

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