Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73 (730ﾚｽ)
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265(3): １３２人目の素数さん [] 08/03(日)17:45 ID:2sRhWGI4(1/2)
（>>208より引用開始）
∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}
は、{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]を満たす
もっとも小さい集合となっている
理解すべきはこれだけ
{0,1,2,・・・} であることではない
（引用終了）
定義
{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]を満たす集合xを帰納的集合と呼び、xが帰納的集合であることをφ(x)と書く。
Aを任意の帰納的集合とする。
N:=∩{x⊂A|φ(x)}
補題１
帰納的集合の族の共通部分は帰納的集合である。
∀X:((∀Y∈X:φ(Y))→φ(∩X))
証明
Xを帰納的集合の族とする。
Xの任意の元（帰納的集合）は{}を持つから∩Xも{}を持つ。
∩Xがxを持つなら、Xの任意の元（帰納的集合）もxを、従ってx∪{x}を持つから、∩Xはx∪{x}を持つ。
以上で∩Xは帰納的集合の定義を満たしていることが確認された。
系１−１
Nは帰納的集合。
証明
Nの定義と補題１による。
定理２
Nは任意の帰納的集合に含まれる。
証明
Nの任意の元nを持たない帰納的集合Bが存在すると仮定。
C:=A∩BはBの部分集合だからnを持たず、またAの部分集合且つ補題１より帰納的集合だからC∈{x⊂A|φ(x)}
Nの定義よりNはCの部分集合のはずだからnを持たないはずであり矛盾。
よってNの任意の元nを持たない帰納的集合は存在しない、すなわち任意の帰納的集合はNの任意の元を持つ、すなわちNは任意の帰納的集合に含まれる。
系２−１
N上の命題関数P(n)が下記条件をすべて満たすなら∀n∈N(P(n))
・P({})
・∀n∈N(P(n)→P(n∪{n}))
証明
M:={n∈N|P(n)}と定義。M⊂N・・・?。
条件より{}∈M∧∀n[n∈M→n∪{n}∈M]だからMは帰納的集合。よって定理２よりN⊂M・・・?
?と?よりN=M、すなわち∀n∈N(P(n))。
これを数学的帰納法と呼ぶ。
(N,{},S(n):=n∪{n})がペアノの公理の残りを満たすことは容易に示せるだろう。
266: １３２人目の素数さん [] 08/03(日)17:59 ID:2sRhWGI4(2/2)
課題はNがペアノの公理を満たすことを示すこと。
間違ってもN={0,1,2,・・・}であることを示すことではない。
てか0,1,2,・・・って何だよｗ ZFのどの公理も謳ってないぞｗ
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