Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73 (766ﾚｽ)
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69(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 07/29(火)12:08 ID:0DBEJBDg(1/2)
>>65-68
ゴキブリくん、元気だね
ゴキブリくんは、道端に落ちていた >>64の ja.wikipedia
”ペアノの公理 自然数の集合論的構成
N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]} ”https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
にえらくご執心だが
ja.wikipedia なんて だれが書いたか不明で 転記ミスもあるかもｗ
そういう 道端のワケワカの式を 鵜呑みにするクセは 直した方がいいぞｗ ；ｐ）
さて、>>64より下記を再録 する
１）の ωa ＝ ∩a^、 a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)}、P (a) は a の「冪集合」、「x は無限集合である」という命題を M(x)
２）の N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}、Aは無限公理により存在する集合を任意に選んだ
この二つが、外延性の公理で 同じ？
それ 妄想でしょ？
１）記号∩（集合積）の意味は、集合族が確定しないと 確定しない
２）上記１）のa^は、 a の「冪集合」における 無限集合だという
だから、aが可算無限だとして 冪 P(a)は非可算で
ωa ＝ ∩a^ は、非可算の族の積
３）一方、集合族{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}とは ？
これは 冪集合公理を使っていないから 非可算の族ではないよね
（∵冪集合公理を使わずに 非可算の族が出せならば、冪集合公理は不要になる！）
４）だから、両者は異なる
そもそも、記号∩がまずくないか？
下記のja.wikipedia 無限公理 の”無限集合Iから自然数を抽出する”を
だれかが 書いてくれたみたい （ありがとうございます）
ここで、『おおざっぱに言うとすべての帰納的な集合の共通部分をとりたいわけである』とある
日常語では、そうなのだが、これを公理的集合論の言葉に直さないといけないんだ
それが下記だね
ついでに、ja.wikipedia 順序数 を引用しておいた
無限公理とは、下記 順序数の
”ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), .....”の部分
の存在を主張しているのだ （そうは書いていないが、こころは そうなのです）
『すべての順序数は自分自身より小さな順序数全体の集合と等しい』から
ω⊂ S(ω)⊂ S(S(ω))⊂ S(S(S(ω)))⊂ .....
となる
例えば S(ω)＝ω ∪ { ω }などとなっているから
だから
ω：＝ω∩ S(ω)∩ S(S(ω))∩ S(S(S(ω)))∩ .....
は、結論としては 正しい！
しかし、公理的集合論として 一歩一歩進めて 自然数集合N=ωを構築しようするときに
上記 記号∩を使う議論は、結論の先取りになる
だから、ja.wikipedia 無限公理 の”無限集合Iから自然数を抽出する”では
正式の公理的集合論の記述としては 記号∩の使用は 避けていると思うよ■
つづく
70(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 07/29(火)12:09 ID:0DBEJBDg(2/2)
つづき
(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86
無限公理
無限集合の存在を少なくともひとつ保証するものであり、実際すべての自然数を含む集合である
定義
略
一部の数学者はこのような方法で構築された集合をinductive set（英語: inductive set）と呼ぶ。
自然言語でこの公理を記述すると、「集合𝐈で、𝐈は空集合を要素にもち、任意の𝐈の要素x に対して、
x自身とxの各要素を要素とする𝐈の要素yが存在するような集合𝐈が存在する」となる。
解釈と帰結
略
以上のことから、この公理の本質は、
すべての自然数を含んでいる集合Iが存在する
である。
無限集合Iから自然数を抽出する
無限集合Iはすべての自然数を含んでいるが。自然数全体が集合となることを示すために、分出公理を使って不要な要素を取り除いて、残った集合Nが自然数全体からなる集合である。この集合は外延性の公理により一意である。
略
他の方法
以下のような他の方法もある。
Φ(x)を「xは帰納的である」という論理式とする。
略
おおざっぱに言うとすべての帰納的な集合の共通部分をとりたいわけである。
これを形式的に書くと、次のような集合
Wが一意に存在することを示したい。
略
この定義は数学的帰納法を容易に導けるため便利である。実際、
I⊆ωが帰納的と仮定すると、
ω⊆Iであり、I=ωとなる。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数
順序数の大小関係
(抜粋)
すべての順序数は自分自身より小さな順序数全体の集合と等しいと言うことができる。ω より小さな順序数（すなわち自然数）を有限順序数と呼び、ω 以上の（すなわち ω と等しいか ω より大きい）順序数を無限順序数と呼ぶ。順序数の大小関係に関して次が成り立つ：
1.略
2.略
3.α が順序数のとき、S(α) ≔ α ∪ { α } は α より大きな順序数のうちで最小のものである。S(α) を α の後続者 (successor of α)と呼ぶ
中略
順序数の並び方を次のように図示することができる：
0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............, ω + ω, S(ω + ω), S(S(ω + ω)), S(S(S(ω + ω))), ..............................
まず、0 が最小の順序数である。その後に S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる。そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の極限順序数 ω である。ω の後にはまたその後続者たちが S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ... と無限に続いていく
略
(引用終り)
以上
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