Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73 (927ﾚｽ)
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851(4): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 08/20(水)11:45 ID:n7uBTsIt(1/5)
>>820
(引用開始)
https://de.wikipedia.org/wiki/Unendlichkeitsaxiom
Unendlichkeitsaxiom
(google英訳)
Infinity axiom
Natural numbers
By the existence of at least one inductive set I together with the exclusion axiom,
the existence of natural numbers as a set is also ensured:
N:={x∈I∣∀z(z inductive ⟹ x∈z)}
The natural numbers are therefore defined as the intersection of all inductive sets, as the smallest inductive set.
Infinite quantities
Without the infinity axiom, ZF would only guarantee the existence of finite sets. No statements could be made about the existence of infinite sets. The infinity axiom, together with the power set axiom , ensures that there are also uncountable sets, such as the real numbers.
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%9A%84%E5%B8%B0%E7%B4%8D%E6%B3%95
数学的帰納法（英: mathematical induction）
(引用終り)

さて
　>>39より再録
下記 ”N:=∩{x⊂A∣∅∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”なる式が
ペアノ公理の自然数の集合論的構成 ja.wikipedia に書かれていたのです
おれは、こんな式訳分からんぞといったところ
ある数学科オチコボレさんが積集合∩ は、数学科では自明だ
と言い出した
だが、その数学科オチコボレさん
数学科でもし学生や院生(M生)が「自明」といえば
徹底的に突かれて黒板ハリツケの刑が日常茶飯事だ
（「自明」と言っていいのは、講義の教授だけだ　；ｐ）
学生や院生(M生)の「自明」は
しばしば理解不十分をゴマカス言い訳と相場が決まっている
さてさて、”∩は自明”必死で逃げ回るオチコボレさんよ
詰んでるよねあなたｗ　；ｐ）
(参考)
2chｽﾚ:math
　”N:=∩{x⊂A∣∅∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”ペアノ公理の自然数の集合論的構成 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
　”Aは無限公理により存在する集合を任意に選んだもの”
(引用終り)

追記
・de.wikipedia 独語Unendlichkeitsaxiom 英語Infinity axiom
・ここで自然数 N:={x∈I∣∀z(z inductive ⟹ x∈z)} とスッキリ
・一方、”N:=∩{x⊂A∣∅∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”ペアノ公理の自然数の集合論的構成
　”Aは無限公理により存在する集合を任意に選んだもの”
　これは、ちょっとまずい
　記号∩が、公理から直接導けないので公理の裏付けが不明確
・もちろん、”The natural numbers are therefore defined as the intersection of all inductive sets, as the smallest inductive set.”
　だから意図は分かるがこの文をそのまま論理式に書き下したのかもねｗ　；ｐ）

854(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 08/20(水)13:45 ID:n7uBTsIt(2/5)
>>846
(引用開始)
ブンゲン、メンタルピクチャー教の教祖になる（笑）
自らを健全だという奴ほど、不健全なものはない（嘲）
ブンゲンの主張は、まったく反駁不可能であるがゆえに、
まったく科学的でなく不健全極まりない
(引用終り)

・メンタルピクチャー教の反対が、厳密教だろうか
　（下記 ”厳密性を数学と取りちがえるという勘違い”渕野）
・1980年の中頃まで日本では厳密教全盛だった気がする
（東大、京大を除く（良く分らないのと推測で多分違う気がする））
・結局、2025年から20世紀を振り返ってみると、公理的集合論が出てこれがほぼ完成したが
　それはいまは実際の数学最前線ではあまり使わなくなった
　やはり、下記の素朴集合論 Naive set theory がベース ”that uses natural language to describe sets and operations on sets.”な
　あと、圏論がかなり使われるようになった（層は多分圏論側かな（下記竹内『層・圏・トポス』））
・思うに、コンピュータ言語に例えると、
　公理的集合論がアセンブラで、素朴集合論は高級言語(PythonやMathematica)、圏論は再帰を許す関数言語か　；ｐ）

　>>734より
＜数学と厳密＞
あなたのまったく逆を、渕野先生が書いている
”厳密性を数学と取りちがえるという勘違い”
https://www.amazon.co.jp/dp/4480095470
数とは何かそして何であるべきかデデキント訳解説渕野昌筑摩書房2013
「数学的直観と数学の基礎付け訳者による解説とあとがき」
P314
(抜粋)
数学の基礎付けの研究は，数学が厳密でありさえすればよい，という価値観を確立しようとしているものではない.
これは自明のことのようにも思えるが，厳密性を数学と取りちがえるという勘違いは，
たとえば数学教育などで蔓延している可能性もあるので，
ここに明言しておく必要があるように思える
多くの数学の研究者にとっては，数学は，記号列として記述された「死んだ」数学ではなく，
思考のプロセスとしての脳髄の生理現象そのものであろう
したがって，数学はその意味での実存として数学者の生の隣り合わせにあるもの，と意識されることになるだろう
そのような「生きた」「実存としての」(existentialな)数学で問題になるのは，
アイデアの飛翔をうながす(可能性を持つ)数学的直観」とよばれるもので，
これは，ときには，意識的に厳密には間違っている議論すら含んでいたり，
寓話的であったりすることですらあるような，
かなり得体の知れないものである
(引用終り)

つづく

855: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 08/20(水)13:45 ID:n7uBTsIt(3/5)
つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E6%9C%B4%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
素朴集合論
https://en.wikipedia.org/wiki/Naive_set_theory
Naive set theory
Unlike axiomatic set theories, which are defined using formal logic, naive set theory is defined informally, in natural language.
Sets are of great importance in mathematics; in modern formal treatments, most mathematical objects (numbers, relations, functions, etc.) are defined in terms of sets. Naive set theory suffices for many purposes, while also serving as a stepping stone towards more formal treatments.
Method
A naive theory in the sense of "naive set theory" is a non-formalized theory, that is, a theory that uses natural language to describe sets and operations on sets.
Consistency
A naive set theory is not necessarily inconsistent, if it correctly specifies the sets allowed to be considered. This can be done by the means of definitions, which are implicit axioms.
Utility
The choice between an axiomatic approach and other approaches is largely a matter of convenience. In everyday mathematics the best choice may be informal use of axiomatic set theory. References to particular axioms typically then occur only when demanded by tradition, e.g. the axiom of choice is often mentioned when used.

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9C%8F%E8%AB%96
圏論
関連文献
竹内外史『層・圏・トポス　現代的集合像を求めて』日本評論社、1978年1月。ISBN 4-535-78109-5
(引用終り)
以上

865(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 08/20(水)16:34 ID:n7uBTsIt(4/5)
>>681
>整列可能定理の証明の方法で可算集合Xの整列順序を作るには選択関数f:2^X-{}→Xが必要。且つ|2^X-{}|は非可算。よって可算選択公理は役に立たない。
>一方で全単射g:N→Xが存在するからg(0)<g(1)<・・・で整列順序<を定義可能。（よって整列可能定理の証明の方法を取る必要が無い。よっていかなるタイプの選択公理も不要。）

中高一貫生も来る可能性があるので、赤ペン先生をしておく
まず
(参考)>>671-672より再録
１）下記可算選択公理 Axiom of countable choice ACω は
　”Application of ACω yields a sequence (Bn) n∈N ”
　つまり ω長さの sequence (Bn) n∈N を作る能力がある
２）一方 Axiom of dependent choice DC は下記
　”The axiom of dependent choice implies the axiom of countable choice and is strictly stronger.[4][5]
　It is possible to generalize the axiom to produce transfinite sequences.
　If these are allowed to be arbitrarily long, then it becomes equivalent to the full axiom of choice.”
３）要するに、DC は ACωより強力で ωを超えて ”produce transfinite sequences”だ
　また ”If these are allowed to be arbitrarily long, then it becomes equivalent to the full axiom of choice.”
　ってこと。つまりは、種々の選択公理の能力は、生成できる列長さで測ることができる■
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_countable_choice
Axiom of countable choice
The axiom of countable choice or axiom of denumerable choice, denoted ACω, is an axiom of set theory that states that every countable collection of non-empty sets must have a choice function.
Applications
ACω is particularly useful for the development of mathematical analysis, where many results depend on having a choice function for a countable collection of sets of real numbers.
Example: infinite implies Dedekind-infinite
As an example of an application of ACω, here is a proof (from ZF + ACω) that every infinite set is Dedekind-infinite:
Let X be infinite. For each natural number n, let An be the set of all n-tuples of distinct elements of X.
Since X is infinite, each An is non-empty.
Application of ACω yields a sequence (Bn) n∈N where each Bn is an n-tuple.
One can then concatenate these tuples into a single sequence (bn)n∈N of elements of X, possibly with repeating elements.
Weaker systems
Paul Cohen showed that ACω is not provable in Zermelo–Fraenkel set theory (ZF) without the axiom of choice. However, some countably infinite sets of non-empty sets can be proven to have a choice function in ZF without any form of the axiom of choice.
For example, Vω∖{∅} has a choice function, where Vω is the set of hereditarily finite sets, i.e. the first set in the Von Neumann universe of non-finite rank.
The choice function is (trivially) the least element in the well-ordering.
つづく

866(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 08/20(水)16:34 ID:n7uBTsIt(5/5)
つづき

Another example is the set of proper and bounded open intervals of real numbers with rational endpoints.
ZF+ACω suffices to prove that the union of countably many countable sets is countable. These statements are not equivalent: Cohen's First Model supplies an example where countable unions of countable sets are countable, but where ACω does not hold
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_dependent_choice
Axiom of dependent choice
In mathematics, the axiom of dependent choice, denoted by
DC, is a weak form of the axiom of choice (AC) that is still sufficient to develop much of real analysis. It was introduced by Paul Bernays in a 1942 article in reverse mathematics that explores which set-theoretic axioms are needed to develop analysis.[a]
Relation with other axioms
Unlike full AC, DC is insufficient to prove (given ZF) that there is a non-measurable set of real numbers, or that there is a set of real numbers without the property of Baire or without the perfect set property. This follows because the Solovay model satisfies ZF+DC, and every set of real numbers in this model is Lebesgue measurable, has the Baire property and has the perfect set property.
The axiom of dependent choice implies the axiom of countable choice and is strictly stronger.[4][5]
It is possible to generalize the axiom to produce transfinite sequences.
If these are allowed to be arbitrarily long, then it becomes equivalent to the full axiom of choice.
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%93%E5%B1%9E%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
従属選択公理(英語: axiom of dependent choice; DCと略される)
(引用終り)

１）いま、例示として自然数N={0,1,2,・・}を取る
　それを素直に整列させて 0,1,2,・・とすれば下記の順序数でいうところの列長さωになる
　これは、可算選択公理 ACω で可能
　ところが、もし偶数を先に全部並べて後奇数を並べると
　0,2,4,・・・、1,3,5,・・・となる。これは列長さω + ωであるから
　可算選択公理では一度には無理
（このように複雑な列構成の場合には可算選択公理の列ω長さの能力を超える場合がありうる）
２）同じ理屈で可算集合である有理数Qにおいて、Qから列長さω を生成することは可能だが
　Qを任意順にすべて整列することはACωでは不可
３）フルパワー選択公理ならば、任意列長さを出力可能

冒頭のオチコボレさんの妄言は、無意味■

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数（英: ordinal number）とは、整列集合同士の“長さ”を比較するために、自然数[1]を拡張させた概念である。
順序数の並び方を次のように図示することができる：
0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............, ω + ω
(引用終り)
以上

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