ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18

ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18 (462ﾚｽ)
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13: １３２人目の素数さん [] 2025/05/27(火) 23:10:59.26 ID:mVXlvt9d

つづき
『余因子行列でも おサルをボコった話のつづき 2の2』
（私スレ主）
スレ15 732 より
条件P:行列Aが 零因子行列(それ自身は零行列でないが 行列式が０である)身は零行列でないとき
結論Q:Aの余因子行列もまた零行列でない
命題：P→Q
に対しては、反例があるので、この命題は不成立です
条件P:行列Aが 零因子行列 に対して
Aの余因子行列 は、零行列であることも そうでないことも 両方あるのですが
3x3行列のエクセルによる余因子行列計算にあるように
下記の行列Aのランクと関連しているように思います
なので、もとの n次正方行列Aのランクが高いほと（つまりn-1に等しいか近いほど）
余因子のn-1次正方行列のランクも高なり ランクn-2 の存在確率が上がり 零行列になりにくい
一方、もとの n次正方行列Aのランクが低いほと（つまり0に近いほど）
余因子のn-1次正方行列のランクも低くなり ランクn-2 の存在確率が下がり 零行列になりやすい
そういう相関があるだろうということです
　↓
（おサル）
スレ15 734-735 より
　n次行列Aのランクがn-1なら、余因子行列は零行列でない零因子
　n次行列Aのランクがn-2以下なら、余因子行列は零行列
どうすればよいか
（初級）ランクが１以上ｎ−２以下の場合、基本に立ち返り、像空間、核空間を調べることで、零因子を地道に構成する
（上級）固有多項式以外に最小多項式を調べることにより、零因子を構成する
行列式を用いた、中級の解法はちょっと思いつかなかった
　↓
（私スレ主）
スレ15 737 より
”行列Aの行列式が０やけど、それ自身は零行列でないとき Aの余因子行列もまた零行列でない
Yes or No？”のときよりも、君の理解が進んだか？
中級の解法かどうかは知らないが、下記”行列式のランクと 一次独立”が、直観的で分かり易いだろう（私はこれを思い出した）
石川忠孝や 和久井道久 にあるように
”(13-3a) rankA=r ⇔ a1, ,anの中の一次独立なものの最大個数がr.（注：rが階数(ランク)です）”みたいなこと
（石川忠孝も見てね）
さて
１）n次行列Aのランクがn-1なら、一次独立なものの個数がn-1 で、よって余因子のもとになるn-1次正方行列で ランクn-1の行列が取れる(この場合余因子は非零で 余因子行列は非零行列)
２）一方、n次行列Aのランクがn-2なら、一次独立なものの個数がn-2 で、よって余因子のもとになるn-1次正方行列で ランクn-1の行列は取れない(この場合余因子は全て零で 余因子行列は零行列)
QED

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/13

305: １３２人目の素数さん [] 2025/07/06(日) 17:49:40.26 ID:+k1m9OFg

つづき

2）
https://annals.math.princeton.edu/wp-content/uploads/annals-v182-n2-p05-p.pdf
A proof of Demailly's strong openness conjecture
Annals of Mathematics
2015/01/14 — In the present article, we discuss a more general conjecture — the strong openness conjecture about multiplier ideal sheaves for ...
12 ページ

3）
https://arxiv.org/pdf/2109.00353
arXiv:2109.00353v1 [math.CV] 1 Sep 2021
Q Guan 著 · 2021 · 被引用数: 10 — The strong openness property is an important feature of multiplier ideal sheaves and used in the study of several complex variables, algebraic ...

4）
https://arxiv.org/pdf/2203.01648
arXiv:2203.01648v4 [math.CV] 1 Apr 2024
S Bao 著 · 2022 · 被引用数: 13 — of several complex variables, complex algebraic geometry and complex differential geometry (see e.g. [48, 42, 44, 12, 13, 11, 14, 39, 40, 45 ...

BOUNDARY POINTS, MINIMAL L2 INTEGRALS AND CONCAVITY PROPERTY
SHIJIE BAO, QI’AN GUAN, AND ZHENG YUAN
Abstract. For the purpose of proving the strong openness conjecture of
multiplier ideal sheaves, Jonsson-Mustat¸˘a posed an enhanced conjecture and
proved the two-dimensional case, which says that: the Lebesgue measure of
the set {cFo(ψ)ψ − log |F| < log r} divided by r2 has a uniform positive lower
bound independent of r, for a plurisubharmonic function ψ and a holomorphic
function F near the origin o. Jonsson-Mustat¸˘a’s conjecture was proved by
Guan-Zhou depending on the truth of the strong openness conjecture. However, it is still a question whether one can prove Jonsson-Mustat¸˘a’s conjecture
without using the strong openness property, and obtain a sharp effectiveness
result for this conjecture.
In this article, we use an L2 method with the weight functions ψ − log |F|
and firstly consider a module at at a boundary point of the sublevel sets of
a plurisubharmonic function. By studying the minimal L2
integrals on the sublevel sets of a plurisubharmonic function with respect to the module at the
boundary point, we establish a concavity property of the minimal L2 integrals.
As applications, we obtain a sharp effectiveness result related to JonssonMustat¸˘a’s conjecture, which completes the approach from the conjecture to the strong openness property. We also obtain a strong openness property of the module and a lower semi-continuity property with respect to the module.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/305

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