Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73 (690ﾚｽ)
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220(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 08/02(土)10:27 ID:WzsFWnhL(1/11)
>>219
そのURL は
詩想社刊絶対「謝らない人」
自らの非をけっして認めない人たちの心理
榎本博明（著）
新書判　200ページ　2025年6月3日発売
内容紹介
いま、急増している「絶対謝らない人」たち・・・
「謝ったら死ぬ病」を読み解く。

ネットで炎上を繰り返す懲りないインフルエンサー、
過ちを指摘されても決して非を認めない政治家、
責められても屁理屈をこねて「言い負かす」ことに執着する著名人、
自分の失態だけはなぜかスルーする職場の同僚、
謝罪すべきなのに常に上から目線でイラっとさせる知人、
ミスを指摘するとむきになって反論してくる部下・・・
なぜいま、「謝ることのできない日本人」が増えてきたのか
略
なぜある種の人たちは、そこまで謝罪を忌避し、
自己正当化にこだわるのか。
「絶対謝らない人」の
いびつな心理を読み解く。
目次
第１章　何があっても「謝らない人」が増えてきた
・ミスを指摘されると謝るどころかキレる人
・平気で見え透いた言い訳をする人
(引用終り)

だね
なるほどね
それゴキブリくんのことだね

　>>213より再録
(引用開始)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiomes_de_Peano
Axiomes de Peano
(google仏語訳)
ペアノの公理
存在と唯一性
集合N は、 0 が属し、かつ後続集合に関して閉じているすべての集合の共通集合である。
(引用終り)

この仏 wikipediaにある自然数の集合Nは、無限集合として最小であり
無限公理では、無限集合に含まれる部分として規定される
即ち、無限公理で認められる無限集合には、必ず自然数の集合Nが含まれ
集合N より小さい集合は、有限集合だから繰り返すが無限集合として最小
結果的にそうなる

問題は、無限公理で規定された無限集合に含まれる部分の集合Nを
公理的集合論として公理のみを使って如何に集合Nを取り出すか？

いま2025年現在では、分出公理を使うのが主流でスッキリしている
例えば無限公理のwikipedia
日 ”無限集合Iから自然数を抽出する” https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86
英 ”Extracting the natural numbers from the infinite set” https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_infinity
仏 ”L'ensemble des entiers naturels” https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_de_l%27infini
など

記号∩を使う問題点は
１）記号∩自身は、ZFCの公理ではない（和集合の公理はあるが）
２）記号∩を使った式から、きちんと ”公理のみを使って如何に集合Nを取り出すか？”の証明が困難で面倒
ってことですね

ゴキブリくんは、えらく記号∩を使うことに執着しているｗ　；ｐ）

226(4): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 08/02(土)11:26 ID:WzsFWnhL(2/11)
補足 >>157で
(引用開始)
>>104より
１）の ωa ＝ ∩a^、 a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)}、P(a) は a の「冪集合」、「x は無限集合である」という命題を M(x)
２）の N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}、Aは無限公理により存在する集合を任意に選んだ
この二つの式で前者１）の a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)} は、冪集合 P(a)の殆ど全てを渡る集合族である
∵ aは無限公理の一つの無限集合を選んだもので、P(a)は非可算濃度以上で M(x)＝「x は無限集合である」だから
（つまり、 P(a)から有限集合を除いた集合族が a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)} （つまり P(a)の無限集合の部分））
一方、後者２）の {x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}は、冪集合公理 P(A) を使っていない（使うと言ってない）
だから、Aが無限公理の一つの無限集合を選んだものとして、Aが可算の場合に
集合族 {x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}は、非可算の集合族にはできません！
冪集合公理 P(A) を使わない限り、非可算の集合族にはできません！！ｗｗｗ
(引用終り)

さて
１）上記の１）と２）の式は、記号∩を使っているところは同じだが
　∩につづく集合族が異なる
　上記を繰り返すが、１）の式は a の「冪集合」P(a)の無限集合部分をその族としている
　（既に述べたようにこれは非可算の族になる）
　一方、N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}の方も A(＝無限集合)の何かの部分集合から成る族だ
　だから、両者は異なる
２）簡単に下記順序数を使って説明する
　”すべての順序数は自分自身より小さな順序数全体の集合と等しい”から
　 S(S(S(ω)))＝{0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω),S(S(ω))}だ
　これは、無限集合なので a＝S(S(S(ω))) と取るよ
　すると、「冪集合」P(a)で、部分集合として
　ω={0, 1, 2, 3, ............}(つまりこれはNだが)が存在する
　ここで、命題 M(x)：＝「x は無限集合である」を、無限という言葉を使わずうまく定義できればOKだ
　問題は公理的集合論で ”無限”の定義をどうするか？
　ここで行き詰まる（良い知恵があれば、教えてね；ｐ）
３）一方、N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}の方では
　同様に A＝S(S(S(ω))) と取るとき
　{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]} が、帰納的な無限集合を意味するとして
　S(ω)とS(S(ω))の両方が適合するよね
　S(ω)⊂S(S(ω))なので（∵すべての順序数は自分自身より小さな順序数全体の集合と等しい）
　従って、積 S(ω)∩S(S(ω))＝S(ω)≠ω となるよね
　つまり、上記２）においては集合族 {x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}に
　必ず最小のωが含まれていなければならないが、その保証がない！（要証明）

まとめると、上記１）式は、命題 M(x)：＝「x は無限集合である」が集合公理で定義できれば
ωを含むので ωを出せる
上記１）式は、最小のωが含まれていることの集合公理を使った証明が必要だね

上記１）２）式とも、気持ちは分るが公理的な目からは不十分では？
その点、分出公理だけを使う無限公理のwikipedia の手法(>>220)は、スッキリで是認できる■ （＾＾

つづく

227: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 08/02(土)11:26 ID:WzsFWnhL(3/11)
つづき

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数
順序数の大小関係
略
この定義と順序数の要素はまた順序数であるという性質から、すべての順序数は自分自身より小さな順序数全体の集合と等しいと言うことができる
略
順序数の並び方を次のように図示することができる：
0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............, ω + ω, S(ω + ω), S(S(ω + ω)), S(S(S(ω + ω))), ..............................
(引用終り)
以上

233(9): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 08/02(土)13:45 ID:WzsFWnhL(4/11)
>>230
(引用開始)
>>226
>{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]} が、帰納的な無限集合を意味するとして
>S(ω)とS(S(ω))の両方が適合するよね
だからしないと言ってるのに言葉が通じないの？　言語障害？
実際、ω∈S(ω) だが、S(ω)∈S(ω) なら正則性公理違反だから、S(ω)は後者関数に関して閉じてない、よって帰納的集合ではない。
(引用終り)

ふっふ、ほっほ
なるほどでは、

{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]} が、帰納的な無限集合を意味するとして
　↓
{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]} が、帰納的な無限集合ωを含む集合を意味するとして
に修正しようね

もっとも、式 {x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}は、>>226からの引用だが
それは、下記のja.wikipedia ペアノの公理「自然数の集合論的構成」と称する

だれが書いたか出典不明の記載でしかないのです
だから、私にもその真意は分らない、書いた人にしか分らないはずだ

ところが、ゴキブリくんは、この誰が書いたか分らない
いわば道端に落ちていた真意不明腐っているかも知れない式を必死に擁護するのが（なんかヘンですよねぇｗｗ）

式 {x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}に
見つけた中で一番近いのが下記の独 de.wikipedia Infinity axiom（無限公理）
の ”∃A:(∅∈A∧∀x:(x∈A⇒x∪{x}∈A))” だと思う

つまり前者の式は、後者の式の無限集合Aの部分集合を意図*)していると思うのだが
(注*)ある無限集合Aにおける帰納的の部分を含むなにか無限である部分を意図しているらしい)

ここで、問題は >>226の ω(=N)＝{0, 1, 2, 3, ............}が、きっちり導けるのかだがそれ大問題です
つまり、下記ペアノの公理の式 N:=∩ {x⊂A∣∅∈x∧∀ y [y∈x→y∪{y}∈x]} において

{x⊂A∣∅∈x∧∀ y [y∈x→y∪{y}∈x]} 自身は、おそらくは殆ど ω自身ではないはずだ
（なにか ω自身が存在してそれを特定できるならばそれをωとして定義すれば良いだけだから）

そこで ω自身を特定できない前提で、ワケ分らず集合積∩を作って
これぞ、自然数 Nです！　Nの定義ですってか？笑わせんなよおいｗｗ；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
ペアノの公理
自然数の集合論的構成
集合論における自然数の標準的な構成法としては
・N:=∩ {x⊂A∣∅∈x∧∀ y [y∈x→y∪{y}∈x]}
・0:=∅
・S(x):=x∪{x}
がある。ただしここでAは無限公理により存在する集合を任意に選んだものである

https://de.wikipedia.org/wiki/Unendlichkeitsaxiom
（google 独→日訳）
Infinity axiom
formulation
There are a infinity set
A, which is the empty set ∅ and with each element x∈A also the amount x∪{x} contains.
∃A:(∅∈A∧∀x:(x∈A⇒x∪{x}∈A))
The infinity axiom does not merely postulate, as the name might suggest, the existence of any infinite set.

234: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 08/02(土)13:49 ID:WzsFWnhL(5/11)
>>233 タイポ訂正

いわば道端に落ちていた真意不明腐っているかも知れない式を必死に擁護するのが（なんかヘンですよねぇｗｗ）
　↓
いわば道端に落ちていた真意不明腐っているかも知れない式を必死に擁護する（なんかヘンですよねぇｗｗ）

細かいが念のため

235: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 08/02(土)14:05 ID:WzsFWnhL(6/11)
>>233 誤訳訂正
(引用開始)
（google 独→日訳）
Infinity axiom
formulation
There are a infinity set
(引用終り)

”There are a infinity set”が
文法上主語単数なのに be 動詞が are とは、これいかにｗ　；ｐ）
まあ、ご愛敬です

251(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 08/02(土)19:42 ID:WzsFWnhL(7/11)
>>245 & >>249-250
　ID:rqMubN8o ？
　ID:rqMubN8o は、どなたか？
ひょっとして、御大のご帰還か？

252: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 08/02(土)20:01 ID:WzsFWnhL(8/11)
>>233 追加
夏のゴキブリは、元気だなｗ　；ｐ）
さて、ここは IUTスレなので関連で下記を追記する

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_universe
Von Neumann universe
<部分google訳)>
フォン・ノイマン宇宙、あるいはフォン・ノイマン集合階層は、遺伝的整基礎集合のクラスであり、 Vと表記される。この集合はツェルメロ・フランケル集合論(ZFC)によって形式化され、ZFC の公理の解釈や根拠を示すためにしばしば用いられる。この概念はジョン・フォン・ノイマンにちなんで名付けられたが、1930年にエルンスト・ツェルメロによって初めて発表された。
整集合の階数は、その集合のすべての要素の階数よりも大きい最小の順序数として帰納的に定義される。[ 1 ]特に、空集合の階数は0であり、すべての順序数はそれ自身と等しい階数を持つ。V内の集合は、その階数に基づいて、累積階層と呼ばれる超限階層Vα に分割される。

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/50/Von_Neumann_Hierarchy.svg/700px-Von_Neumann_Hierarchy.svg.png

An initial segment of the von Neumann universe. Ordinal multiplication is reversed from our usual convention; see Ordinal arithmetic.

クラスVは、すべてのVステージの和集合として定義されます。
V:=⋃αVα。

階層の有限および低カーディナリティ段階
最初の 5 つのフォンノイマン段階V 0からV 4は、次のように視覚化できます。(空のボックスは空集合を表します。空のボックスのみを含むボックスは、空集合のみを含む集合を表します。以下同様です。)

つづく

253: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 08/02(土)20:01 ID:WzsFWnhL(9/11)
つづき

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/83/Von_Neumann_universe_4.png

この数列はテトレーション成長を示す。V 5 の集合には2^16 = 65536 個の要素が含まれる。V 6の集合には2^65536個の要素が含まれるが、これは既知の宇宙に存在する原子の数を大幅に上回る。
そして、任意の自然数列に対して
n集合Vn +1には 2↑↑n
クヌースの上矢印記法を用いて、要素を記述する。
したがって、累積階層の有限段階は、段階5以降は明示的に記述できない。
集合Vω はω と同じ濃度を持つ。集合V ω+1は、実数の集合と同じ濃度を持つ。

応用と解釈
集合論のモデルとしてのVの応用
ω が自然数の集合ならば、V ω は遺伝的に有限な集合の集合であり、これは無限公理を持たない集合論のモデルである。[ 2 ] [ 3 ]
V ω+ωは「通常の数学」の宇宙であり、ツェルメロ集合論のモデルである（ただしZFのモデルではない）。[ 4 ] V ω+ω の適切性を支持する単純な議論は、V ω+1 が整数に適切であり、V ω+2 が実数に適切であり、他のほとんどの通常の数学は、V ω+ωの外に出る置換公理を必要とせずに、これらの集合からさまざまな種類の関係として構築できるという観察である。

κ が到達不可能な基数である場合、V κはツェルメロ–フランケル集合論(ZFC)のモデルそのものであり、 V κ+1 はモース–ケリー集合論のモデルである。[ 5 ] [ 6 ]（すべての ZFC モデルは ZF モデルでもあり、すべての ZF モデルは Z モデルでもあることに注意。）

Hilbert's paradox
Interestingly, x is a subset of V if, and only if, x is a member of V.
Therefore, we can consider what happens if the union condition is replaced with
x∈V⟹∪x∈V.
In this case, there are no known contradictions, and any Grothendieck universe satisfies the new pair of properties.
However, whether Grothendieck universes exist is a question beyond ZFC.

つづく

254: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 08/02(土)20:01 ID:WzsFWnhL(10/11)
つづき

https://en.wikipedia.org/wiki/Grothendieck_universe
Grothendieck universe
<部分google訳)>
グロタンディーク宇宙は、あらゆる数学を実行できる集合を提供することを意図している。（実際、無数グロタンディーク宇宙は、自然な∈関係、自然な冪集合演算などを備えた集合論のモデルを提供する。）
宇宙のアイデアは、アレクサンダー・グロタンディークによるもので、彼は代数幾何学において固有類を回避する方法として宇宙を用いた。
グロタンディーク宇宙と到達不可能な基数
大まかに言えば、これはグロタンディーク宇宙が強近似不可能基数と同値である

Grothendieck universes and inaccessible cardinals
Since the existence of strongly inaccessible cardinals cannot be proved from the axioms of Zermelo–Fraenkel set theory (ZFC), the existence of universes other than the empty set and
Vω cannot be proved from ZFC either. However, strongly inaccessible cardinals are on the lower end of the list of large cardinals; thus, most set theories that use large cardinals (such as "ZFC plus there is a measurable cardinal", "ZFC plus there are infinitely many Woodin cardinals") will prove that Grothendieck universes exist.

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%82%AF%E5%AE%87%E5%AE%99
グロタンディーク宇宙
宇宙のアイデアは、アレクサンドル・グロタンディークが代数幾何において真のクラスを回避する方法として導入したことに起因する。
グロタンディーク宇宙は、すべての数学が実行可能な集合を与える（実際には、集合論のためのモデルを与える）。

つづく

255: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 08/02(土)20:02 ID:WzsFWnhL(11/11)
つづき

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/papers-japanese.html
宇宙際Teichmuller理論
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20IV.pdf
[4] Inter-universal Teichmuller Theory IV: Log-volume Computations and Set-theoretic Foundations. PDF
　　NEW !! (2020-04-22)
Ｐ67
Section 3: Inter-universal Formalism: the Language of Species

We shall refer to a ZFC-model that also satisfies this additional axiom of the
Grothendieck school as a ZFCG-model. This existence axiom (†G) implies, in particular, that:

P68
Although we shall not discuss in detail here the quite difficult issue of whether or not there actually exist ZFCG-models, we remark in passing that it may be possible to justify the stance of ignoring such issues in the context of the present series of papers
— at least from the point of view of establishing the validity of various “final results” that may be formulated in ZFC-models —
by invoking the work of Feferman [cf. [Ffmn]].
Precise statements concerning such issues, however, lie beyond the scope of the present paper [as well as of the level of expertise of the author!].
<google訳>
ZFCGモデルが実際に存在するかどうかという極めて難しい問題については、ここでは詳しく議論しませんが、本論文シリーズの文脈において、そのような問題を無視する立場を正当化するために、Fefermanの研究[cf. [Ffmn]]を援用することが可能かもしれないことを付け加えておきます。
しかしながら、そのような問題に関する正確な記述は、本論文の範囲を超えており[著者の専門知識のレベルを超えています！]。
(引用終り)
以上

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