Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73 (732ﾚｽ)
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抽出解除 必死ﾁｪｯｶｰ(本家) (べ) 自ID ﾚｽ栞 あぼーん
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400: １３２人目の素数さん [] 08/07(木)09:53 ID:qc3Pxic+(1)
>(N,{},S(n):=n∪{n})がペアノの公理の残りを満たすことは容易に示せるだろう。
下記命題は非自明なので証明しておく。
命題
任意の n,m∈N について n≠m ならば n∪{n}≠m∪{m}。∀n∈N,∀m∈N(n≠m → n∪{n}≠m∪{m})
証明
命題の否定 ¬(∀n∈N,∀m∈N(n≠m → n∪{n}≠m∪{m})) を仮定する。
¬(∀n∈N,∀m∈N(n≠m → n∪{n}≠m∪{m}))⇔∃n∈N,∃m∈N(¬(n≠m → n∪{n}≠m∪{m}))⇔∃n∈N,∃m∈N(¬(¬n≠m ∨ n∪{n}≠m∪{m}))⇔∃n∈N,∃m∈N(n≠m ∧ n∪{n}=m∪{m})
よってある集合 n,m が存在して、n≠m ∧ n∪{n}=m∪{m}。
n∈n∪{n} と n∪{n}=m∪{m} より n∈m∪{m} のはずである。さらに n≠m より n∈m のはずである。
上でnとmを入れ替えても同じことが言えるから結局 n∈m ∧ m∈n。よって正則性公理よりNの元 n,m は集合ではないが、このことはNの定義と矛盾する。
命題の否定を仮定して矛盾が導かれたから背理法により命題は正しい。
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