Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73 (766ﾚｽ)
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79(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 07/30(水)10:21 ID:2NlqhhKB(1/3)
いまの基礎論の議論は、IUTとも関連している
IUTの当初から、望月氏は 数学基礎論に疎いという話があった(下記)
私もそうは思うが、下記
”論文の構成上、宇宙際タイヒミュラー理論の正当性とは関係ないとみられている”
という見方がある
ともかく、ゴキブリは 踏みつけなければならない から、そうしているｗ ；ｐ）
(参考)
https://ja.ｙｏｕｒpedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%9A%9B%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
宇宙際タイヒミュラー理論
数学基礎論による厳密な定式化
グロタンディーク宇宙や種の言語と呼ばれる理論により宇宙際の議論の数学的定式化の構想をしている
種の言語
構造の種はAndre Joyalにより導入されたと考えられ、離散数学では集合・関数・圏・木・オペラッド・グラフなどと同様の基本的な組合せ論的概念と考えられている。しかし多くの数学者が同様の概念を異なる表記で研究してきた。構造とはあらゆる数学的概念が展開できるほど基本的な領域であり、この構造間の転送となる関数が種と定義される場合が多い。集合や圏なども具体例としてとることができる。 定義は以下で与えられる
略
このようにきわめて基本的な数学対象であるとともに、圏論の計算を可能にもする
グロタンディーク宇宙
公理から論理的演繹のみであらゆる数学を展開できるとされる公理的集合論ZFCのモデルとなる集合は、宇宙などと称されることが多い。圏の一般理論はZFCだけでは展開できないが、ZFCに新たに別の公理を加えたZFCGにおいては展開できるようになる。このモデルとなるのがグロタンディーク宇宙である
グロタンディーク宇宙とは以下の定義で与えられる集合 U である：
1.x∈U,y∈x⇒y∈U（ U は推移的集合）
2.x,y∈U⇒{ x,y }∈U
3.x∈U⇒x のベキ集合P(x)∈U
4.略
ZFCに付け加える公理、つまり論理式によってことなるモデルであるグロタンディーク宇宙が無数に作れるようになる。このとき、ZFCで成り立つ論理式の集まりをひとつの構造とみなす。すると種の理論によって別の構造や種との理論が作られる。種の理論は決定的なアルゴリズムとして利用する。（ただし、通常の自己同型がこの理論では自己言及による非決定性問題となるという困難の解消が必要だという。）このような視点が'宇宙際'幾何という名称の由来となっているとしている
以下の問題点が指摘されている
・同じ言語上の二つの理論において、保存的拡大という用語を使用している。特にZFCGはZFCの保存的拡大ではない
・ZFCは無限個の公理からできている。仮に有限個の公理型に分類しても定式化の仕方によるので9個とは言い切れない
これらは細部や用語上の問題ではなく、一階述語論理などの基本的な性質に関連するため、Inter-universal Teichmuller Theory IV の Section3 は集合論や数理論理学における文脈では意味をなさない主張になっており、著者が数理論理学について理解をしていない可能性があるという意見がある（ただし論文の構成上、宇宙際タイヒミュラー理論の正当性とは関係ないとみられている）
82(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 07/30(水)18:17 ID:2NlqhhKB(2/3)
>>77
>内包公理の存在がラッセルのパラドックスの直接原因。抑制はもっぱら内包公理の排除による
ふっふ、ほっほ
踏みつけたゴキブリが、まだ動いているなｗ ；ｐ）
下記の東北大 尾畑研 ”2.3 ラッセルのパラドックス”を 百回音読してねｗ （＾＾
(参考)
https://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/
東北大 尾畑研
「集合・写像・数の体系 数学リテラシーとして」の草稿(pdf)
https://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_02.pdf
TAIKEI-BOOK : 2019/1/1(22:21)
第2章 集合
P32
2.3 ラッセルのパラドックス
19世紀末から20世紀初頭にかけて数学は論理に帰着しうるという思想(論理主義)が盛んになった
その最初の論客はフレーゲであったフレーゲは論理主義の立場から自然数論と実数論を純粋に論理から組み立てようとして「算術の基本法則」(1893)を著した
広くは読まれなかったようであるがこの本を手にしたラッセルはフレーゲに書簡を送り後年ラッセルのパラドックスと呼ばれることになる矛盾を指摘した(1902年)
ラッセルは述語論理を用いて矛盾を指摘したがそれを集合の言葉に翻訳すると次のようになる
まず集合は次の2種類に分類できる
第I種 自分自身をその元として含む X∈X
第II種 自分自身をその元として含む X not∈X
第I種集合としては例えば「すべての集合の集合」「食べられないものの集合」「無生物の集合」などが考えられる
ここで第II種集合をすべて集めてでき
る集合をKとおこう つまり
K={X | X not∈X}
Kは第I種であるかあるいは第II種であるかのいずれかである
まずは第I種ではない なぜならば第I種であれば K ∈Kが成り立たねばならない
が集合Kの定義から このようなKは 集合Kの元にならないので K not∈K
となる これはKを第I種であるとした初めの仮定に矛盾する ならばKは
第II種集合だろうか Kが第II種集合であればその定義からK not∈K
この性質をもつ集合は 集合Kの定義(2.9)によってにK属するからこの
性質をもつ集合は集合の定義によってに属するから K ∈K
略
ラッセルは「型理論」(1903)によってパラドックスを解消しその後ホワイトヘッドとの共著
「数学原理」(1910-1913 全3巻 2000ページに迫る大著によって高階述語論理上で全数学を
展開するという取組みを推進した
略
ラッセルのパラドックスは集合論の矛盾を突いているように見えるが
今日から見れば何が集合であり何が集合でないのかを設定し切れていなかったということである
厳密を旨とする現代数学では一群の公理系を設定して
それのみを用いて論理的に導き出された結果を集積することで
理論が構築される
集合論も例外ではなくパラドックス解消の努力の中で集合の定義(公理)が明確
化されて公理的集合論が構築された結局ラッセルのパラドックスを引き起こすは集合とは認めないこととなった
矛盾を引き起こした問題を先送りして根本的解決から逃げてしまったようにも見えるが
多くの人々の努力によって現代数学を展開する上で十分な自由度が確保された集合論が出来上がっている
なお集合の公理については第節で少し触れることにする
83(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 07/30(水)18:27 ID:2NlqhhKB(3/3)
>>82
ついでに
(参考)
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~cs/indexj.html
京都大学数理解析研究所コンピュータ・サイエンス研究部門
長谷川 真人 （はせがわ・まさひと） （教授）
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~cs/cs2011_hasegawa.pdf
自己言及の論理と計算∗
長谷川真人
自分自身について述べることの難しさと面白さは，日常誰でも経験することだと思います．以下では，数理論理学と計算機科学の密接な関係を示す好例として，自己言及から生じる様々なパラドックスなどの数理論理学における問題，また自分自身を呼び出すような再帰的なプログラムやデータ構造に関する問題などについて，統一的な視点から考察します．また，後半では，自己言及現象の自明でないモデルの例を，実際に構成します．
目次
I 自己言及と対角線論法
１ ラッセルの逆理
２ カントールの対角線論法
以下略
１ ラッセルの逆理
ラッセル（Russell, B.A.W., 1872-1970）は，有名なパラドックスを指摘することにより，安易な集合論の定式化が矛盾をひきおこすことを示した．ラッセルのパラドックス(のよく引用されるヴァージョン)とは以下のようなものである．
ラッセル集合とは，それ自身を要素として含むような集合のことであるとする．
すなわち，X ∈ Xであるような集合Xのことをラッセル集合とよぶことにする．
さて，Mを，ラッセル集合でないような集合の集合であるとしよう1．
このとき，M自身はラッセル集合だろうか？
もしMがラッセル集合だとすると，ラッセル集合の定義よりM∈Mである．
しかし，これはMの元はラッセル集合ではないことと矛盾している．
ところが，Mをラッセル集合ではないと仮定してみても，Mはラッセル集合でないような集合の集合だったから，
M∈Mであり，したがってMはラッセル集合となる．
以下では，導入として，この良く知られたパラドックスと，
数学基礎論や計算の理論などにおける関連した話題について解説する．
その後，それらに共通する数学的構造を，一種の不動点定理として定式化し，
一般的な視点から考察する．
ところどころで数学基礎論，直観主義論理，圏論，プログラミング言語などの知識を要するところも出てくるが，馴染みのない事柄については，とりあえずとばして頂いてかまわない．
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