ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18

ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18 (445ﾚｽ)
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13: １３２人目の素数さん [] 05/27(火)23:10:59.26 ID:mVXlvt9d(13/15)
つづき
『余因子行列でもおサルをボコった話のつづき 2の2』
（私スレ主）
スレ15 732 より
条件P:行列Aが零因子行列(それ自身は零行列でないが行列式が０である)身は零行列でないとき
結論Q:Aの余因子行列もまた零行列でない
命題：P→Q
に対しては、反例があるので、この命題は不成立です
条件P:行列Aが零因子行列に対して
Aの余因子行列は、零行列であることもそうでないことも両方あるのですが
3x3行列のエクセルによる余因子行列計算にあるように
下記の行列Aのランクと関連しているように思います
なので、もとの n次正方行列Aのランクが高いほと（つまりn-1に等しいか近いほど）
余因子のn-1次正方行列のランクも高なりランクn-2 の存在確率が上がり零行列になりにくい
一方、もとの n次正方行列Aのランクが低いほと（つまり0に近いほど）
余因子のn-1次正方行列のランクも低くなりランクn-2 の存在確率が下がり零行列になりやすい
そういう相関があるだろうということです
　↓
（おサル）
スレ15 734-735 より
　n次行列Aのランクがn-1なら、余因子行列は零行列でない零因子
　n次行列Aのランクがn-2以下なら、余因子行列は零行列
どうすればよいか
（初級）ランクが１以上ｎ−２以下の場合、基本に立ち返り、像空間、核空間を調べることで、零因子を地道に構成する
（上級）固有多項式以外に最小多項式を調べることにより、零因子を構成する
行列式を用いた、中級の解法はちょっと思いつかなかった
　↓
（私スレ主）
スレ15 737 より
”行列Aの行列式が０やけど、それ自身は零行列でないとき Aの余因子行列もまた零行列でない
Yes or No？”のときよりも、君の理解が進んだか？
中級の解法かどうかは知らないが、下記”行列式のランクと一次独立”が、直観的で分かり易いだろう（私はこれを思い出した）
石川忠孝や和久井道久にあるように
”(13-3a) rankA=r ⇔ a1, ,anの中の一次独立なものの最大個数がr.（注：rが階数(ランク)です）”みたいなこと
（石川忠孝も見てね）
さて
１）n次行列Aのランクがn-1なら、一次独立なものの個数がn-1 で、よって余因子のもとになるn-1次正方行列でランクn-1の行列が取れる(この場合余因子は非零で余因子行列は非零行列)
２）一方、n次行列Aのランクがn-2なら、一次独立なものの個数がn-2 で、よって余因子のもとになるn-1次正方行列でランクn-1の行列は取れない(この場合余因子は全て零で余因子行列は零行列)
QED

つづく

103: １３２人目の素数さん [sage] 05/31(土)18:04:28.26 ID:5ay0Ubx7(6/6)
>>100
安土桃山時代や江戸時代の歴史に興味を持つ人は多いだろう
安土桃山時代の戦国大名の歴史を知らないと、
ゲームの信長の野望シリーズを作るのは難しい
あと、江戸時代の歴史を或る程度知らないと、
必殺仕事人などの時代劇を制作するのは難しいだろう

201: １３２人目の素数さん [sage] 06/22(日)08:31:41.26 ID:e5q/Q8+J(1/4)
と高卒以下のきみが言う

235: 暇人 [] 06/28(土)08:48:28.26 ID:4S+Arcik(13/23)
>>234
補足
この証明は、ガロア理論の教科書（例：Dummit and Foote, Abstract Algebra や Ian Stewart, Galois Theory）に詳細に記載されています。
より具体的な例（例えば、3次や4次方程式の可解性）については、具体的なガロア群（例：S3,S4）の構造を分析することで理解が深まります。

>>223
質問者が特定の部分（例えば、クンマー拡大や巡回群の詳細）についてさらに知りたい場合、追加の説明を提供できますので、お知らせください。
以上が、ガロア群の可解性と代数方程式の解の根号表示可能性に関する定理の証明です。

244(1): 暇人 [] 06/28(土)14:56:26.26 ID:4S+Arcik(19/23)
>>243
ステップXの詳細な再検討

状況の再確認
Ki+1/Ki は位数 ni の巡回ガロア拡大で、
ガロア群 Gal(Ki+1/Ki)≅Z/niZ です。
巡回拡大を構成するためには、クンマー理論により、Ki が原始 ni 乗根 ζ‗ni を含むことが必要です（クンマー拡大の条件）。

もし Ki が ζ‗ni を含まない場合、まず拡大 Ki(ζ‗ni)/Ki を構成し、これがガロア拡大であり、ガロア群が巡回群（またはアーベル群）であることを利用します。

原始乗根の添加
１の原始 ni 乗根 ζ‗niは、方程式 x^ni−1=0 の根であり、
Ki(ζ‗ni)/Ki はこの方程式の分裂体への拡大です。

この拡大は、体の標数が ni と互いに素である場合（例えば、Ki⊆Q や標数 0 の体）、ガロア拡大であり、
ガロア群 Gal(Ki(ζ‗ni)/Ki)は (Z/niZ)×（ni 番目の単位根群）に同型です。これはアーベル群であり、したがって可解群です。

例えば、ni=p（素数）の場合、
x^p−1=(x−1)(x^(p−1)+x^(p−2)+⋯+1) であり、
ζ‗pは円分多項式 Φp(x)=xp−1+⋯+1=0 の根です。
この拡大は巡回拡大であり、ζ‗pを添加することで得られます。

305(1): １３２人目の素数さん [] 07/06(日)17:49:40.26 ID:+k1m9OFg(4/9)
つづき

2）
https://annals.math.princeton.edu/wp-content/uploads/annals-v182-n2-p05-p.pdf
A proof of Demailly's strong openness conjecture
Annals of Mathematics
2015/01/14 — In the present article, we discuss a more general conjecture — the strong openness conjecture about multiplier ideal sheaves for ...
12 ページ

3）
https://arxiv.org/pdf/2109.00353
arXiv:2109.00353v1 [math.CV] 1 Sep 2021
Q Guan 著 · 2021 · 被引用数: 10 — The strong openness property is an important feature of multiplier ideal sheaves and used in the study of several complex variables, algebraic ...

4）
https://arxiv.org/pdf/2203.01648
arXiv:2203.01648v4 [math.CV] 1 Apr 2024
S Bao 著 · 2022 · 被引用数: 13 — of several complex variables, complex algebraic geometry and complex differential geometry (see e.g. [48, 42, 44, 12, 13, 11, 14, 39, 40, 45 ...

BOUNDARY POINTS, MINIMAL L2 INTEGRALS AND CONCAVITY PROPERTY
SHIJIE BAO, QI’AN GUAN, AND ZHENG YUAN
Abstract. For the purpose of proving the strong openness conjecture of
multiplier ideal sheaves, Jonsson-Mustat¸˘a posed an enhanced conjecture and
proved the two-dimensional case, which says that: the Lebesgue measure of
the set {cFo(ψ)ψ − log |F| < log r} divided by r2 has a uniform positive lower
bound independent of r, for a plurisubharmonic function ψ and a holomorphic
function F near the origin o. Jonsson-Mustat¸˘a’s conjecture was proved by
Guan-Zhou depending on the truth of the strong openness conjecture. However, it is still a question whether one can prove Jonsson-Mustat¸˘a’s conjecture
without using the strong openness property, and obtain a sharp effectiveness
result for this conjecture.
In this article, we use an L2 method with the weight functions ψ − log |F|
and firstly consider a module at at a boundary point of the sublevel sets of
a plurisubharmonic function. By studying the minimal L2
integrals on the sublevel sets of a plurisubharmonic function with respect to the module at the
boundary point, we establish a concavity property of the minimal L2 integrals.
As applications, we obtain a sharp effectiveness result related to JonssonMustat¸˘a’s conjecture, which completes the approach from the conjecture to the strong openness property. We also obtain a strong openness property of the module and a lower semi-continuity property with respect to the module.

つづく

433(1): １３２人目の素数さん [sage] 08/16(土)16:10:46.26 ID:OYmbWtXJ(1)
>>431
>だから、γに収束する実数列 {γ(0,n)} の第n項 γ(0,n)＝1＋…＋1/n−log(n) の形を考えれば、
>γ:＝lim_{n→+∞}(γ(0,n)))＝lim_{n→+∞}(1＋…＋1/n−log(n)) は有理数と分かる

大学１年の微分積分でおちこぼれた奴の典型的な誤り
γ(a(n),n)が全て有理数だからといって
その収束先γが有理数になると思うのは誤り
試験でこんな答案書いたら確実に赤点で落第

>実数列 {γ(0,n)} について n→+∞ のときを考えれば、
>可算選択公理により、
>γに対して或る相異なる有限個の正の整数が存在して
>γはその相異なる有限個の正の整数の逆数和で表せることも分かる

可算選択公理が何だか知らんくせに口から出まかせいう●違いの典型的な誤り
γ(a(n),n)が全て有理数で、相異なる有限個の正の整数の逆数和で表せるからといって
その収束先γも相異なる有限個の正の整数の逆数和で表せると思うのは誤り
試験でこんな答案書いたら確実に赤点で落第

もう数学やめろ　貴様には数学は無理

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