Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73 (668ﾚｽ)
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637(2): １３２人目の素数さん [] 08/14(木)10:52 ID:1dI79/KQ(1/8)
>>571 補足
(引用開始)
>>499の 2017春(首都大東京) 薄葉季路（早大理工）集合論の宇宙 -UniverseとMultiverse- (企画特別)
発表スライド『集合論の宇宙　Universe と Multiverse』
https://www.mathsoc.jp/meeting/kikaku/2017haru/2017_haru_usuba-p.pdf
における Multiverseの視点
(引用終り)

さて
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20IV.pdf
Inter-universal Teichmuller Theory IV: Log-volume Computations and Set-theoretic Foundations. PDF (2020-04-22)
P67
Section 3: Inter-universal Formalism: the Language of Species
The various ZFC-models that we work with may be thought of as [but are not restricted to be!] the ZFC-models determined by various universes that are sets relative to some ambient ZFC-model which, in addition to the standard axioms of ZFC set theory, satisfies the following existence axiom [attributed to the “Grothendieck school” — cf. the discussion of [McLn], p. 193]:
P85
[McLn] S. MacLane, One Universe as a Foundation for Category Theory, Reports of the Midwest Category Seminar III, Lecture Notes in Mathematics 106, SpringerVerlag (1969).

この望月先生のIUT IV でのP67 用語 universe それは [McLn] (1969) が根拠らしいが
その後、数学の中での議論がいろいろあり
検索結果を辿ると、20世紀末には用語”Conglomerate (set theory)”：これは universeの内部でクラスの集まり（なおクラスは集合の集まり）
という用語が考えられているらしい
Inter-universe という用語が、やはり問題のような気がする今日この頃

(参考)
google検索：
S. MacLane, One Universe as a Foundation for Category Theory, Reports of the Midwest Category Seminar III, Lecture Notes in Mathematics 106, SpringerVerlag (1969)

AI による概要（AI responses may include mistakes）
In his work "One Universe as a Foundation for Category Theory", S. MacLane explores the use of a Grothendieck universe to provide a foundation for category theory, particularly when dealing with large categories. He proposes that adding the axiom of the existence of at least one Grothendieck universe to ZFC set theory offers a suitable framework for this purpose, according to Mathematics Stack Exchange.
https://math.stackexchange.com/questions/4871271/zfc-grothendieck-universes-vs-mac-lanes-one-universe （asked Feb 27, 2024 kaba ）

Here's a breakdown of the key points:
Grothendieck Universe:
A Grothendieck universe is a set U that satisfies certain properties, including being closed under power sets, unions, and Cartesian products, and containing all the natural numbers.

つづく

638(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 08/14(木)10:54 ID:1dI79/KQ(2/8)
つづき

U-small vs. U-large:
In this context, a set is considered "U-small" if it belongs to the universe U, and "U-large" otherwise.

Foundation for Category Theory:
This approach allows for the construction of categories with large collections of objects and morphisms, which are essential for certain areas of category theory, without encountering Russell's paradox or other foundational issues.

Alternative to ZFC:
While ZFC (Zermelo-Fraenkel set theory with the axiom of choice) is a common foundation for mathematics, MacLane's proposal provides an alternative by using the concept of a Grothendieck universe.

Key Concepts:
The use of a Grothendieck universe allows for the development of concepts like small limits and colimits within the category of U-small sets, which are fundamental in category theory.
(引用終り)

https://handwiki.org/wiki/Conglomerate_(set_theory)
Conglomerate (set theory)
From HandWiki
In mathematics, a conglomerate is a collection of classes, just as a class is a collection of sets.[1] A quasi-category is like a category except that its objects and morphisms form conglomerates instead of classes.[1] The subclasses of any class, and in particular, the collection of all classes (every class is a subclass of the class of all sets), form a conglomerate.
References
1. Adamek, Jiri; Herrlich, Horst; Strecker, George (1990). Abstract and Concrete Categories: The Joy of Cats. Dover Publications. ISBN 978-0-486-46934-8.

https://en.wikipedia.org/wiki/Conglomerate_(mathematics)
Conglomerate (mathematics)
In mathematics, in the framework of one-universe foundation for category theory,[1][2] the term conglomerate is applied to arbitrary sets as a contraposition to the distinguished sets that are elements of a Grothendieck universe.[3][4][5][6][7][8]

Definition
The most popular axiomatic set theories, Zermelo–Fraenkel set theory (ZFC), von Neumann–Bernays–Gödel set theory (NBG), and Morse–Kelley set theory (MK), admit non-conservative extensions that arise after adding a supplementary axiom of existence of a Grothendieck universe
U. An example of such an extension is the Tarski–Grothendieck set theory, where an infinite hierarchy of Grothendieck universes is postulated.

つづく

639: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 08/14(木)10:55 ID:1dI79/KQ(3/8)
つづき

The concept of conglomerate was created to deal with "collections" of classes, which is desirable in category theory so that each class can be considered as an element of a "more general collection", a conglomerate. Technically this is organized by changes in terminology: when a Grothendieck universe
U is added to the chosen axiomatic set theory (ZFC/NBG/MK) it is considered convenient[9][10]
・to apply the term "set" only to elements of U,
・to apply the term "class" only to subsets of U,
・to apply the term "conglomerate" to all sets (not necessary elements or subsets of U).
As a result, in this terminology, each set is a class, and each class is a conglomerate.

Corollaries
Formally this construction describes a model of the initial axiomatic set theory (ZFC/NBG/MK) in the extension of this theory ("ZFC/NBG/MK+Grothendieck universe") with U as the universe.[1]: 195 [2]: 23

If the initial axiomatic set theory admits the idea of proper class (i.e. an object that can't be an element of any other object, like the class
Set of all sets in NBG and in MK), then these objects (proper classes) are discarded from the consideration in the new theory ("NBG/MK+Grothendieck universe").
However, (not counting the possible problems caused by the supplementary axiom of existence of U) this in some sense does not lead to a loss of information about objects of the old theory (NBG or MK) since its representation as a model in the new theory ("NBG/MK+Grothendieck universe") means that what can be proved in NBG/MK about its usual objects called classes (including proper classes) can be proved as well in "NBG/MK+Grothendieck universe" about its classes (i.e. about subsets of U, including subsets that are not elements of U, which are analogs of proper classes from NBG/MK). At the same time, the new theory is not equivalent to the initial one, since some extra propositions about classes can be proved in "NBG/MK+Grothendieck universe" but not in NBG/MK.

つづく

640: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 08/14(木)10:55 ID:1dI79/KQ(4/8)
つづき

Terminology
The change in terminology is sometimes called "conglomerate convention".[7]: 6 The first step, made by Mac Lane,[1]: 195 [2]: 23 is to apply the term "class" only to subsets of U.
{\displaystyle U.} Mac Lane does not redefine existing set-theoretic terms; rather, he works in a set theory without classes (ZFC, not NBG/MK), calls members of U "small sets", and states that the small sets and the classes satisfy the axioms of NBG. He does not need "conglomerates", since sets need not be small.

The term "conglomerate" lurks in reviews of the 1970s and 1980s on Mathematical Reviews[11] without definition, explanation or reference, and sometimes in papers.[12]

While the conglomerate convention is in force, it must be used exclusively in order to avoid ambiguity; that is, conglomerates should not be called “sets” in the usual fashion of ZFC.[7]: 6

References
1. Mac Lane, Saunders (1969). "One universe as a foundation for category theory". Reports of the Midwest Category Seminar III. Lecture Notes in Mathematics, vol 106. Vol. 106. Springer, Berlin, Heidelberg. pp. 192–200.

＜付録＞
The Geometry of Anabelioids J-Stage
https://www.jstage.jst.go.jp/article/kyotoms1969/40/3/40_3_819/_article/-char/ja/
S Mochizuki 著 · 2004 · 被引用数: 26 — [McLn1] MacLane, S., One Universe as a Foundation for Category Theory, Reports of the Midwest Category Seminar III, Lecture Notes in Math. 106, Springer-
(引用終り)
以上

643: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 08/14(木)13:36 ID:1dI79/KQ(5/8)
>>638
(引用開始)
https://handwiki.org/wiki/Conglomerate_(set_theory)
Conglomerate (set theory)
From HandWiki
In mathematics, a conglomerate is a collection of classes, just as a class is a collection of sets.[1]
A quasi-category is like a category except that its objects and morphisms form conglomerates instead of classes.[1]
The subclasses of any class, and in particular, the collection of all classes (every class is a subclass of the class of all sets), form a conglomerate.
References
1. Adamek, Jiri; Herrlich, Horst; Strecker, George (1990). Abstract and Concrete Categories: The Joy of Cats. Dover Publications. ISBN 978-0-486-46934-8.
(引用終り)

＜google訳＞
数学において、conglomerateはクラスのcollectionであり、クラスは集合のcollectionである。[1]
quasi-categoryはカテゴリに似ているが、そのオブジェクトと射がクラスではなくconglomerateを形成する点が異なる。[1]
任意のクラスのサブクラス、特にすべてのクラスの集合（すべてのクラスはすべての集合のクラスのサブクラスである）は conglomerateを形成する。
References
略
(google訳終り)

このFrom HandWiki の用語を借りれば
大きな Grothendieck Universeがあって
その中に conglomerate ＞クラス(class) ＞集合(set)
という collection の大きさの違いが存在する

この（21世紀の用語の）視点では、Grothendieck Universe は、One Universe で
Inter-universal 宇宙間というのは、conglomerate あるいはクラス(class)
で収まるだろう

薄葉季路先生の『集合論の宇宙　Universe と Multiverse』>>637
と比較して、望月用語”宇宙”はちょっと大げさ（それは Grothendieckの時代(1960年代)はそれでよかったとしても）

そこらは、本当は加藤さんあたりが整理してほしいところです

645: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 08/14(木)14:44 ID:1dI79/KQ(6/8)
>>644
望月IUTは、本質的にグロタンディークの圏論幾何＝遠アーベル幾何学に立脚する
それに対して、単なる集合論とか推論規則ウンヌンカンヌンの批判は的外れ
下記を、百回音読してね　（＾＾

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9C%8F%E8%AB%96
圏論
数学的構造とその間の関係を抽象的に扱う数学理論の 1 つである。サミュエル・アイレンベルグとソーンダース・マックレーンとによって代数的位相幾何学の基本的仕事の中で20世紀中ごろに導入された。圏論において考察の対象となる圏は対象とその間の射からなる構造であり、集合とその間の写像、あるいは要素とその間の関係（順序など）が例として挙げられる。
数学の多くの分野、また計算機科学や数理物理学のいくつかの分野で導入される一連の対象は、しばしば適当な圏の対象たちだと考えることができる。圏論的な定式化によって同種のほかの対象たちとの、内部の構造に言及しないような形式的な関係性や、別の種類の数学的な対象への関連づけなどが統一的に記述される。
歴史
19世紀はじめのエヴァリスト・ガロアによる代数方程式に群を関連づける研究には圏論的な考え方の萌芽がみられる[要出典]。20世紀前半にはエミー・ネーターが抽象代数学（特に加群の理論）の形式化を行い、ネーターはある種の数学的構造を理解するためには、その構造を保つ対応関係を理解する必要があることを悟っていた[要出典]。1930年代後半から始まるニコラ・ブルバキの数学原論シリーズにおける集合論に基づいた数学の再構成の試みの中でも、構造、構造種と普遍性の概念が指導原理として取り上げられている[要出典]。
圏や関手、自然変換といったアイデアは代数的位相幾何学、特にホモロジー代数の研究から生まれた[1]。
その後 1950年代から 1960年代にかけてこの理論は、ホモロジー代数における様々な計算の抽象的な定式化を取り込むことによって、続いて、集合論に基づく定式化では不十分だった代数幾何学の公理化を与える言葉として進展した。さらに一般的な圏論、つまり、意味論的な柔軟性をもち高階論理との親和性があるようなより現代的な普遍的代数が発展し、現在では数学全体を通して応用されている。
20 世紀の半ば以降アレクサンドル・グロタンディークらによって代数幾何学の圏論的な定式化が追求された

つづく

646: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 08/14(木)14:44 ID:1dI79/KQ(7/8)
つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9C%8F_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
圏 (数学)
圏論において中核的な概念を成す圏（けん、英: category）は、数学的構造を取り扱うための枠組みであり、数学的対象をあらわす対象とそれらの間の関係を表す射の集まりによって与えられる。圏はそれ自体、群に類似した代数的構造として理解することができる。
空間を圏で表す
位相空間 X に対してその開集合系 O(X) を圏と見なすことができる。
G が群のとき、対象 Y ただ 1 つからなり、Hom (Y, Y) ≡ G であるような圏を G と同一視することができる。また、位相空間の基本亜群や「被覆」のホロノミー亜群など、様々な亜群による幾何学的な情報の定式化が得られている。
歴史
アレクサンドル・グロタンディークらによるホモロジー・コホモロジー理論を圏論に基づいて定式化する試みの中で、アーベル圏・三角圏など、関手を計算するうえで期待される重要な性質を持つクラスの圏が公理化されていった。一方、ガロア理論の圏論化を通じ、群が作用する集合の圏と通常の位相空間を圏論の枠組みで包括的にとらえるようなトポスの概念が得られた

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%A0%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6
遠アーベル幾何学
代数多様体 V 上の代数的基本群 G や関連する幾何学的対象を記述する
数体とその絶対ガロア群の初期の結果は、アレクサンドル・グロタンディークによる数体の双曲線[1]についての予想に先立ち、ユルゲン・ノイキルヒ、ギュンデュズ・イケダ、岩澤健吉、内田興二（ノイキルヒ・内田の定理）によって得られていた。
単語としての「遠アーベル」はアーベルに否定の接頭辞 an がついたもので、1980年代のグロタンディークの有名な著作である「Esquisse d'un Programme」で導入された[2]。]望月新一はいわゆる単(mono-)遠アーベル幾何学を導入および発展させた[4]。それは、数体または他のいくつかの体にわたる特定のクラスの双曲的曲線について、その代数的基本群からその曲線を復元するものである。単遠アーベル幾何学の主要な結果は望月の「絶対遠アーベル幾何学」などにある[5][6]。
遠アーベル幾何学は、類体論の一般化の1つと見なすことができる。他の2つの一般化（高次アーベル類体論と、表現理論的ラングランズ・プログラム）とは異なり、遠アーベル幾何学は非常に非線形でnon-アーベルである[7]
(引用終り)
以上

649(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 08/14(木)17:29 ID:1dI79/KQ(8/8)
>>647-648
ふっふ、ほっほ

ID:/DikW1nE君と ID:wLpg/jrm君とか
下記『君たちはどう生きるか』という映画や本やコミックがあるそうな
スタジオジブリ版は、太平洋戦争中の話にしたらしい
そういえば、明日8月15日は終戦の日だ

で、お二人は数学科でオチコボレさんか？ｗ　（＾＾
人のことが気になって気になって仕方ないらしいなｗ
きっと不遇なんだろうね
必死で、人にマウントしたいんだね
下衆な根性がまるわかりだよｗ

ここはさ、IUTスレなんであって
IUTについて語るべきところ
君たちは語るべき何もないオチコボレさんｗｗ　；ｐ）
あわれだねｗｗｗ
下記の『君たちはどう生きるか』を百回音読してねｗ

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%9B%E3%81%9F%E3%81%A1%E3%81%AF%E3%81%A9%E3%81%86%E7%94%9F%E3%81%8D%E3%82%8B%E3%81%8B_(%E6%98%A0%E7%94%BB)
君たちはどう生きるか (映画)
『君たちはどう生きるか』（英語: The Boy and the Heron）は、2023年7月14日に公開されたスタジオジブリ制作[注釈 1]の日本のアニメーション映画。宮崎駿の原作・脚本・監督による冒険活劇ファンタジーで[5]、宮崎の長編監督作としては2013年公開の『風立ちぬ』以来10年ぶりの作品となる。タイトルは、吉野源三郎の同名小説『君たちはどう生きるか』に由来しており、原作ではないが同小説が主人公にとって大きな意味を持つ[6]。
太平洋戦争中、母親の死をきっかけに田舎に疎開した眞人という少年が、新居の近くで廃墟となった塔を発見し、人間の言葉を話す謎の青サギと出会い、彼と共に幻想的な「下の世界」へと足を踏み入れるストーリー。
2023年9月に開催された北米最大の映画祭である第48回トロント国際映画祭で日本映画史上初となるオープニング作品となり、観客賞の次点第2位となる。翌年にはゴールデングローブ賞と英国アカデミー賞で日本映画史上初となるアニメ映画賞を連続して受賞し、日本時間で2024年3月11日[注釈 2]に授賞式が行われた第96回アカデミー賞で、日本映画としては『千と千尋の神隠し』以来21年ぶりとなる[7]アカデミー長編アニメ映画賞を受賞した。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%9B%E3%81%9F%E3%81%A1%E3%81%AF%E3%81%A9%E3%81%86%E7%94%9F%E3%81%8D%E3%82%8B%E3%81%8B
君たちはどう生きるか
『君たちはどう生きるか』は、1937年初出版の吉野源三郎による日本の小説。コペルというあだ名の15歳の少年・本田潤一とその叔父が、精神的な成長、貧困、人間としての総合的な体験と向き合う姿を描く。
当初『日本少国民文庫』第5巻として編纂代表の山本有三自身が執筆する予定であったが、病身のため代わって吉野が筆をとることになったとされる[3]。初刊は1937年に新潮社で出版、戦後になって語彙を平易にするなどの変更が加えられ、ポプラ社や岩波書店で出版された[4]。新潮社版も度々改版され長年重版した。
児童文学の形をとった教養教育の古典としても知られる[5]。
2017年には羽賀翔一による漫画化『漫画君たちはどう生きるか』がマガジンハウスから出版され、2018年3月には累計200万部を突破した[6]。

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