Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73 (690ﾚｽ)
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203: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 08/01(金)10:56 ID:N5g2niEk(1/4)
>>202
死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツさん
ありがとうございます。

204(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 08/01(金)11:10 ID:N5g2niEk(2/4)
>>199-201
(引用開始)
>但し、どの公理をどう使うかは、明示しなければならない！！！（下記公理 ja.wikipedia）
下記とやらに君の持論は一言も書かれてなくて草。
妄想はダメだよ。
(引用終り)

ふっふ、ほっほ
踏みつけたゴキブリが、まだ動いているなｗ　；ｐ）

ゴキブリは、実に初歩的な段階から
数学の公理の考え方が、根本からズッコケか？ｗｗ

やれやれ、あきれても物も言えないぜよｗ
数学の公理は、その公理系の中で
・人は使う権利があるいつでもどこでも何度でもね何度使ってもタダｗｗ；ｐ）
　人は、ここでこの公理を使います使いましたという必要がある
・一方、使わない権利もある。そのときは、何も言わなくてもいい
　「使いました」と言わなければ、その公理は当然適用されない
・例外として、業界標準デフォルトがある。何も言わなければ便宜として適用される
　だが、普通デフォルトは、業界の常識となっている場合であり、丁寧な数学教科書には必ず冒頭に断り書きがある

常識の無いゴキブリが、数学科１年生の１日目で目を白黒させて落ちコボレになった？
数学公理の考え方の基本が分かってないんだ
だったら、落ちコボレは当然

209(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 08/01(金)15:48 ID:N5g2niEk(3/4)
>>206
>「公理を使う」「公理を使うと言う（明示する）」の意味がよく分からないかな。
>ある公理がなければ充足されない論理式を示してその充足を主張すれば、それは（暗黙的かもしれないけれど）公理を使っていることになるのでは。「ZFC公理の中では、命題は集合の言葉で書かれるからどの公理を使ったかは自然に明記される」（>>185）というのは、そういう意味かと思っていたんだけど。

コメントありがとうございます。スレ主です

１）直接回答するまえに、ちょっと事例を考えよう
　数学論文や教科書において
　数学論文で査読があるとして、査読者が分かるように書く必要があるよね
　そのときに、査読者及び想定読者が読んで分かる範囲で、どういう公理を使って
　定理があって、結論の命題なり定理が出るか？
　そのために、論理のスジを追うための使う公理の明示は必須です
　（その専門分野では常識だとか、繰り返し適用される公理は冒頭で断って略すことはありとして）
　教科書でも、想定される読者のレベルを考えて、丁寧な記述が求められる
　雑に書くと、読者はついてこれない
２）これ以外に、インフォーマルな討論会の場や
　市民講演になると、そのときどきで例外はありうる
３）さて、いまのZFC公理系における最初の無限集合たる自然数の集合Nについて
　無限公理からどのように導かれるか？
　これも、いろんな考えがあるとしても一番丁寧なのはどの公理を使って
　どのように無限公理から自然数の集合Nが導かれるかを明示的に分かり易く示すことが大事
４）そもそも論に戻ると、下記の Natural number にあるように、古代エジプトの昔から人類は
　自然数を使ってきた。19世紀の終わりにカントールやデデキントが素朴集合論を考えた
　そこに、ラッセルのパラドックス。集合論を公理化してパラドックスを回避することになった
　ラッセルのパラドックスは、無制限に集合概念を広げたからだという。よって、公理化で集合概念を制限すべし
５）自然数の無限集合Nは、実際公理的集合論によって実現された。1920年代だから、いまから100年ほど前の話
　下記の fr.wikipedia ペアノの公理の記述が参考になるだろう
　”集合N は、 0 が属し、かつ後続集合に関して閉じているすべての集合の共通集合である”とあります（結果としては）
　また、”無限公理により、それらが集合を形成することを証明できます”とある
　では、その具体的証明やいかに？
　無限公理から出来るだけすっきりと、使う ZFC公理を明示した形の証明が望ましいことには、同意頂けるだろう
６）下記の”後続集合に関して閉じているすべての集合の共通集合である”は正しいが
　既に述べたように多くの人は、無限公理集合から分出公理で集合Nを取り出しています
　”共通集合”だから記号∩を使うというのは、だれしも考えるかもしれないが・・
　どっこい記号∩は ZFCの直接の公理ではないのだ（和集合の公理はあれど）
　だから、記号∩の使用を避ける方がスッキリでしょ
　記号∩を使うならば、よほどしっかり論述しないといけないよねｗ　；ｐ）

つづく

210(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 08/01(金)15:49 ID:N5g2niEk(4/4)
つづき
　
(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Natural_number
Natural number
History
The ancient Egyptians developed a powerful system of numerals with distinct hieroglyphs for 1, 10, and all powers of 10 up to over 1 million. A stone carving from Karnak, dating back from around 1500 BCE and now at the Louvre in Paris, depicts 276 as 2 hundreds, 7 tens, and 6 ones; and similarly for the number 4,622. The Babylonians had a place-value system based essentially on the numerals for 1 and 10, using base sixty, so that the symbol for sixty was the same as the symbol for one—its value being determined from context.[11]

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%83%E3%82%BB%E3%83%AB%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9
ラッセルのパラドックス

https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiomes_de_Peano
Axiomes de Peano
(google仏語訳)
ペアノの公理
ペアノ算術は有限公理化可能ではない[ 5 ]。しかし、言語を二階変数（述語変数）で拡張し、理解を一階論理式に制限することで、この新しい言語において、元の言語のペアノ算術と同じ結果をもたらす有限公理系を得ることができる（ツェルメロ＝フランケル集合論に対するフォン・ノイマン＝ベルネイス＝ゲーデル集合論と同様）。
存在と唯一性
集合N は、 0 が属し、かつ後続集合に関して閉じているすべての集合の共通集合である。Aが後続集合に関して閉じているとは、 Aの任意の要素aに対して、その後続集合s ( a ) が依然としてAの要素であることを意味する。この定義が正しいためには、そのような集合が少なくとも1つ存在する必要がある。これは無限公理によって保証される。
各有限基数を表す集合を単純かつ統一的な方法で構築することができます（このように構築された整数nは、基数nに対して集合として存在します）。無限公理により、それらが集合を形成することを証明できます。
(引用終り)
以上

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