大学数学の質問スレ Part1 (281ﾚｽ)
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23: １３２人目の素数さん [] 06/08(日)04:10 ID:5glNS3uF(1/4)
Σ x_n を s に収束する正項級数とする。
φ: N → N を全単射とする。
Σ x_φ(n) は s に収束する。
↑は既知とする。
Σ x_n を絶対収束級数とする。
Σ x_n は収束する。
証明：
N_1 := {i ∈ N : x_i ≧ 0}
N_2 := {i ∈ N : x_i < 0}
とする。
24: １３２人目の素数さん [] 06/08(日)04:10 ID:5glNS3uF(2/4)
Σ_{n ∈ N_1} x_n は、正項級数だから意味を持つ。
Σ_{n ∈ N_2} x_n は、負項級数だから意味を持つ。
どちらの級数も Σ x_n が絶対収束級数だから収束する。
s_1 := Σ_{n ∈ N_1} x_n とする。
s_2 := Σ_{n ∈ N_2} x_n とする。
ε を任意の正の実数とする。
N_1 の部分集合 M_1 で、 M_1 ⊂ M ⇒ |Σ_{n ∈ M} x_n - s_1| < ε/2 となるようなものが存在する。
N_2 の部分集合 M_2 で、 M_2 ⊂ M' ⇒ |Σ_{n ∈ M'} x_n - s_2| < ε/2 となるようなものが存在する。
N_1_n := {i ∈ {1, 2, …, n} : x_i ≧ 0}
N_2_n := {i ∈ {1, 2, …, n} : x_i < 0}
とする。
M_1 ⊂ N_1_n、M_2 ⊂ N_2_n をみたすような n ∈ N が存在する。
Σ_{i ∈ {1, 2, …, n} x_i = Σ_{i ∈ N_1_n} x_i + Σ_{i ∈ N_2_n} x_i である。
|Σ_{i ∈ {1, 2, …, n} x_i - (s_1 + s_2)| ≦ |Σ_{i ∈ N_1_n} x_i - s_1| + |Σ_{i ∈ N_2_n} x_i - s_2| < ε が成り立つ。
明らかに、 n よりも大きい任意の自然数を n としたときにもこの不等式は成り立つ。
よって、 Σ x_n は収束する。
25: １３２人目の素数さん [] 06/08(日)04:11 ID:5glNS3uF(3/4)
↑の証明ってどうですか？
26: １３２人目の素数さん [] 06/08(日)13:54 ID:5glNS3uF(4/4)
一松信著『解析学序説上巻（旧版）』
べき級数の微分積分のところで、
「
f^{m}(x) = m! * a_m + (m + 1)! * a_{m + 1} * (x - a) + (1/2) * (m + 2)! * a_{m + 2} * (x - a)^2 + …
右辺の表わす函数は連続だから、 x → a とした極限は、 x = a とおいたものに等しく、 f^{m}(a) = m! * a_m となり
」
という記述があります。
間違ってはいませんが、単に
f^{m}(x) = m! * a_m + (m + 1)! * a_{m + 1} * (x - a) + (1/2) * (m + 2)! * a_{m + 2} * (x - a)^2 + …
の x に a を代入して、 f^{m}(a) = m! * a_m という結果を得ればいいのではないでしょうか？
新版でも同様の記述があります。
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