Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73 (696ﾚｽ)
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420(1): １３２人目の素数さん [] 08/09(土)11:19 ID:bw4CRSHc(1/6)
>>418
IUT、宇宙（下記）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
宇宙 (数学)
数理論理学において、構造 (もしくはモデル) の宇宙（英: Universe）とは議論領域のことである。
数学、とりわけ集合論や数学基礎論における宇宙とは、特定の状況において考察される実体のすべてを元として含むような類のことである。このアイデアにはいくつものバージョンがあるため、項目を分けて説明する。
ある特定の文脈において
おそらく最も単純なバージョンは、研究対象が特定の集合で閉じている限り、任意の集合が宇宙であるというものである。 もし研究対象が実数として形式化されていれば、実数の集合である実数直線 R は考察下において宇宙になりうる。 これは1870年代から1880年代にかけてゲオルク・カントールが実解析の応用として、初の現代的な集合論と濃度の開発に用いた宇宙である。 カントールが当時興味を持っていた集合は、R の部分集合だった。
この宇宙の概念はベン図の使用に反映されている。 ベン図において、作用は伝統的に宇宙 U を表す大きな四角形の内部に生じる。 一般的に集合が U の部分集合であれば、それは円によって表現される。集合 A の補集合は A の円の外側の四角形の部分によって与えられている。
通常の数学
主要な関心が X であっても、 X よりもかなり大きな宇宙が必要とされることになる。 上記のアイデアに続いて、X の宇宙としての 上部構造 が要請される。 これは次のような再帰的構造によって定義される。
略
集合 X の開始地点がどこであろうと、空集合 {} は S1X に属することに注意すること。空集合はフォン・ノイマン順序数 [0] である。さらに元が空集合のみの集合 {[0]} は、S2X に属する。これはフォン・ノイマン順序数 [1] である。同様に、{[1]} は S3X に属し、さらに {[0]} と {[1]} の和集合 {[0], [1]} も属するため、これはフォン・ノイマン順序数 [2] となる。このプロセスを続けていけば、すべての 自然数 はフォン・ノイマン順序数による上部構造の内部において表現される。
もし開始地点がちょうど X = {} ならば、数学で必要となる多くの集合は {} 上の上部構造の要素として現れる。しかし、S{} の要素のそれぞれは有限集合であろう！ 自然数のひとつひとつはそれに属すが、すべての自然数の集合 N は属さない（それは S{} の部分集合であるにもかかわらず）。実際、X 上の上部構造はすべての遺伝的有限集合から成る。このように、それは有限主義者の数学の宇宙と考えられる。時代をさかのぼれば、19世紀の有限主義者レオポルト・クロネッカーはこの宇宙において仕事をしたことが思い出される。彼は、それぞれの自然数は存在するが、集合 N（完全な無限）は存在しないと信じていた。
421(1): １３２人目の素数さん [] 08/09(土)11:27 ID:bw4CRSHc(2/6)
>>420
IUT、宇宙（下記）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
宇宙 (数学)
物事を単純に保つために、自然数の集合 N は所与として SN を形成し、N 上の上部構造をとってもよい。これはしばしば通常の数学の宇宙であると考えられる。通常研究される数学のすべてはこの宇宙の要素を参照していると考えるということである。例えば、普通の実数の構成（デデキントの切断）はどれも SN に属している。超準解析も自然数の超準モデル上の上部構造において行うことができる。
集合論
SNは通常の数学の宇宙であるという主張に正確な意味を与えることは可能である。すなわち、それはツェルメロ集合論のモデルである。
ツェルメロ集合論は公理的集合論および数学基礎論、特にモデル理論における他の研究のさらなる発展にとって不十分であった。劇的な例として、上述の上部構造プロセスの記述はツェルメロ集合論においてそれ自身実行できないことが挙げられる。最終ステップとして、無限和 (infinitary union) としてのSを形成するための置換公理が必要である。置換公理は、ツェルメロ＝フレンケル集合論を形成するように1922年にツェルメロ集合論に付加された。この公理集合は今日最も広く受け入れられている。そのため、通常の数学がSNにおいてなされるのに対し、SNの議論は"通常の"数学を越えてメタ数学の領域となる。
クルト・ゲーデルの構成可能集合 L と構成可能公理
到達不能基数は ZF のモデルと加法性公理を生じ、さらにグロタンディーク宇宙の集合の存在と等価である。
圏論
圏論に歴史的につながる宇宙への別のアプローチの方法がある。これはグロタンディーク宇宙と呼ばれる。大まかに言えば、グロタンディーク宇宙とは集合論の通常実行されるすべての操作を内部にもつ集合である
グロタンディーク宇宙において作業している場合、数学者はしばしば宇宙の公理を仮定する。"任意の集合 x に対し、x ∈U となるような宇宙 U が存在する。" この公理の重要な点は、任意の集合がいくつかの U に対して U-small が検討できることである。つまり一般的なグロタンディーク宇宙に内部で、任意の独立変数が適用されるということである。この公理は強到達不能基数の存在と密接に関係している。
423(1): １３２人目の素数さん [] 08/09(土)11:43 ID:bw4CRSHc(3/6)
>>421
IUT、宇宙（下記）
上記の圏論の宇宙 グロタンディーク宇宙が考えられた時期と平行して
強制法が考えられた
『直観的には、強制法は集合論の宇宙 V をより大きい宇宙 V* に拡大することから成り立っている』(下記)
そして、21世紀のいま、基礎論屋さんは
宇宙といえば、下記強制法の宇宙を連想する
そういう人に教えられた学生も同様だろう
”宇宙と宇宙をつなぐ”？？？
なんじゃらほい ？？？
となるのですｗ ；ｐ）
ここらは、望月さんには理解できないだろうね
グロタンディーク宇宙に関連する 用語「宇宙」しか頭になさそうだ
おそらく 加藤さんもね
ここらが、世間に無用の混乱のもとだった
”宇宙と宇宙をつなぐ”が、引き起こす無用の混乱
だが、それも 初期のわらい話で
もうその時期は過ぎただろう
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BC%B7%E5%88%B6%E6%B3%95
強制法
強制法が初めて使われたのは1962年、連続体仮説と選択公理のZFからの独立性を証明した時のことである。強制法は60年代に大きく再構成されシンプルになり、集合論や、再帰理論などの数理論理学の分野で、極めて強力な手法として使われてきた。
直観的意味合い
直観的には、強制法は集合論の宇宙 V をより大きい宇宙 V* に拡大することから成り立っている。 この大きい宇宙では、拡大する前の宇宙には無かった ω = {0,1,2,…} の新しい部分集合をたくさん要素に持っている。 そしてそれにより連続体仮説を否定することができる。が、このような議論は表面上不可能である。
原理的には、次のようなものを考える。
略
強制法はこのアイデアを洗練したもので、新しい集合の存在を認めて利用するというより、拡大された宇宙の性質を元の宇宙からよりよく操作することを許したものである。
コーエンの元々のテクニックは今ではramified forcing（英語版）と呼ばれるもので、強制法の説明によく使われるunramified forcingとは少々異なる。
可算推移モデルとジェネリックフィルター
強制法の鍵となるステップはZFCの宇宙 V に対して、V の要素でない適切な G を見つけることである。 結果としては G によるP-名前の解釈全てによるクラスが元々の V の拡大になるZFCのモデルになるようにする。
略
435(1): １３２人目の素数さん [] 08/09(土)23:19 ID:bw4CRSHc(4/6)
>>426
ふっふ、ほっほ
能ある鷹は爪を隠すが
能ない豚はシッポ出すｗ ；ｐ）
ID:hsNIq93d は、基礎論くんか
http://hissi.org/read.php/math/20250809/aHNOSXE5M2Q.html
2025年08月09日 > hsNIq93d
書き込みレス一覧
Inter-universal geometry とABC 予想58
177 ：１３２人目の素数さん[sage]：2025/08/09(土) 09:40:49.51 ID:hsNIq93d
そもそも「現今の数学との違いをキチンと完全に言語化する」以前にに現今の基礎論の基礎にちゃんと目を通さんといかんやろな
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73
426 ：１３２人目の素数さん[sage]：2025/08/09(土) 12:02:34.06 ID:hsNIq93d
なんでこんな能無しにこんな無礼な物言いされんといかんのかね
消えろゴミ
高木くんがアクセプトされるまで見守るスレ ★10
653 ：１３２人目の素数さん[sage]：2025/08/09(土) 19:57:39.11 ID:hsNIq93d
バカにすんな
(引用終り)
うんうん エライねキミ
うんうん ヒキコモリで毎日数学に取り組んで 日夜努力を重ねている？
で、投稿論文の一つでも出来たかな？ｗｗｗ
436: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 08/09(土)23:22 ID:bw4CRSHc(5/6)
>>433
死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ さん
いつもありがとう。
今後ともよろしく
>>434
あれ？ ID:pntqRxTqは、math jin ご本人？
いつも、Xの情報ありがとうございます
438(1): １３２人目の素数さん [] 08/09(土)23:45 ID:bw4CRSHc(6/6)
>>423 追加
・数学宇宙で、有名どころが3つ
Constructible universe L
Von Neumann universe V
Grothendieck universe U
・包含関係 L⊂V⊂U があります
ここで、Grothendieck universe U を
望月先生は、ZFCGなどと表現します
https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_universe
Von Neumann universe
In set theory and related branches of mathematics, the von Neumann universe, or von Neumann hierarchy of sets, denoted by V, is the class of hereditary well-founded sets. This collection, which is formalized by Zermelo–Fraenkel set theory (ZFC), is often used to provide an interpretation or motivation of the axioms of ZFC. The concept is named after John von Neumann, although it was first published by Ernst Zermelo in 1930.
https://en.wikipedia.org/wiki/Constructible_universe
Constructible universe
In mathematics, in set theory, the constructible universe (or Gödel's constructible universe), denoted by
L, is a particular class of sets that can be described entirely in terms of simpler sets.
L is the union of the constructible hierarchy Lα.
It was introduced by Kurt Gödel in his 1938 paper "The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum-Hypothesis".[1] In this paper, he proved that the constructible universe is an inner model of ZF set theory (that is, of Zermelo–Fraenkel set theory with the axiom of choice excluded), and also that the axiom of choice and the generalized continuum hypothesis are true in the constructible universe. This shows that both propositions are consistent with the basic axioms of set theory, if ZF itself is consistent.
https://en.wikipedia.org/wiki/Grothendieck_universe
In mathematics, a Grothendieck universe is a set U with the following properties:
略
The existence of a nontrivial Grothendieck universe goes beyond the usual axioms of Zermelo–Fraenkel set theory; in particular it would imply the existence of strongly inaccessible cardinals. Tarski–Grothendieck set theory is an axiomatic treatment of set theory, used in some automatic proof systems, in which every set belongs to a Grothendieck universe. The concept of a Grothendieck universe can also be defined in a topos.[1]
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