面白い数学の問題おしえて～な 44問目 (307ﾚｽ)
面白い数学の問題おしえて～な 44問目 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/
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130: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/11(金) 21:48:50.73 ID:pCjWjeqh (i) (7^(d/2) + 5^(c/2), 7^(d/2) - 5^(c/2)) = (3^a⋅4^b/2,2) のとき 2⋅5^(c/2) + 2 = 7^(d/2) + 5^(c/2) = 3^a⋅4^b/2 5^(c/2) + 1 = 3^a⋅4^(b-1) ∴ c>0, a:even, 5^(c/2) = (3^(a/2)⋅2^(b-1) + 1)(3^(a/2)⋅2^(b-1) - 1) 3^(a/2)⋅2^(b-1) + 1), 3^(a/2)⋅2^(b-1) - 1 はともに 5 べきで差が２より矛盾。 ∴(i) に解なし。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/130
134: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/12(土) 08:21:17.28 ID:v+eu2xVR >>130 以降の議論が追えないので整理してみた c'=c/2, d'=d/2 とおく (i) 7^d' + 5^c' = (3^a×4^b)/2 …(i-1) 7^d' - 5^c' = 2 …(i-2) (i-1)-(i-2) を整理して 5^c' + 1 = 3^a×4^(b-1) この式のmod4は (左辺)≡2, (右辺)≡0,1,3 になるので解無し (ii) 7^d' + 5^c' = 2×3^a …(ii-1) 7^d' - 5^c' = (4^b)/2 …(ii-2) d>0 より (ii-1) の左辺は8以上になるので、a>0. これより (ii-1) のmod3をとると 1 + (-1)^c' ≡ 0. ゆえに c' は奇数。 したがって (ii-2) のmod8をとると (-1)^d' - 5 ≡ 0 or 2 であるから d' は奇数、b=1 でなければならない。 しかし b=1 を (ii-1)-(ii-2) に代入して整理すると 5^c' = 3^a - 1 となり、mod2で矛盾するため解無し。 (iii) 7^d' + 5^c' = (4^b)/2 …(iii-1) 7^d' - 5^c' = 2⋅3^a …(iii-2) (iii-1) のmod8をとると 5^c' ≡ (4^b)/2 - (-1)^d' ≡ 1,3,7 であるから、c' は偶数。 c''=c'/2 とおくと、(iii-1)-(iii-2) を整理して変形することで 3^a = (2^(b-1) + 5^c'')(2^(b-1) - 5^c'') を得る。 ゆえにこの右辺で掛け合わされている２つの因数はいずれも3以外の素因数を持たないが、 ２つの因数の最大公約数は (2^(b-1) + 5^c'') + (2^(b-1) - 5^c'') = 2^b の約数でもなければならず、したがって 1 以外にあり得ない。 以上より 2^(b-1) + 5^c'' = 3^a …(iii-3) 2^(b-1) - 5^c'' = 1 …(iii-4) が導ける。(iii-4) のmod8をとることにより b=2 でなければならないことがわかるので、 (iii-4) から c''=0、 (iii-3) から a=1、 (iii-1) から d'=1 が順に導ける。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/134
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